Exercícios: Sistemas de equações lineares

Verifique se o par de valores $(x, y) = (2, -1)$ é solução do seguinte sistema de equações lineares:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Resolva o seguinte sistema de equações utilizando o método da substituição:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Resolva o seguinte sistema de equações utilizando o método da igualação:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Resolva o seguinte sistema de equações utilizando o método da redução:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Observe a representação gráfica de duas retas que formam um sistema de equações lineares. Indique qual é a solução do sistema e classifique-o de acordo com o número de soluções (possível determinado, possível indeterminado ou impossível).

A soma de dois números é $54$ e a diferença deles é $12$. Escreva um sistema de equações lineares e calcule o valor de ambos os números.

Em uma lanchonete, por $3$ cafés e $2$ croissants cobrou-se $7,50$ reais. Se comprarmos $1$ café e $4$ croissants do mesmo tipo, o preço é de $6,50$ reais. Quanto custa cada café e cada croissant?

Resolva o seguinte sistema de equações pelo método analítico que considerar mais adequado:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

O Marcos tenta resolver pelo método da redução o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 5x + 4y = 6 \end{cases}$

Para eliminar a incógnita $y$, decide multiplicar a primeira equação por $2$ e escreve em seu caderno:

$6x - 4y = 8$

Em seguida, soma membro a membro com a segunda equação, obtendo $11x = 14$, de onde conclui que $x = \frac{14}{11}$.

1. a) Identifique com precisão que erro o Marcos cometeu e explique por que razão o seu passo invalida a equivalência do sistema, baseando-se nas propriedades algébricas das igualdades.
2. b) Corrija o desenvolvimento dele e encontre a solução exata $(x, y)$ do sistema original.

Analise atentamente os seguintes dois sistemas de equações lineares:

Sistema 1: $\begin{cases} x = 2y - 5 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Sem resolvê-los ainda, justifique de forma fundamentada qual dos três métodos algébricos usuais (substituição, comparação ou adição) é mais rápido e eficiente para o Sistema 1, e qual para o Sistema 2, considerando os coeficientes das incógnitas.
2. b) Resolva o Sistema 2 utilizando o método que você selecionou no item anterior e verifique que a solução obtida satisfaz ambas as igualdades.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares, efetuando as operações previamente para eliminar os parênteses:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Resolva o seguinte sistema eliminando primeiro os denominadores:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

Há $5$ anos, a idade de uma mãe era o triplo da idade de seu filho. Daqui a $10$ anos, a idade da mãe será o dobro da do filho. Formule um sistema de equações lineares para calcular as idades atuais de ambos.

O perímetro de um terreno retangular mede $120$ metros. Se o comprimento do terreno mede $10$ metros a mais do que a largura, quais são as dimensões do terreno?

Um comerciante mistura azeite de oliva de $4$ reais/litro com óleo de girassol de $2$ reais/litro para obter $60$ litros de uma mistura que venderá a $3,50$ reais/litro. Formule um sistema de equações para descobrir quantos litros de cada tipo de óleo ele utilizou.

Em um cofre há $40$ moedas, algumas de $0,20$ reais e outras de $0,50$ reais. Se no total há $12,50$ reais, quantas moedas de cada tipo há no cofre?

Represente graficamente o seguinte sistema de equações lineares e indique a solução dele a partir do gráfico:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma oficina mecânica há, entre carros e motos, um total de $35$ veículos. Se contarmos as rodas de todos eles (sem levar em conta os estepes), há um total de $110$ rodas. Quantos carros e quantas motos há na oficina?

Em um auditório de Belo Horizonte venderam-se os 150 ingressos disponíveis para uma peça de teatro beneficente. Havia dois tipos de lugares: tarifa geral a $\text{R\$}\ 18$ e tarifa reduzida para estudantes a $\text{R\$}\ 10$. A receita final de bilheteria foi de $\text{R\$}\ 2220$.

1. a) Antes de formular qualquer equação, faça uma estimativa fundamentada: foram vendidos mais ingressos gerais ou reduzidos? Para justificar, calcule o que teria acontecido com a receita se os 150 ingressos tivessem sido todos de $\text{R\$}\ 10$ ou todos de $\text{R\$}\ 18$.
2. b) Formule um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas que represente a situação e resolva-o pelo método que considerar mais conveniente.
3. c) Verifique se o número de ingressos encontrado para cada tipo coincide com a sua dedução qualitativa prévia e argumente por que a solução é coerente no contexto real.

Considere o seguinte sistema com coeficientes desconhecidos:

$\begin{cases} 2x + ky = 6 \\ 4x - 6y = c \end{cases}$

1. a) Determine quais valores numéricos os parâmetros $k$ e $c$ devem assumir para que o sistema seja possível e indeterminado (infinitas soluções). Explique que relação geométrica as duas retas mantêm neste caso.
2. b) Mantendo o valor de $k$ obtido no item anterior, indique que condição $c$ deve cumprir para que o sistema seja impossível. Qual é a posição relativa das retas no plano cartesiano?
3. c) Construa uma segunda equação linear diferente para que, combinada com $2x - 3y = 6$, forme um novo sistema possível e determinado cuja solução única seja o par $(x, y) = (3, 0)$.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares, simplificando previamente as expressões com frações e parênteses:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o seguinte sistema de equações seja incompatível (ou seja, para que as retas que o representam sejam paralelas):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

Em uma loja de eletrônicos, um notebook e um tablet custam juntos $1500$ reais. Durante a semana de promoções, aplicam um desconto de $15\,\%$ ao notebook e de $10\,\%$ ao tablet, de modo que o preço conjunto passa a ser de $1305$ reais. Formule um sistema de equações para descobrir o preço original de cada artigo.

Determine o valor do parâmetro $m$ para que o seguinte sistema tenha infinitas soluções (seja um sistema compatível indeterminado):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de duas cidades, A e B, separadas por $78$ km, e se dirigem um em direção ao outro em linha reta. Demoram exatamente $3$ horas para se encontrar. Se a velocidade do primeiro ciclista é $4$ km/h maior que a do segundo, a que velocidade circula cada um?

Em um laboratório dispõe-se de duas soluções de um mesmo ácido, uma a $10\,\%$ de concentração e outra a $25\,\%$. Deseja-se obter $45$ litros de uma nova solução a $16\,\%$ de concentração. Quantos litros de cada solução original devem ser misturados?

Observe a seguinte representação gráfica de um sistema formado por duas retas, $r_1$ e $r_2$, cujas equações são da forma $ax+by=c$ e $a'x+b'y=c'$. A partir do gráfico, classifique o sistema segundo o seu número de soluções e explique que relação algébrica deve existir entre os coeficientes de ambas as equações para que ocorra esta situação.

Uma pessoa investe um total de $25000$ reais em dois fundos de investimento diferentes. O primeiro fundo lhe oferece um juro anual de $4\,\%$, enquanto o segundo oferece $6\,\%$. Se, ao final de um ano, os lucros totais obtidos pelos dois fundos somam $1320$ reais, que quantia de dinheiro foi investida em cada um deles?

Um serviço municipal de compartilhamento de bicicletas elétricas em Salvador oferece um plano de assinatura que inclui uma mensalidade fixa de manutenção ($x$) e um custo fixo por cada viagem com mais de 30 minutos ($y$).

Durante o mês de abril, o Lucas realizou 16 viagens faturáveis e a sua fatura total foi de $\text{R\$}\ 23,20$. Por sua vez, a Ana realizou 28 viagens faturáveis com o mesmo plano e pagou $\text{R\$}\ 34,00$.

1. a) Modele a situação por meio de um sistema de equações lineares e calcule o valor da mensalidade fixa ($x$) e o preço de cada viagem ($y$).
2. b) Um novo usuário dispõe de um orçamento máximo mensal de $\text{R\$}\ 20$. Qual é o número máximo de viagens com mais de 30 minutos que ele pode realizar por mês com este plano?
3. c) Obtenha a expressão do custo médio por viagem em função do número total de viagens $n$ realizadas no mês. Fundamente a partir de quantas viagens mensais o custo médio por viagem fica inferior a $\text{R\$}\ 1,30$ e interprete o que acontece com o peso da mensalidade fixa à medida que a utilização do serviço aumenta.

Considera-se o seguinte sistema de equações lineares dependente dos parâmetros $a$ e $b$:

$\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x - y = b \end{cases}$

1. a) Sem resolvê-lo por métodos algébricos tradicionais, classifique o tipo de sistema (possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível) de acordo com os possíveis valores de $a$ e $b$, utilizando as razões entre os coeficientes e os termos independentes.
2. b) Se fixarmos $a = -6$ e $b = -2$, demonstre algebricamente que o sistema admite infinitas soluções, expresse a solução geral em função de uma das incógnitas e indique três soluções numéricas particulares distintas.
3. c) Do ponto de vista geométrico, descreva a posição relativa de ambas as retas em cada um dos casos analisados no item a) e justifique de forma rigorosa por que é impossível que um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas tenha exatamente duas soluções distintas.