Exercícios: Teorema de Tales

No desenho a seguir, as retas $r$ e $s$ são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Sabendo que os segmentos determinados na reta $r$ medem $AB = 4\text{ cm}$ e $BC = 6\text{ cm}$, e que o segmento homólogo a $AB$ na reta $s$ mede $A'B' = 2\text{ cm}$, calcule o comprimento do segmento $B'C'$.

Desenhe um segmento $AB$ que meça $10\text{ cm}$ no seu caderno. Utilizando o método do Teorema de Tales, divida-o exatamente em $4$ partes iguais. Descreva brevemente os passos seguidos (traçado da semirreta auxiliar, divisões iguais e união das extremidades).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um jovem de $1,5\text{ metros}$ de altura projeta uma sombra de $1\text{ metro}$ de comprimento. Nesse mesmo instante, a sombra de um poste de iluminação da rua mede $4\text{ metros}$. Qual é a altura do poste de iluminação? Desenhe um esquema com dois triângulos retângulos para visualizar a situação.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dois triângulos estão em posição de Tales. O triângulo pequeno tem lados que medem $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$. Se o lado correspondente ao de $3\text{ cm}$ no triângulo grande mede $9\text{ cm}$, quanto medirão os outros dois lados do triângulo maior?

Um carpinteiro está construindo uma estante e quer verificar se as duas prateleiras são paralelas. Para isso, mede as distâncias nos suportes laterais. No lado esquerdo, a distância entre o chão e a primeira prateleira é de $30\text{ cm}$, e entre a primeira e a segunda há $40\text{ cm}$. No lado direito, a distância até o chão é de $45\text{ cm}$ e entre as prateleiras há $60\text{ cm}$. As prateleiras são paralelas? Justifique sua resposta utilizando a proporção do Teorema de Tales.

Calcule o valor da incógnita $x$ na figura a seguir, sabendo que os segmentos horizontais são paralelos entre si.

Divida um segmento de $7\text{ cm}$ em duas partes tais que a razão entre elas seja de $2$ para $3$. Para isso, utilize uma semirreta auxiliar e marque $5$ divisões iguais ($2+3$). Quanto mede cada um dos dois novos segmentos obtidos sobre o original?

Em um parque, uma árvore de $2\text{ metros}$ de altura projeta uma sombra de $3,5\text{ metros}$. A poucos metros há uma estátua cuja sombra mede exatamente $7\text{ metros}$. Qual é a altura da estátua? Utilize a semelhança de triângulos estabelecida pelo Teorema de Tales.

No recreio da sua escola, às $12:00$, você crava verticalmente no chão uma régua de $1\text{ m}$ de altura e observa que a sua sombra mede exatamente $0,5\text{ m}$. Bem ao lado, um poste de luz projeta nesse mesmo instante uma sombra de $2,6\text{ m}$.

1. a) Sem fazer contas com lápis e papel, estime de forma fundamentada se o poste medirá mais ou menos de $5\text{ m}$, explicando a sua dedução a partir da relação entre a altura da régua e a sua sombra.
2. b) Aplique o Teorema de Tales para calcular com exatidão a altura real do poste.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa prévia e explique por que o resultado é coerente.

Duas retas secantes, $r$ e $s$, são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Na reta $r$, essas paralelas determinam dois segmentos consecutivos: $AB = 3\text{ cm}$ e $BC = 5\text{ cm}$. Na reta $s$, os segmentos correspondentes são $A'B' = 4,5\text{ cm}$ e $B'C' = x$.

Para calcular o valor de $x$, o Marcos escreveu no caderno a seguinte igualdade:

e, depois de isolar a incógnita, obteve $x = 2,7\text{ cm}$.

1. a) Aponte qual foi o erro de raciocínio do Marcos ao emparelhar os segmentos na proporção.
2. b) Sem fazer cálculos numéricos ainda, argumente por que um resultado de $2,7\text{ cm}$ contradiz a lógica geométrica do Teorema de Tales, prestando atenção às medidas de $AB$ e $BC$.
3. c) Escreva a proporção correta, resolva-a passo a passo e determine a medida real do segmento $B'C'$.

No diagrama a seguir, as retas $r$ e $s$ são cortadas por três retas paralelas ($a$, $b$ e $c$). Utilize os dados fornecidos para calcular o comprimento do segmento desconhecido $x$.

Um jovem designer gráfico está criando um logotipo que inclui dois triângulos em posição de Tales. Sabendo que o segmento $DE$ é paralelo a $BC$, calcule os comprimentos dos segmentos $AD$ e $BC$ sabendo que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm e $DE = 3$ cm.

Para medir a altura de uma cesta de basquete, um aluno do 8º ano coloca uma estaca vertical de $1,5$ metros de altura de forma que a extremidade da sua sombra coincide exatamente com a extremidade da sombra da cesta. Se a sombra da estaca mede $2,1$ metros e a distância da base da estaca até a base da cesta é de $2,2$ metros, qual é a altura da cesta?

Divida graficamente um segmento $AB$ de $9$ cm de comprimento em três partes que sejam proporcionais aos números $2$, $3$ e $4$. Explique brevemente os passos realizados com base no Teorema de Tales.

Numa estante de design, três suportes metálicos paralelos entre si são cortados por duas prateleiras de madeira. A prateleira superior fica dividida pelos suportes em dois trechos consecutivos de $25$ cm e $x$. A prateleira inferior fica dividida em dois trechos correspondentes de $y$ e $48$ cm. Sabendo que a prateleira superior mede no total $65$ cm, calcule a medida dos trechos assinalados com $x$ e $y$.

Determine a quarta proporcional de três segmentos cujos comprimentos são $a = 8$ cm, $b = 12$ cm e $c = 10$ cm. Realize tanto o cálculo numérico quanto a construção geométrica utilizando o Teorema de Tales sobre duas semirretas concorrentes.

Verifique se as retas $r$ e $s$ da figura a seguir são paralelas. Para isso, verifique se a relação de proporcionalidade é satisfeita entre os segmentos que elas determinam sobre as retas secantes que as cortam. Justifique sua resposta com os cálculos necessários.

Uma escada de mão de $2,4$ metros de comprimento está apoiada em uma parede. Os degraus são paralelos ao chão. O primeiro degrau está a $30$ cm do chão, seguindo a inclinação da escada, e o segundo a outros $30$ cm do primeiro. Se a distância horizontal da base da escada até a parede é de $1,2$ metros, qual é a distância horizontal da base até a vertical do segundo degrau?

Para melhorar o conforto térmico de um posto de saúde, a prefeitura encomenda a instalação de uma pérgola inclinada com painéis solares. A viga mestra inclinada mede $6\text{ m}$ de comprimento e fica apoiada desde o chão até a parte superior de um muro vertical de $2,4\text{ m}$ de altura. Para reforçar a estrutura metálica, colocam-se dois pilares verticais auxiliares (paralelos ao muro):

• O primeiro pilar é colocado a $1,5\text{ m}$ do apoio no chão (medidos sobre a viga inclinada).

• O segundo pilar é colocado a $4\text{ m}$ desse apoio (medidos também sobre a viga).

1. a) Modele a situação identificando os triângulos em posição de Tales e justifique por que os dois pilares e o muro cumprem as condições do teorema.
2. b) Calcule a altura exata que cada um dos dois pilares verticais de reforço deve ter.
3. c) Se o regulamento municipal de acessibilidade exigir que a altura livre de passagem sob qualquer ponto transitável da estrutura seja de, pelo menos, $1,5\text{ m}$, determine, com fundamentação, se uma pessoa adulta que caminhe ereta pode passar por baixo do primeiro pilar.

Projeta-se conceber uma estrutura triangular $ABC$ de reforço para um guindaste, onde a base horizontal $BC$ mede $120\text{ cm}$ e o lado inclinado $AB$ mede $90\text{ cm}$. Deve-se soldar um tirante de aço horizontal $DE$, paralelo à base $BC$, com o ponto $D$ situado sobre o lado $AB$ e o ponto $E$ sobre o lado $AC$.

1. a) Se for necessário que o comprimento do tirante $DE$ seja exatamente de $40\text{ cm}$, a que distância do vértice $A$ deve ser soldado o ponto $D$ ao longo do lado $AB$?
2. b) Se for decidido modificar o projeto para que o tirante $DE$ divida o lado $AB$ de modo que o segmento superior $AD$ meça exatamente o dobro do segmento inferior $DB$, quanto medirá o comprimento da barra $DE$ neste novo caso?
3. c) Deduza uma fórmula algébrica que expresse o comprimento da barra horizontal $DE$ (à qual chamaremos $y$) em função da distância $AD$ (à qual chamaremos $x$), e indique entre quais valores faz sentido geométrico que $x$ varie.

Em uma estrutura de design para uma ponte de pedestres, foram colocadas três vigas de reforço horizontais que são paralelas entre si. As vigas estão unidas por dois tirantes de aço oblíquos, como mostrado na figura. Sabendo que os segmentos determinados no primeiro tirante medem $x$ e $x + 2$ metros, e os segmentos correspondentes no segundo tirante medem $3$ e $4$ metros, calcule o valor de $x$ e o comprimento total do primeiro tirante.

Um artista urbano quer projetar a sombra de uma escultura vertical de $2,5$ metros de altura sobre uma parede que está a uma distância determinada. Para isso, coloca um foco de luz no chão a $6$ metros da escultura. Se a sombra projetada na parede mede exatamente $4$ metros de altura, a que distância a parede se encontra em relação ao foco de luz? Se o artista aproximar o foco $2$ metros em direção à escultura, quanto medirá a nova sombra?

Em um parque de aventuras, um cabo de tirolesa une a parte superior de duas torres verticais. Uma barra de segurança de $3$ metros de altura é colocada perpendicular ao chão, de forma que toca exatamente o cabo da tirolesa. Se a distância da base da torre pequena até a barra é de $12$ metros e a distância da barra até a ancoragem do cabo no chão é de $8$ metros, calcule a altura da torre pequena. Se a torre grande está a $30$ metros da ancoragem no chão, qual é a sua altura?

Para medir a profundidade de um poço circular de $2$ metros de diâmetro, uma pessoa de $1,70$ metros de altura se posiciona a $1,2$ metros da borda do poço. A partir dessa posição, seus olhos (situados a $1,60$ metros do chão) veem alinhados a borda do poço com a extremidade inferior da parede oposta. Desenhe um esquema da situação e calcule a profundidade do poço utilizando o Teorema de Tales.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um marceneiro está construindo uma estante de design com forma de triângulo retângulo. Ele colocou duas prateleiras horizontais paralelas à base. A base da estante mede $1,2$ metros. A primeira prateleira está situada a uma altura de $40$ cm em relação à base e mede $90$ cm de comprimento. A segunda prateleira mede $60$ cm de comprimento. A que altura em relação à base se encontra a segunda prateleira? Qual é a altura total da estante? (Expresse todos os resultados em centímetros).

Dois edifícios situados na mesma rua projetam sombras que se sobrepõem em um dado momento do dia. O edifício A tem uma altura de $18$ metros e projeta uma sombra de $12$ metros. O edifício B está situado atrás, de modo que a sua sombra termina exatamente no mesmo ponto que a do edifício A. Se a distância entre a base do edifício A e o final da sua sombra é de $12$ metros, e a distância entre os dois edifícios é de $10$ metros, calcule a altura do edifício B.

Em um mapa na escala $1:2.500$, um terreno com formato de trapézio retângulo tem uma base maior de $8$ cm e uma base menor de $5$ cm. Se na realidade a altura deste terreno é de $100$ metros, calcule:

1. O comprimento real das bases em metros.

2. A medida da altura no mapa em centímetros.

3. Se traçarmos uma linha paralela às bases que divida a altura do mapa exatamente em duas partes iguais, quanto medirá essa nova linha no mapa?

Calcule o valor dos segmentos $y$ e $z$ na seguinte configuração de retas paralelas cortadas por transversais. Sabe-se que a relação entre os segmentos superiores é $x / 2 = 5 / 4$. Utilize os dados fornecidos na imagem para montar as proporções necessárias com base no Teorema de Tales.

Para medir a altura da torre do sino da sua localidade durante uma visita de estudo, dois grupos do 8º ano propõem dois procedimentos baseados na semelhança:

• Método 1 (Sombra solar): Cravam uma vara vertical de $1,5\text{ m}$ no chão, medem a sua sombra ($0,9\text{ m}$) e a sombra projetada pela torre ($15\text{ m}$) às $11:30$ da manhã.

• Método 2 (Espelho no chão): Colocam um espelho plano horizontal no chão a $20\text{ m}$ da base da torre. Uma aluna cuja altura até os olhos é de $1,60\text{ m}$ se afasta $1,28\text{ m}$ do espelho em linha reta até ver o topo da torre refletido no centro do espelho (sabendo que o ângulo com que a luz incide no espelho é igual ao ângulo com que sai refletida).

1. a) Efetue os cálculos que cada grupo realizaria e verifique se ambos os métodos oferecem um resultado coincidente para a altura da torre.
2. b) Explique o fundamento geométrico do método do espelho, demonstrando por que razão os dois triângulos envolvidos são semelhantes e como isso se relaciona com o teorema de Tales.
3. c) Se a atividade tivesse de ser realizada obrigatoriamente em um dia muito nublado, sem sombras definidas, ou em uma praça fechada onde os edifícios vizinhos cobrem a sombra da torre, qual dos dois métodos você escolheria? Justifique as vantagens, limitações e inconvenientes de cada um em situações reais.

Em uma prova escrita propõe-se o seguinte problema: «Em um triângulo $ABC$, o lado $AB$ mede $15\text{ cm}$. Traça-se um segmento interior $DE$ paralelo ao lado $BC$ (com $D$ em $AB$ e $E$ em $AC$), de tal forma que $AD = 6\text{ cm}$ e a base $BC = 20\text{ cm}$. Calcule o comprimento do segmento paralelo $DE$».

Dois estudantes discutem sobre a forma correta de resolvê-lo:

• A Ana afirma: «Pelo Teorema de Tales, os segmentos são proporcionais. Como o segmento inferior é $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, a proporção é $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, ou seja, $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, o que dá $DE \approx 13,33\text{ cm}$».

• O Lucas contesta: «A sua fórmula está errada porque os lados paralelos pertencem a triângulos completos, não a segmentos cortados em uma transversal. A proporção correta é $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, ou seja, $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, o que dá $DE = 8\text{ cm}$».

1. a) Justifique de forma rigorosa quem tem razão e explique com precisão o erro conceitual da pessoa equivocada ao confundir os segmentos das transversais com as bases paralelas.
2. b) Para defender a Ana, um terceiro aluno diz: «A fórmula da Ana funciona se $D$ for colocado exatamente no ponto médio de $AB$». Verifique o que aconteceria com a fórmula da Ana se $AD = 7,5\text{ cm}$ e $DB = 7,5\text{ cm}$, calcule o valor previsto por ela e argumente por que esse resultado demonstra geometricamente que a fórmula continua sendo um disparate.
3. c) Se definirmos a razão de semelhança como $r = \frac{AD}{AB}$, escreva a relação geral correta que permite calcular o comprimento do segmento $DE$ a partir da base $BC$ e de $r$.