Exercícios: Outros tipos de equações

Resolva a seguinte equação biquadrada realizando a mudança de variável $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Encontre todas as soluções reais da seguinte equação biquadrada incompleta colocando o fator comum em evidência:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Resolva a seguinte equação racional multiplicando todos os termos por $x$ para eliminar o denominador:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Encontre o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação racional simples:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Resolva a equação irracional isolando o radical e elevando ambos os membros ao quadrado:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determine os valores de $x$ que satisfazem a seguinte equação com raízes. Lembre-se de que você deve verificar as soluções no final para descartar possíveis soluções falsas:

$\sqrt{x + 2} = x$

Resolva a seguinte equação exponencial expressando ambos os membros como potências da mesma base:

$3^{2x-1} = 27$

Determine o valor de $x$ na equação logarítmica aplicando diretamente a definição de logaritmo:

$\log_2(x + 5) = 3$

O Daniel precisa resolver na aula a equação com radicais $\sqrt{2x + 5} = x - 5$. Para eliminar a raiz, ele eleva ambos os membros ao quadrado e obtém $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$. Depois de simplificar e passar todos os termos para um membro, chega a $x^2 - 12x + 20 = 0$. Aplica a fórmula de Bhaskara e encontra duas soluções: $x = 10$ e $x = 2$. Muito convencido, escreve na prova que ambas são soluções da equação inicial.

1. a) Explique que propriedade lógica falha ao elevar ambos os membros de uma igualdade ao quadrado e por que motivo esse passo pode introduzir «soluções falsas».
2. b) Sem voltar a resolver a equação quadrática, verifique numericamente os dois valores na equação original $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ e indique qual é a única solução válida, explicando por que razão se deve descartar a outra.

Procura-se construir uma equação biquadrada da forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ que cumpra simultaneamente duas condições:

1. As suas únicas soluções reais devem ser $x = 3$ e $x = -3$.

2. Ao aplicar a mudança de variável $t = x^2$, a equação do segundo grau resultante na variável $t$ deve ter duas soluções reais distintas: $t_1$ e $t_2$.

1. a) Raciocine que sinal e que valor numérico exato deve ter uma das soluções de $t$, e que sinal deve ter obrigatoriamente a outra solução para que não forneça mais raízes reais à incógnita $x$.
2. b) Escolha um valor numérico para essa segunda solução de $t$ e escreva a equação biquadrada completa $x^4 + bx^2 + c = 0$ resultante, verificando que cumpre as condições pedidas.

A área de um retângulo é de $6 \text{ cm}^2$. Sabendo que sua base mede $x^2 + 2$ cm e sua altura $x^2 - 3$ cm, escreva uma equação biquadrada para encontrar o valor de $x$ (com $x > 0$) e determine as dimensões reais do retângulo.

Um ciclista viaja para um vilarejo vizinho a uma velocidade de $20 \text{ km/h}$ e volta pelo mesmo caminho a uma velocidade de $x \text{ km/h}$. A velocidade média de todo o trajeto de ida e volta é dada pela fórmula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Se a velocidade média total foi de $24 \text{ km/h}$, escreva uma equação racional e calcule a velocidade de volta $x$.

A distância $d$ (em metros) que um carro percorre desde que freia até parar pode ser aproximada pela fórmula $d = \frac{v^2}{20}$, onde $v$ é a velocidade em m/s. Se um carro deixa marcas de frenagem de $45$ m, a que velocidade ele estava?

O número de membros de um servidor do Discord segue a fórmula exponencial $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, onde $t$ é o tempo decorrido em meses. Quantos meses devem decorrer para que o servidor alcance exatamente $4000$ membros?

O nível de intensidade sonora $L$ em decibéis (dB) é calculado pela expressão logarítmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, onde $I$ é a intensidade acústica em $\text{W/m}^2$. Calcule a intensidade $I$ de um som produzido pelo tráfego intenso, sabendo que seu nível é de $80 \text{ dB}$.

Resolva a seguinte equação biquadrada e indique claramente quais são suas soluções reais e por que as demais são descartadas:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Resolva a seguinte equação racional reduzindo ao mesmo denominador. Preste atenção especial às possíveis soluções que anulem algum denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Resolva a equação irracional isolando uma das raízes e elevando ao quadrado. Lembre-se de verificar a solução obtida:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Considere a equação racional $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = 1$.

1. a) Antes de operar, faça uma estimativa fundamentada para procurar uma solução positiva $x > 0$:

• Se $x = 2$, calcule mentalmente o valor de $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2}$ e compare-o com $1$.

• Se $x = 6$, calcule mentalmente o valor dessa mesma expressão e compare-o com $1$.

• A partir desses dois testes, deduza e justifique entre quais números inteiros deve se encontrar a solução positiva.

1. b) Resolva formalmente a equação eliminando denominadores por meio do mínimo múltiplo comum, verifique se a sua estimativa se confirma e determine todas as soluções reais da equação, indicando quais valores de $x$ estavam proibidos desde o início.

Para resolver equações exponenciais costumam-se utilizar duas estratégias principais: colocar em evidência ou realizar uma mudança de variável do tipo $u = a^x$. Observe estas duas equações:

(1) $2^{x + 3} - 2^x = 56$

(2) $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. a) Resolva a equação (1) colocando em evidência a potência $2^x$ no membro esquerdo e justifique por que este caminho é mais direto do que fazer uma mudança de variável.
2. b) Explique por que o método de colocar em evidência não é aplicável diretamente à equação (2) (prestando atenção à presença do termo independente e às bases das potências).
3. c) Resolva a equação (2) utilizando a mudança de variável $u = 2^x$, indicando claramente as soluções finais para a incógnita $x$.

A diagonal de uma moldura retangular de madeira mede $\sqrt{10}$ cm. Se um dos seus lados mede $x$ cm e o outro mede $\frac{3}{x}$ cm, escreva uma equação racional, transforme-a em uma equação biquadrada e calcule as dimensões da moldura.

Um depósito de água para irrigação pode ser enchido usando duas torneiras diferentes. A primeira torneira leva $x$ horas para enchê-lo sozinha e a segunda torneira, que tem menor vazão, leva $x+3$ horas. Se ambas forem abertas ao mesmo tempo, o depósito se enche em exatamente $2$ horas. Escreva uma equação racional e determine quanto tempo cada torneira leva separadamente.

Em uma peça de chapa com formato de triângulo retângulo, um cateto mede $x$ cm, o outro cateto mede $\sqrt{x+5}$ cm e a hipotenusa mede $x+1$ cm. Formule uma equação irracional aplicando o teorema de Pitágoras, encontre o valor de $x$ e calcule a área da peça.

O valor de um investimento financeiro (em milhares de reais) segue a evolução $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, onde $t$ é o tempo em anos desde o início do investimento. Em que instantes $t$ o valor do investimento é exatamente de $2$ mil reais? (Dica: utilize as propriedades das potências e faça a mudança de variável $u = 2^t$).

A magnitude de um terremoto na escala Richter é dada por $M = \log(A) - \log(A_0)$, onde $A$ é a amplitude máxima das ondas sísmicas registradas e $A_0$ é uma amplitude de referência padrão. Se em um terremoto de magnitude $M_1 = 3$ a amplitude foi $A_1$, e em outro terremoto mais forte a amplitude foi $A_2 = 100 \cdot A_1$, qual foi a magnitude $M_2$ deste segundo terremoto? Aplique as propriedades dos logaritmos para demonstrá-lo passo a passo.

Um grupo de amigos aluga uma casa de campo para o fim de semana por um total de $120$ reais. De última hora, mais $2$ amigos se juntam à viagem, o que faz com que cada um dos que iam inicialmente pague $3$ reais a menos. Se $x$ é o número inicial de amigos, formule uma equação racional e descubra quantos amigos foram finalmente à casa de campo.

Resolva a seguinte equação irracional que envolve dois radicais. Você terá de elevar ao quadrado duas vezes. Verifique as soluções obtidas ao final do processo:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

Resolva a seguinte equação logarítmica aplicando as propriedades dos logaritmos (soma de logaritmos) e verifique o resultado para descartar soluções que gerem argumentos negativos:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

Um trem de média distância da Companhia Paulista de Trens realiza um trajeto de ida e volta entre duas cidades separadas por $60\text{ km}$. Na ida, devido a uma limitação temporária de velocidade por obras de manutenção na via, o trem circula a uma velocidade média de $v - 20\text{ km/h}$, sendo $v$ a sua velocidade média habitual. No trajeto de volta, já sem restrições, circula à sua velocidade habitual $v\text{ km/h}$. Sabe-se que a viagem de ida durou exatamente 15 minutos ($0,25\text{ horas}$) mais do que a viagem de volta.

1. a) Formule uma equação racional que modele a situação a partir da relação entre o tempo, a distância e a velocidade, identificando o significado de cada termo e as restrições que a realidade física impõe sobre o valor de $v$.
2. b) Resolva a equação para calcular o valor da velocidade habitual $v$ e a velocidade real a que circulou no trajeto de ida.
3. c) Calcule o tempo total em que o trem esteve em movimento ao longo de todo o percurso (ida e volta), expressando o resultado em horas e minutos.

Deseja-se conceber uma equação logarítmica da forma $\log(x + a) + \log(x + 1) = \log(b)$, em que $a$ e $b$ são constantes reais fixadas, de modo que ocorra o seguinte:

• Ao aplicar as propriedades dos logaritmos e transformar a igualdade em uma equação polinomial do segundo grau, as soluções algébricas dessa equação sejam exatamente $x = 5$ e $x = -3$.

• No entanto, ao verificar na equação logarítmica original, o valor $x = -3$ deve ser descartado (por não pertencer ao domínio de definição), de modo que $x = 5$ seja a única solução válida.

1. a) A partir das relações entre as raízes e os coeficientes de um polinômio quadrático, deduza os valores numéricos obrigatórios das constantes $a$ e $b$.
2. b) Explique com precisão o aparente paradoxo: por que o valor $x = -3$ consegue verificar a equação polinomial produto, mas é inadmissível na equação logarítmica de partida?
3. c) Verifique que, com os valores de $a$ e $b$ obtidos, o valor $x = 5$ satisfaz plenamente a equação logarítmica inicial.