Exercícios: Sistemas de equações não lineares

Resolva o seguinte sistema de equações não lineares:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Encontre a solução do sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

Resolva o sistema formado por uma equação linear e uma quadrática:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

O produto de dois números inteiros positivos é $156$ e um deles é o consecutivo do outro. Escreva um sistema de equações e encontre esses números.

A área de um tapete retangular é de $6 \text{ m}^2$ e o perímetro dele mede $10 \text{ m}$. Formule um sistema de equações não lineares e calcule as dimensões do tapete.

Resolva o seguinte sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

A soma dos quadrados de dois números é $25$, e um deles é $1$ unidade menor que o outro. Monte um sistema de equações e encontre os números.

Encontre a solução do sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

A Sara tenta resolver o seguinte sistema de equações não lineares, que descreve dois números cuja diferença é $3$ e a soma dos seus quadrados é $29$:

Para isso, ela isola $x = y + 3$ na primeira equação e substitui na segunda, escrevendo no seu caderno:

E conclui que a única solução é $y = \sqrt{10}$, $x = 3 + \sqrt{10}$.

1. a) Identifique os dois erros conceituais graves que a Sara cometeu no seu desenvolvimento e explique detalhadamente por que razão estão incorretos.
2. b) Resolva o sistema de forma correta, mostrando todos os passos algébricos, e indique todos os pares de soluções $(x, y)$ válidos.

Queremos desenhar um sistema de equações não lineares formado por uma parábola vertical da forma $y = x^2 + b$ e uma reta da forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Encontre os valores dos parâmetros $b$, $m$ e $n$ para que as únicas soluções do sistema sejam exatamente os pontos $(0, 2)$ e $(3, 11)$. Justifique como você deduz cada valor a partir das coordenadas dadas.
2. b) Escreva o sistema completo resultante e verifique algebricamente, resolvendo-o por igualação, que não existe nenhum outro ponto de interseção entre ambas as figuras.

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede $13 \text{ cm}$. Sabe-se que um dos catetos mede $7 \text{ cm}$ a mais que o outro. Formule um sistema de equações não lineares para calcular o comprimento dos dois catetos.

A soma de dois números é $15$ e a soma dos inversos deles é $\frac{5}{18}$. Escreva um sistema de equações e encontre os números.

Resolva o seguinte sistema de equações:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$x \cdot y = 18$

Um grupo de estudantes compra um presente para um colega por $120$ reais, a ser pago em partes iguais. Na última hora, mais $2$ estudantes se juntam ao grupo, o que faz com que cada um dos iniciais pague $3$ reais a menos. Quantos estudantes havia no início e quanto cada um pagava?

Um terreno retangular tem uma área de $600 \text{ m}^2$. Se o seu comprimento for reduzido em $5 \text{ m}$ e a sua largura for aumentada em $5 \text{ m}$, a área continua sendo a mesma. Calcule as dimensões originais do terreno.

Resolva o seguinte sistema que contém uma equação irracional:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

O produto das idades de dois irmãos é $96$. Daqui a $4$ anos, o produto das idades deles será $192$. Quais são as idades atuais deles?

A área de um losango é de $24 \text{ cm}^2$ e a soma dos comprimentos de suas diagonais é $14 \text{ cm}$. Determine o comprimento de ambas as diagonais formulando um sistema de equações.

Numa escola de Ensino Médio de um município do Brasil vai-se cercar uma horta escolar retangular aproveitando um muro já existente de $20\text{ m}$ de comprimento, de modo que esse muro serve como um dos lados e não precisa de cerca. Com uma verba orçamentária comprou-se exatamente $28\text{ m}$ de tela metálica para cercar os outros três lados (dois lados perpendiculares ao muro, de comprimento $x$, e um lado paralelo ao muro, de comprimento $y$). O departamento de Biologia e Geologia exige que a área total de cultivo seja de $96\text{ m}^2$.

1. a) Antes de formular o sistema, faça uma estimativa fundamentada: sabendo que o lado $y$ não pode medir mais do que os $20\text{ m}$ do muro disponível, é possível que o lado $x$ meça menos de $4\text{ m}$ ou mais de $11\text{ m}$? Argumente sua resposta analisando em conjunto a cerca disponível e a área necessária.
2. b) Formule o sistema de equações não lineares (perímetro e área) e resolva-o por substituição.
3. c) Verifique se as soluções matemáticas obtidas são coerentes com a sua estimativa inicial e determine as dimensões reais que a horta pode ter, levando em conta a limitação física do muro.

Para resolver o seguinte sistema simétrico de equações não lineares:

dois estudantes do 4.º ano do ESO propõem caminhos diferentes:

• Método da Laura (Substituição): Isolar $y = 15 - x$ na primeira equação, substituir na segunda, desenvolver o quadrado do binómio e resolver a equação do segundo grau em $x$.

• Método do Marcos (Casos notáveis da multiplicação): Elevar ao quadrado ambos os membros da primeira equação para obter $(x + y)^2 = 225$, aplicar o desenvolvimento $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2\cdot x\cdot y$, substituir $x^2 + y^2 = 117$ para calcular diretamente o produto $x\cdot y$, e formular a partir da soma $S$ e do produto $P$ a equação $t^2 - S\cdot t + P = 0$.

1. a) Resolve o sistema seguindo detalhadamente o método da Laura.
2. b) Resolve o sistema seguindo detalhadamente o método do Marcos.
3. c) Compara ambos os procedimentos: qual dos dois caminhos requer cálculos aritméticos mais simples e apresenta menor risco de cometer erros com os sinais? Justifica qual escolherias se os números do enunciado fossem muito maiores.

Um arame de $40 \text{ cm}$ de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um dos pedaços forma-se um quadrado e com o outro forma-se um retângulo cuja base é o dobro da altura. Se a soma das áreas de ambas as figuras é de $48 \text{ cm}^2$, quanto mede cada pedaço de arame?

Um número é formado por dois algarismos. O produto desses algarismos é $18$. Se desse número forem subtraídas $27$ unidades, obtém-se outro número com os mesmos algarismos, mas em ordem inversa. Qual é o número original? (Lembre-se de que um número de dois algarismos $xy$ é expresso algebricamente como $10x + y$).

Resolva o seguinte sistema de equações simétrico:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

Uma agência de viagens organiza uma excursão por um custo total de $600$ reais. Pouco antes de partir, $5$ pessoas cancelam a viagem, o que obriga as demais a pagarem $4$ reais a mais cada uma para cobrir o custo total. Quantas pessoas foram finalmente à excursão e quanto pagou cada uma?

Em um parque vai ser construída uma área de jogos retangular cercada por um caminho de grama sintética de $1 \text{ m}$ de largura em todo o seu perímetro. A área da zona de jogos deve ser de $48 \text{ m}^2$ e a área total (zona de jogos mais caminho) deve ser de $96 \text{ m}^2$. Formule um sistema de equações para encontrar as dimensões da zona de jogos.

Resolva o seguinte sistema de equações não lineares:

$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$

$x + y = 5$

Um ciclista percorre uma distância de $120 \text{ km}$ em velocidade constante. Se tivesse viajado $5 \text{ km/h}$ mais rápido, teria demorado $2$ horas a menos para completar o mesmo percurso. Formule um sistema de equações para calcular a velocidade do ciclista e o tempo que ele demorou.

Uma embalagem cilíndrica fechada tem uma área total (área lateral mais as duas bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Sabe-se também que a soma do raio da base e da altura do cilindro é de $15 \text{ cm}$. Calcule o raio e a altura da embalagem. (Lembre-se de que a área total de um cilindro é $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).

Uma cooperativa agrícola em Goiás projeta a instalação de uma estrutura retangular para painéis solares destinados ao autoconsumo das suas bombas de poço. A memória técnica impõe três condições de projeto:

1. Por motivos de resistência estrutural e fixação de cabos diagonais, a diagonal do retângulo deve medir exatamente $17\text{ m}$.

2. Para garantir a potência de pico requerida pelos motores, a área de captação solar deve ser exatamente de $120\text{ m}^2$.

3. Para evitar sombras projetadas entre fileiras contíguas de painéis de acordo com as tabelas de radiação solar na região, o comprimento (lado maior, $x$) deve superar a largura (lado menor, $y$) em pelo menos $6\text{ m}$.

1. a) Formule um sistema de equações não lineares que relacione as dimensões $x$ e $y$ a partir da diagonal e da área.
2. b) Resolva o sistema aplicando os produtos notáveis para calcular $(x+y)^2$ e $(x-y)^2$, deduzindo todas as possíveis soluções matemáticas das dimensões.
3. c) Interprete os resultados obtidos no contexto do projeto e determine se as dimensões da estrutura são viáveis sob a restrição técnica da separação mínima contra sombras. Justifique a sua conclusão.

Num sistema de posicionamento e orientação de drones, um drone de vigilância descreve uma trajetória parabólica dada pela equação $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, enquanto um feixe de luz de balizamento é emitido em linha reta segundo a equação $y = 2\cdot x + k$, onde $k$ é um parâmetro real que pode ser regulado variando a inclinação do emissor.

1. a) Formule o sistema de equações formado por ambas as trajetórias e iguale as expressões para obter uma equação do segundo grau da forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dependente de $k$.
2. b) Sem atribuir valores ao acaso a $k$, utilize o discriminante ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) para determinar analiticamente que condição $k$ deve cumprir para que:

• O feixe de luz intersecte a trajetória do drone em dois pontos distintos.

• O feixe de luz não intersecte em momento algum a trajetória do drone.

• O feixe de luz seja tangente à trajetória do drone (um único ponto de contato).

1. c) Para o valor de $k$ que produz tangência, calcule as coordenadas exatas do ponto de contato $(x, y)$ e explique que significado geométrico tem o fato de a equação quadrática associada possuir uma raiz dupla.