Exercícios: Movimentos retilíneos e circulares

Um trem suburbano circula em linha reta com velocidade constante $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Quando $t = 0$ passa pela posição $x_0 = 100\ \text{m}$.

1. a) Escreva a equação da sua posição $x(t)$.
2. b) Calcule a sua posição quando $t = 8\ \text{s}$.

Um avião parte do repouso na pista e acelera uniformemente com $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.

1. a) Escreva a equação da sua velocidade $v(t)$.
2. b) Calcule a velocidade que ele tem aos $10\ \text{s}$.
3. c) Explique com suas palavras o que significa uma aceleração de $3\ \text{m/s}^2$.

Um ciclista se move em linha reta com M.R.U.V., com $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ e $a = 1\ \text{m/s}^2$.

1. a) Escreva a equação da posição dele $x(t)$.
2. b) Calcule a posição dele quando $t = 6\ \text{s}$ usando $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

Deixa-se cair uma moeda do alto de uma torre de $20\ \text{m}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo que ela demora para chegar ao solo.
2. b) Calcule a velocidade com que ela chega.

As pás de um ventilador de teto demoram $0,5\ \text{s}$ para dar uma volta completa.

1. a) Quanto valem o período $T$ e a frequência $f$ da rotação?
2. b) Calcule a velocidade angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$, em $\text{rad/s}$, e aproxime-a para uma casa decimal.

Uma roda-gigante gira com velocidade angular constante $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ e o seu raio é $r = 10\ \text{m}$. O esquema mostra uma cabine na borda e outra mais próxima do eixo.

1. a) Calcule a velocidade linear $v = \omega \cdot r$ de uma cabine situada na borda.
2. b) Explique por que uma cabine situada mais próxima do eixo se moveria mais devagar, embora a velocidade angular seja a mesma.

Um patinador descreve uma curva de raio $8\ \text{m}$ a $4\ \text{m/s}$. A figura mostra a curva e o vetor velocidade.

1. a) Calcule a sua aceleração normal $a_n = \frac{v^2}{r}$.
2. b) Indique a sua direção e o seu sentido.

Um satélite descreve uma órbita aproximadamente circular em torno da Terra com rapidez constante.

1. a) O satélite tem aceleração?
2. b) Se o módulo da velocidade não se altera, o que se altera no vetor velocidade? Explique por que isso implica a existência de aceleração e como se chama essa aceleração.

Um ônibus que circula a $72\ \text{km/h}$ freia uniformemente com $a = -2\ \text{m/s}^2$ até parar.

1. a) Expresse a sua velocidade inicial em $\text{m/s}$.
2. b) Calcule o tempo que ele leva para parar.
3. c) Calcule a distância percorrida durante a frenagem.

De uma ponte com $15\ \text{m}$ de altura lança-se uma pedra verticalmente para baixo com $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema:

1. a) Escreva a equação da posição tomando a superfície da água como origem e calcule o tempo que ela demora para chegar à água.
2. b) Calcule a velocidade com que ela chega.

Um malabarista lança uma bola verticalmente para cima com $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema do lançamento:

1. a) Calcule o tempo que a bola demora para atingir a altura máxima.
2. b) Calcule essa altura máxima.
3. c) Quanto tempo passa até a bola voltar à mão do malabarista e com que velocidade ela chega? Justifique com base na simetria do movimento.

Um trem de metrô parte do repouso e acelera uniformemente a $0,5\ \text{m/s}^2$ ao longo de $400\ \text{m}$.

1. a) Calcule a velocidade que ele atinge usando $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
2. b) Calcule o tempo que ele leva para percorrer esses $400\ \text{m}$.

Um carrossel de $4\ \text{m}$ de raio dá uma volta a cada $8\ \text{s}$.

1. a) Calcule a sua velocidade angular $\omega$ em $\text{rad/s}$, em função de $\pi$.
2. b) Calcule a velocidade linear de uma criança sentada na borda.
3. c) Calcule a sua aceleração normal. Expresse também os resultados finais com uma casa decimal.

Uma bicicleta se desloca a $7\ \text{m/s}$ e as suas rodas têm $0,35\ \text{m}$ de raio.

1. a) Calcule a velocidade angular das rodas, levando em conta que na borda $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcule o período de rotação da roda.
3. c) Calcule a distância que a bicicleta percorre a cada volta completa da roda e explique por que ela coincide com o comprimento da circunferência.

Uma centrífuga de laboratório roda com frequência $f = 50\ \text{Hz}$ e as amostras descrevem círculos de raio $0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcule a velocidade angular $\omega = 2\pi \cdot f$.
2. b) Calcule a velocidade linear das amostras.
3. c) Calcule a sua aceleração normal e expresse-a em notação científica.

Um motorista dirige a $90\ \text{km/h}$, demora $0,8\ \text{s}$ para reagir diante de um obstáculo e depois freia com $a = -5\ \text{m/s}^2$. O esquema mostra as duas fases da parada.

1. a) Expresse a velocidade em $\text{m/s}$ e calcule a distância percorrida durante o tempo de reação.
2. b) Calcule o tempo de frenagem e a distância de frenagem.
3. c) Calcule a distância total de parada, que é a soma das duas anteriores.

Um automóvel parte do repouso com aceleração constante $a = 2\ \text{m/s}^2$ exatamente no instante em que uma moto passa por ele com velocidade constante de $12\ \text{m/s}$, no mesmo sentido. Os gráficos $x$-$t$ de ambos os veículos são apresentados na figura.

1. a) Escreva as equações da posição de ambos os veículos tomando como origem o ponto de ultrapassagem.
2. b) Calcule o instante em que o automóvel alcança a moto.
3. c) Em que posição ele a alcança e qual é a velocidade do automóvel nesse instante?
4. d) Explique, a partir do modo como a velocidade do automóvel varia com o tempo, por que razão ele acaba por alcançá-la, embora no início fique para trás.

De uma varanda a $15\ \text{m}$ do solo lança-se uma bola verticalmente para cima com $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule a altura máxima atingida, medida a partir do solo.
2. b) Escreva a equação da posição tomando o solo como origem e calcule o tempo total de voo até chegar ao solo.
3. c) Calcule a velocidade com que chega ao solo.
4. d) Compare esse tempo de voo com o que demoraria se fosse simplesmente deixada cair da varanda e explique a diferença.

Um automóvel circula a $108\ \text{km/h}$.

1. a) Expresse essa velocidade em $\text{m/s}$.
2. b) Calcule a distância de frenagem em piso seco, com $a = -6\ \text{m/s}^2$.
3. c) Calcule a distância de frenagem em piso molhado, com $a = -3\ \text{m/s}^2$.
4. d) Se o tempo de reação do motorista for $0,5\ \text{s}$, calcule a distância total de parada em ambos os casos e explique por que é conveniente aumentar a distância de segurança quando chove.

Numa plataforma giratória de um parque de diversões que roda com $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, uma criança está sentada a $2\ \text{m}$ do eixo e um adulto a $8\ \text{m}$.

1. a) Calcule a velocidade linear de cada um.
2. b) Calcule a aceleração normal de cada um.
3. c) Justifique, a partir da expressão $a_n = \omega^2 \cdot r$, qual dos dois está sujeito a maior aceleração e o que isso implica quanto ao apoio necessário para não escorregar para fora.

O tambor de uma máquina de lavar roupa tem $0,25\ \text{m}$ de raio e, na centrifugação, gira a $600$ rotações por minuto, ou seja, $10$ voltas por segundo.

1. a) Expresse a frequência de rotação em $\text{Hz}$ e calcule a velocidade angular.
2. b) Calcule a velocidade linear de um botão fixo ao tambor.
3. c) Calcule a aceleração centrípeta dele e compare-a com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quantas vezes é maior, aproximadamente?
4. d) Explique como esse resultado ajuda a entender por que a centrifugação retira a água da roupa.

O ponteiro dos minutos do relógio de uma estação mede $1,5\ \text{m}$ e demora uma hora para dar uma volta completa.

1. a) Calcule a sua velocidade angular em $\text{rad/s}$, em notação científica.
2. b) Calcule a velocidade linear da ponta do ponteiro.
3. c) Calcule a aceleração normal da ponta e expresse-a em notação científica.
4. d) Compare a velocidade angular do ponteiro dos minutos com a do ponteiro dos segundos, que demora $60\ \text{s}$ por volta: quantas vezes a velocidade angular do ponteiro dos segundos é maior?

Um balão de ar quente sobe com velocidade constante de $8\ \text{m/s}$. Quando está a $48\ \text{m}$ de altura, solta-se um saco de lastro. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema da situação:

1. a) Explique por que o saco, ao se soltar, continua subindo por alguns instantes em vez de cair imediatamente.
2. b) Escreva a equação da posição do saco tomando o solo como origem e calcule o tempo que ele leva para chegar ao solo.
3. c) Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.
4. d) Calcule a altura em que o balão se encontra no instante em que o saco atinge o solo.

Na diversão «o rotor», as pessoas se apoiam na parede interna de um cilindro de $4\ \text{m}$ de raio que gira até que o chão seja retirado. Deseja-se que a aceleração normal dos passageiros seja $2,5$ vezes $g$; considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule a velocidade linear que a parede deve ter.
2. b) Calcule a velocidade angular $\omega$.
3. c) Calcule o período de rotação.
4. d) Explique por que as pessoas não caem quando o chão desaparece, indicando qual força origina a aceleração normal e qual força equilibra o peso.