Exercícios: Inequações com duas incógnitas

Verifique quais dos seguintes pontos são solução da inequação $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Escreva a inequação linear com duas incógnitas cuja região solução está representada no gráfico a seguir. Observe se a reta de fronteira é contínua ou tracejada.

Represente graficamente no plano cartesiano a região solução da inequação $x + 2y > 4$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Determine se os pontos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ e $R(4, 0)$ pertencem à região viável definida pelo seguinte sistema de inequações:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Traduza o seguinte enunciado para uma inequação linear com duas incógnitas: "O triplo da massa de uma caixa grande ($x$) mais o dobro da massa de uma caixa pequena ($y$) não ultrapassa $50$ kg".

Represente graficamente o sistema de inequações que define o quarto quadrante do plano cartesiano (onde a abscissa é positiva ou nula e a ordenada é negativa ou nula).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dada a inequação $4x - 5y < 20$, indique, justificando, se os pontos situados exatamente sobre a reta $4x - 5y = 20$ fazem parte da região solução.

Escreva o sistema de inequações cuja solução é a faixa vertical compreendida entre $x = -2$ e $x = 3$, incluindo ambas as fronteiras.

A Júlia tem que resolver a inequação $2x - y < 0$. No seu caderno escreveu o seguinte:

«Passo 1: Desenho a reta contínua de equação $2x - y = 0$.

Passo 2: Como o ponto $(0, 0)$ é o mais fácil de substituir, verifico se cumpre a desigualdade: $2\cdot 0 - 0 < 0 \implies 0 < 0$.

Passo 3: Como $0 < 0$ é falso, sombreio o semiplano no qual não está o ponto $(0, 0)$».

Identifique os dois erros conceituais cometidos pela Júlia, explique por que o raciocínio dela está incorreto e descreva como o exercício deve ser corrigido escolhendo um ponto de teste adequado.

Para determinar qual semiplano corresponde à solução da inequação $y > -3x + 6$, dois colegas de turma debatem sobre qual método utilizar:

• O Carlos afirma: «Como a variável $y$ já está isolada com coeficiente positivo e o sinal é $>$, o semiplano solução é formado obrigatoriamente por todos os pontos situados acima da reta, por isso não é necessário testar nenhum ponto».

• A Júlia responde: «É mais seguro usar sempre o ponto $(0, 0)$, substituí-lo na desigualdade original e sombrear o lado correspondente conforme ela seja verdadeira ou falsa».

1. a) Aplique ambos os métodos para esta inequação e verifique se levam à mesma região.
2. b) Analise o que aconteceria com o método direto do Carlos se a inequação de partida fosse $-2y > 6x - 12$. Que precaução matemática obrigatória o método dele exige, diante da aparente segurança do método do ponto de teste?

Para organizar uma festa, compram-se garrafas de refrigerante a $2$ reais cada uma e pacotes de salgadinhos a $3$ reais cada um. Se o orçamento máximo é de $30$ reais e se deseja comprar pelo menos uma unidade de cada produto, formule o sistema de inequações correspondente e dê duas possíveis combinações de compra válidas.

Encontre o sistema de inequações que define a região sombreada no seguinte gráfico:

Represente graficamente a região viável determinada pelo seguinte sistema de inequações:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma prova de $20$ questões, cada acerto soma $2$ pontos e cada erro subtrai $1$ ponto. Se para ser aprovado é necessário obter pelo menos $15$ pontos, formule a inequação que relaciona o número de acertos ($x$) e o número de erros ($y$). Considerando que $x \ge 0$, $y \ge 0$ e $x+y \le 20$, represente graficamente a região de possíveis combinações para ser aprovado.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Represente o seguinte sistema de inequações e descreva com palavras a forma geométrica da região solução:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Uma oficina fabrica bicicletas e triciclos. Cada bicicleta requer $2$ rodas e cada triciclo $3$ rodas. No estoque restam $60$ rodas. Além disso, sabe-se que o número de bicicletas fabricadas deve ser pelo menos o dobro do de triciclos. Formule o sistema de inequações que modela essa situação.

Encontre os valores do parâmetro $k$ para os quais o ponto $A(-1, 4)$ pertence à região solução da inequação $kx - 2y \le 3$.

Represente graficamente a solução da inequação do segundo grau com duas incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um centro esportivo municipal oferece passes mensais que combinam sessões de natação ($x$, a $4$ reais cada uma) e sessões de sala de musculação ($y$, a $6$ reais cada uma). O passe exige não ultrapassar um orçamento mensal de $48$ reais ($4x + 6y \le 48$), assistir no mínimo a $3$ sessões de natação ($x \ge 3$) e realizar pelo menos $2$ sessões de musculação ($y \ge 2$).

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, estime de forma intuitiva se um usuário poderia contratar $7$ sessões de natação e $4$ sessões de musculação com este passe. Justifique a sua previsão.
2. b) Verifique algebricamente se a combinação estimada $(7, 4)$ pertence à região viável.
3. c) Calcule analiticamente as coordenadas dos três vértices do polígono que delimita a região viável e determine qual é o número máximo de sessões totais (natação mais musculação) que este passe permite usufruir.

Uma região do plano forma um trapézio fechado cujos vértices são os pontos $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ e $D(1, 4)$, estando incluídos tanto os seus quatro lados como toda a área interior.

1. a) Obtenha a equação de cada uma das quatro retas que formam os lados do trapézio.
2. b) Escreva o sistema de inequações lineares com duas incógnitas cuja solução gráfica seja exatamente esta região.
3. c) Utilize um ponto interior claro (por exemplo, o ponto $(2, 2)$) para justificar de forma analítica por que você escolheu o sentido da desigualdade em cada uma das quatro inequações.

Uma empresa de transporte dispõe de caminhões do tipo A (capacidade de $3$ toneladas) e caminhões do tipo B (capacidade de $5$ toneladas). Eles precisam transportar pelo menos $45$ toneladas de mercadoria. Por restrições de pessoal, não podem usar mais de $12$ caminhões no total. Formule o sistema de inequações e verifique analiticamente se é possível realizar o transporte usando $4$ caminhões do tipo A e $7$ do tipo B.

Determine o sistema de inequações que define a região limitada mostrada na seguinte figura:

Represente graficamente a região do plano definida pelo seguinte sistema misto (uma inequação quadrática e uma linear):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma fazenda criam-se galinhas e porcos. Sabe-se que o número máximo de animais que a fazenda pode abrigar é de $100$. Além disso, por questões de rentabilidade, a quantidade de porcos não pode ultrapassar a terça parte da quantidade de galinhas, e deve haver pelo menos $10$ porcos. Formule o sistema de inequações e represente-o graficamente para encontrar a região de possíveis combinações.

Dado o sistema de inequações:

$x + 2y \le 7$

$ax - y \ge 1$

Calcule o valor do parâmetro $a$ para que o ponto $P(3, 2)$ seja um vértice da região admissível (ou seja, esteja exatamente na interseção das duas retas de fronteira).

Um agricultor quer plantar tomates e pimentões em um terreno de $500 \text{ m}^2$. Para cada metro quadrado de tomates ele precisa de $4$ litros de água por semana, e para cada metro quadrado de pimentões precisa de $3$ litros. Ele dispõe de um reservatório que fornece no máximo $1800$ litros semanais. Se, por motivos comerciais, deve dedicar pelo menos $100 \text{ m}^2$ aos tomates e pelo menos $50 \text{ m}^2$ aos pimentões, formule o sistema de inequações e verifique se ele pode plantar $250 \text{ m}^2$ de cada hortaliça.

Escreva um sistema de inequações cuja solução seja um quadrado perfeito centrado na origem das coordenadas, de lado $4$ unidades, com seus lados paralelos aos eixos cartesianos, e onde os pontos das bordas estejam incluídos.

Resolva graficamente o seguinte sistema e encontre analiticamente as coordenadas dos vértices da região viável:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$

Uma cooperativa de olivicultores de Minas Gerais comercializa dois formatos de azeite extravirgem: garrafões familiares de $5$ litros ($x$) e garrafas gourmet de $1$ litro ($y$). Para a campanha de Natal, estabelecem-se as seguintes restrições operacionais:

• O volume total de azeite destinado a esses dois formatos não pode ultrapassar $1\,500$ litros.

• Por limitações de fornecimento de vidro, há material para embalar no máximo $600$ garrafas gourmet.

• Para garantir a rentabilidade, o volume total embalado em garrafões deve ser, pelo menos, o triplo do volume total embalado em garrafas gourmet.

• É preciso preparar pelo menos um garrafão ($x \ge 1$) e pelo menos uma garrafa ($y \ge 1$).

1. a) Modele o problema por meio de um sistema de inequações lineares com duas incógnitas, prestando especial atenção a como expressar algebricamente a condição que compara os volumes embalados.
2. b) Determine analiticamente os vértices da região viável e indique, com justificativa, se se trata de uma região limitada ou ilimitada.
3. c) Verifique se a cooperativa pode atender integralmente a um pedido de $220$ garrafões e $350$ garrafas gourmet, respeitando todos os critérios anteriores.

A claraboia superior de uma estufa é projetada num plano cartesiano (com medidas em metros) através de uma região envidraçada compreendida entre uma curva parabólica e uma viga reta:

1. A borda superior é uma parábola com vértice em $(0, 4)$ que intersecta o eixo horizontal em $(-2, 0)$ e $(2, 0)$. O caixilho desta parábola faz parte da zona envidraçada.

2. A borda inferior é uma reta que une os pontos $(-2, 0)$ e $(1, 3)$, mas por motivos de dilatação estrutural, esta linha divisória não inclui o vidro (fronteira tracejada).

3. A zona transparente fica estritamente acima da referida reta e abaixo ou sobre a parábola.

1. a) Deduza algebricamente a equação da parábola $y = ax^2 + c$ e a equação explícita da reta fronteira.
2. b) Escreva o sistema de inequações que delimita a zona com vidro, diferenciando com precisão os símbolos de desigualdade estrita e não estrita.
3. c) Descubra analiticamente os dois pontos de interseção onde se unem ambas as fronteiras e fundamente formalmente se o ponto $(0, 2)$ pertence ou não à zona envidraçada.

Desafio do tema. Torne-se auditor energético da sua casa!

Fase 1. Dados reais: Pegue a última conta de luz da sua casa (ou consulte o preço médio do kWh no site da distribuidora de energia ou da ANEEL). Anote o custo fixo da demanda contratada, o preço do kWh e o gasto total.

Fase 2. Modelagem:

1. Formule e resolva um sistema linear para calcular o consumo exato em horário de ponta e fora de ponta, conhecendo o valor do consumo de energia (gasto total menos custos fixos) e a relação entre ambos os consumos.

2. Modele o custo médio unitário por meio de uma equação racional do tipo $y = \frac{k}{x} + c$ e calcule, resolvendo uma inequação com uma incógnita, a partir de que consumo $x$ o custo médio fica abaixo de um patamar fixado.

3. Formule uma inequação com duas incógnitas que limite o uso de dois eletrodomésticos para não ultrapassar um gasto adicional de $25,5$ reais. Represente no GeoGebra a região admissível.

Fase 3. Proposta: Resolva um problema com uma equação do segundo grau que determine as dimensões de um painel solar retangular cujo comprimento supere em $0,5$ m a largura, cobrindo uma superfície mínima de $1,5$ m². Reúna tudo em um relatório breve com as suas capturas de tela do GeoGebra e conclusões de economia.

Será valorizado:

• Correção analítica ao resolver as equações, inequações e sistemas.

• Rigor no uso de dados reais e precisão da região admissível no GeoGebra.

• Coerência e justificativa da proposta de economia no relatório final.