Exercícios: A lei da gravitação universal

Duas esferas de aço de $1\ \text{kg}$ cada uma estão colocadas de modo que seus centros distam $1\ \text{m}$, como se mostra na figura.

Aplique a lei da gravitação universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, com $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, e calcule a força com que elas se atraem. Parece uma força grande ou pequena? Comente.

Na lei da gravitação universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indique o que representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ e $r$) e em que unidade se mede no Sistema Internacional.
2. b) O valor de $G$ é $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, um número muito pequeno. Explique que consequência isso tem para a força entre objetos de massa normal.

Dois colegas de turma, de $60\ \text{kg}$ e $70\ \text{kg}$ de massa, estão sentados de modo que seus corpos distam $1\ \text{m}$ em média. Calcule a força de atração gravitacional entre eles ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) e expresse-a em notação científica.

Dois corpos se atraem com uma força $F$, como mostra o gráfico da força em função da distância.

Sem alterar as massas, nós os afastamos até que a distância entre eles seja o dobro. Observando a fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, quanto valerá agora a força? Justifique.

Dois asteroides se atraem com uma força $F$.

1. a) Se um deles tivesse o dobro da massa, qual seria a nova força?
2. b) E se ambos tivessem o dobro da massa?

Justifique ambas as respostas com a fórmula da gravitação universal.

Calcule a força com que a Terra atrai uma pessoa de $50\ \text{kg}$ situada na sua superfície, como mostra a figura.

Dados: massa da Terra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, raio da Terra $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compare o resultado com o peso da pessoa, $P = m\cdot g$ com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: o que você observa?

Um livro e a prateleira onde está apoiado se atraem gravitacionalmente, assim como a Terra e a Lua. No entanto, nunca vemos o livro se mover em direção à prateleira. Pensando no valor de $G$, nas massas dos objetos e na fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explique por que não percebemos a atração gravitacional entre os objetos do dia a dia.

Quando você deixa cair uma caneta, a Terra a atrai para baixo; mas, segundo a lei da gravitação universal, a caneta também atrai a Terra com uma força de igual módulo.

1. a) Por que razão vemos apenas a caneta se mover e não a Terra subindo ao seu encontro?
2. b) Justifique levando em conta as massas de ambos os corpos e a aceleração que a mesma força produz em cada um.

Calcule a força de atração gravitacional entre a Terra e a Lua, como mostra a figura.

Dados: massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distância média entre os seus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expresse o resultado em notação científica, arredondando para duas casas decimais.

O Sol mantém a Terra em órbita atraindo-a. Calcule essa força com os seguintes dados: massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distância média entre os seus centros $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Depois, compare o resultado com a força Terra-Lua, de cerca de $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quantas vezes maior é?

Dois petroleiros gêmeos, de $10^{6}\ \text{kg}$ de massa cada um, ancoram com seus centros de massa separados por $100\ \text{m}$.

1. a) Calcule a força gravitacional com que eles se atraem ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare essa força com a necessária para arrastar uma folha de papel sobre a mesa, da ordem de $0,01\ \text{N}$. Os navios notarão essa atração? Justifique.

Dois corpos se atraem com uma força $F$.

1. a) Se a distância entre eles triplicar, por qual fator a força se altera?
2. b) Se, além de triplicar a distância, cada uma das duas massas for duplicada, por qual fator a força total se altera?

Justifique cada item com a fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Um satélite geoestacionário de $1000\ \text{kg}$ orbita a uma distância do centro da Terra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, como mostra a figura.

1. a) Calcule a força com que a Terra o atrai (massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compare essa força com o peso do satélite quando estava na superfície, $P = m\cdot g$ com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quantas vezes menor é, aproximadamente?

Duas esferas metálicas idênticas, colocadas com os seus centros a $2\ \text{m}$ de distância, atraem-se com uma força de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Escreva a lei da gravitação universal chamando de $m$ a massa de cada esfera (são ambas iguais!).
2. b) Isole $m$ da fórmula e calcule a massa de cada esfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Um satélite de $500\ \text{kg}$ está na superfície da Terra, onde o planeta o atrai com uma força de $4900\ \text{N}$, como mostra a figura.

1. a) Raciocinando com o fator $\frac{1}{r^2}$ da lei da gravitação, com que força a Terra o atrairá quando ele orbitar a uma distância do centro do planeta igual ao dobro do raio terrestre?
2. b) Se o raio da Terra é $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, a que altitude acima da superfície estará então o satélite?

Calcule a força gravitacional entre uma pessoa de $80\ \text{kg}$ e um caminhão de $5000\ \text{kg}$ estacionado a $10\ \text{m}$ de distância ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Depois, calcule o peso de um mosquito de $2\ \text{mg}$ de massa ($P = m\cdot g$, com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; atenção às unidades) e compare as duas forças. Que conclusão você tira sobre a atração gravitacional entre objetos do dia a dia?

Vamos deduzir o valor de $g$ à superfície da Terra a partir da lei da gravitação universal.

1. a) Escreva a força que a Terra exerce sobre um corpo de massa $m$ de duas formas: como $F = m\cdot g$ e como $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguale as duas expressões, simplifique a massa $m$ e isole $g$.
3. c) Calcule o seu valor com $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Que valor tão conhecido você obtém?

Duas massas fixas, de $100\ \text{kg}$ e $400\ \text{kg}$, estão separadas por $3\ \text{m}$. Queremos colocar uma terceira massa na linha que as une, entre ambas, de modo que a força gravitacional resultante sobre ela seja zero, como se mostra na figura.

1. a) Se $x$ for a distância da terceira massa à de $100\ \text{kg}$, escreva a igualdade entre as duas forças que atuam sobre ela.
2. b) Resolva a equação e calcule $x$ (dica: simplifique primeiro $G$ e a terceira massa, e depois calcule as raízes quadradas).
3. c) O resultado depende do valor da terceira massa? E de $G$? Comente.

A que distância do centro da Terra a força gravitacional sobre um corpo se reduz à metade da que ele sente na superfície?

1. a) Formule a igualdade utilizando o fato de a força diminuir com $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Isole $r$ em função do raio da Terra $R_T$ (vai aparecer um $\sqrt{2}$).
3. c) Com $R_T = 6370\ \text{km}$, calcule a que altitude acima da superfície é necessário subir, em quilômetros. Você acha que um avião comercial, que voa a cerca de $10\ \text{km}$ de altitude, percebe essa diminuição? Justifique a resposta.

O Sol atrai a Lua, e a Terra também a atrai. Calcule as duas forças sobre a Lua com estes dados: massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distância Sol–Lua $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distância Terra–Lua $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Quantas vezes maior é a atração do Sol sobre a Lua do que a da Terra?
2. b) Se o Sol puxa a Lua com mais força, por que a Lua continua orbitando a Terra em vez de escapar em direção ao Sol? Dica: pense em quais outros corpos o Sol também atrai ao mesmo tempo.

Um exoplaneta rochoso tem o quádruplo da massa da Terra e o dobro do raio, como mostra a figura.

1. a) Utilizando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, justifique por qual fator varia a gravidade na superfície dele em relação à terrestre.
2. b) Quanto pesaria lá uma astronauta de $60\ \text{kg}$ (considere a gravidade terrestre como $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) E se o planeta tivesse o quádruplo da massa, mas o mesmo raio da Terra? Calcule o novo peso da astronauta.

Newton verificou a lei dele comparando a queda dos corpos na superfície com o movimento da Lua.

1. a) Calcule a força que a Terra exerce sobre um corpo de $1\ \text{kg}$ na superfície dela ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcule a força que ela exerceria sobre esse mesmo corpo se ele estivesse à distância da Lua ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Verifique que a segunda força é cerca de $3600$ vezes menor e relacione esse valor com o quociente entre as duas distâncias, que é de cerca de $60$. Que lei fica confirmada?

Imagine que a Terra fosse comprimida até ficar com metade do raio, conservando toda a sua massa.

1. a) Justificando com $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, por qual fator mudaria a gravidade na superfície da Terra?
2. b) Quanto pesaria, então, uma pessoa de $70\ \text{kg}$? (Considere o $g$ atual como $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Comente uma consequência que essa alteração teria para a vida nesse mundo.

Uma nave viaja em linha reta da Terra para a Lua. Há um ponto do trajeto no qual as atrações gravitacionais de ambas se compensam, como mostra a figura.

1. a) Se $x$ for a distância da nave ao centro da Terra, formule a igualdade entre as forças que a Terra e a Lua exercem sobre a nave (distância Terra–Lua: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Verifique numericamente que a igualdade se verifica para $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Esse ponto fica a $90\ \%$ do percurso total. Explique, levando em conta as massas da Terra e da Lua, por que ele está tão perto desta última.