Exercícios: Aplicações do Teorema de Pitágoras

Um designer gráfico tem uma fotografia retangular de $10 \text{ cm}$ de largura e $15 \text{ cm}$ de altura. Se decidir ampliá-la para fazer um cartaz de modo que a nova largura seja de $40 \text{ cm}$, quanto medirá a altura do cartaz se ambas as figuras devem ser semelhantes?

Na planta de um condomínio, a escala utilizada é $1:500$. Se a piscina comunitária mede $3 \text{ cm}$ de comprimento na planta, qual é a extensão real dela, expressa em metros?

Dois quadrados são semelhantes. O lado do primeiro mede $4 \text{ cm}$ e o lado do segundo mede $12 \text{ cm}$. Calcule a razão de semelhança $k$ e explique quantas vezes a área do segundo quadrado é maior que a do primeiro.

Em um determinado horário do dia, um poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura projeta uma sombra de $1,5 \text{ m}$. Nesse mesmo instante, a sombra de uma torre de energia próxima mede $12 \text{ m}$. Aplicando o teorema de Tales, calcule a altura da torre.

Um tablet tem uma tela retangular cujas dimensões são $24 \text{ cm}$ de base e $7 \text{ cm}$ de altura. Calcule a medida de sua diagonal aplicando o teorema de Pitágoras.

O telhado de um abrigo de jardim tem a forma de um triângulo isósceles. A base do triângulo mede $6 \text{ metros}$ e os lados iguais medem $5 \text{ metros}$ cada um. Calcule a altura do telhado.

Para prender uma antena de rádio, foi colocado um cabo de aço esticado desde a sua parte mais alta até o chão. Se a antena mede $12 \text{ m}$ de altura e o cabo é fixado ao chão a uma distância de $5 \text{ m}$ da base, qual é o comprimento do cabo?

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$. (Dica: Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e se cruzam em seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos iguais).

O Marco precisa calcular o lado de uma placa retrorrefletora com a forma de um losango cujas diagonais medem $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Para resolver, ele escreve no caderno: $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, e conclui que o lado mede $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$. Identifique o erro geométrico cometido pelo Marco, explique por que não se pode aplicar diretamente o teorema de Pitágoras com esses dados e calcule o valor correto do lado do losango.

Um ladrilho de terraço tem a forma de um hexágono regular com $10\text{ cm}$ de lado. Lembre-se de que em um hexágono regular o raio coincide exatamente com o comprimento do lado.

1. a) Antes de fazer cálculos numéricos, justifique se o apótema do ladrilho deve ser maior, menor ou igual a $10\text{ cm}$, e estime se o seu valor estará mais perto de $5\text{ cm}$ ou de $9\text{ cm}$. Justifique a sua estimativa pensando na relação entre catetos e hipotenusa.
2. b) Desenhe o triângulo retângulo correspondente, calcule o comprimento exato do apótema arredondando às centésimas e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.

Um grupo de alunos do 8º ano quer calcular a altura da cesta de basquete da quadra sem utilizar uma escada. Em um determinado momento, Luís, que mede $1,60 \text{ m}$, projeta uma sombra de $0,80 \text{ m}$. Se nesse mesmo instante a sombra da cesta mede $1,52 \text{ m}$, qual é a altura da cesta? Desenhe um esquema da situação identificando os triângulos semelhantes.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Na planta de um quarto na escala $1:50$, as dimensões de uma mesa de estudo retangular são $2,4 \text{ cm}$ de largura e $3,6 \text{ cm}$ de comprimento.

1. Calcule as dimensões reais da mesa em metros.

2. Se a área real do quarto é de $12 \text{ m}^2$, qual é a área que o quarto ocupa na planta expressa em $\text{cm}^2$?

Marta comprou uma televisão de $50$ polegadas. Sabendo que $1$ polegada equivale a $2,54 \text{ cm}$, a diagonal da tela mede exatamente $127 \text{ cm}$. Se a largura da televisão é de $110 \text{ cm}$, qual é a altura da tela? Utilize o teorema de Pitágoras e arredonde o resultado para os décimos.

Uma antena de telefonia de $12 \text{ m}$ de altura é presa ao chão com dois cabos esticadores que partem de sua extremidade superior. Cada cabo está ancorado a uma distância de $5 \text{ m}$ da base da antena.

1. Qual é o comprimento total de cabo necessário para prender a antena?

2. Se quisermos colocar outra antena semelhante cuja altura seja de $18 \text{ m}$, a que distância da base deveríamos ancorar os cabos para que a estrutura continue sendo proporcional?

Calcule o perímetro e a área de um hexágono regular cujo lado mede $8 \text{ cm}$. Para encontrar a área, lembre-se de que primeiro você deve calcular o apótema utilizando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono.

Um carpinteiro está projetando uma prateleira que tem a forma de um triângulo retângulo. Ele colocou uma prateleira intermediária paralela à base. A altura total da estante é de $150 \text{ cm}$ e a base mede $90 \text{ cm}$. Se a prateleira intermediária está situada a uma altura de $60 \text{ cm}$ a partir da base:

1. Quanto mede o comprimento dessa prateleira intermediária?

2. Que comprimento tem a ripa inclinada que forma a hipotenusa da estante completa?

Foi fabricada uma maquete de um monumento utilizando uma escala $1:250$. Se o monumento real tem um volume de $1500 \text{ m}^3$, calcule o volume da maquete em decímetros cúbicos ($\text{dm}^3$). Lembre-se da relação entre a razão de semelhança e a razão dos volumes.

Para atravessar um pequeno desfiladeiro em um circuito de aventuras, foi instalada uma tirolesa de $25 \text{ m}$ de comprimento. O ponto de partida está em uma torre a $18 \text{ m}$ de altura e o ponto de chegada está em outra plataforma a $3 \text{ m}$ de altura. Qual é a distância horizontal que separa ambas as estruturas?

Numa estação meteorológica do INMET na serra da Mantiqueira, será instalado um mastro anemométrico vertical de $12\text{ m}$ de altura. Para garantir a sua estabilidade contra rajadas de vento, ele será fixado por meio de dois cabos tensores esticados desde o topo do mastro até dois pontos de ancoragem no solo horizontal. Devido ao relevo rochoso, a primeira ancoragem é colocada a $5\text{ m}$ da base do mastro e a segunda ancoragem, no lado oposto, fica a $9\text{ m}$ da referida base. Sabendo que em cada cabo são necessários $25\text{ cm}$ adicionais em cada uma das duas extremidades para fazer as amarrações regulamentares, calcule quantos metros de cabo devem ser comprados no total para os dois tensores. Arredonde o resultado final para duas casas decimais.

Uma empresa de sinalização rodoviária encomenda o desenho de um sinal de perigo com a forma de um losango cujo lado externo deve medir exatamente $25\text{ cm}$.

1. a) Escreva a equação que relaciona o comprimento da diagonal maior ($D$), da diagonal menor ($d$) e do lado do losango a partir do teorema de Pitágoras.
2. b) Seguindo o raciocínio inverso, proponha duas combinações diferentes de números inteiros positivos para as medidas completas das diagonais ($D$ e $d$) que resultem exatamente em um lado de $25\text{ cm}$. Justifique matematicamente, por meio dos cálculos adequados, por que ambas as propostas são válidas.

Um gamer quer guardar seu teclado mecânico de $52\text{ cm}$ de comprimento dentro de uma caixa de transporte que comprou. A caixa é um paralelepípedo retângulo com dimensões internas de $48\text{ cm}$ de comprimento, $18\text{ cm}$ de largura e $10\text{ cm}$ de altura. O teclado caberá na caixa se for colocado unindo dois vértices opostos (a diagonal do espaço)? Calcule a medida da diagonal principal do interior da caixa para justificar sua resposta.

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar pacotes. Para que o pouso seja seguro em um telhado, o drone projeta dois feixes de laser que formam um ângulo reto no emissor. O drone se encontra a uma altura $h$ sobre o telhado. Os pontos de impacto dos lasers no chão estão alinhados com a vertical do drone e distam entre si $15,6\text{ m}$. Se um dos pontos de impacto está a $3,9\text{ m}$ da vertical do drone, calcule:

1. a) A altura $h$ em que o drone voa utilizando o teorema da altura.
2. b) A distância do drone até cada um dos dois pontos de pouso (os catetos do triângulo).

Para um festival de cinema, foi construída uma maquete em escala de uma pirâmide regular de base quadrada. A pirâmide real tem um lado da base de $24\text{ m}$ e uma altura de $16\text{ m}$. Se a maquete foi construída com uma razão de semelhança $k = 1:80$, calcule:

1. a) O comprimento da aresta lateral da pirâmide real (você precisará aplicar Pitágoras duas vezes).
2. b) O volume da maquete em centímetros cúbicos, sabendo que o volume de uma pirâmide é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$. (Use a relação $k^3$ para o volume).

Uma placa de trânsito tem a forma de um triângulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro dela, há uma faixa de cor vermelha que forma outro triângulo equilátero semelhante. Se a área da parte branca (o triângulo interior) é exatamente a metade da área total da placa, qual é a razão de semelhança entre o triângulo pequeno e o grande? Quanto mede o lado do triângulo interior? Arredonde para duas casas decimais.

Em uma praça há um mastro vertical. A uma distância de $12\text{ m}$ da sua base, há um refletor no chão que projeta luz. Um adolescente que mede $1,65\text{ m}$ se coloca entre o refletor e o mastro, a uma distância de $3\text{ m}$ do refletor.

1. a) Calcule a altura do mastro sabendo que a sombra da cabeça do garoto coincide exatamente com a parte superior do mastro.
2. b) Se o garoto caminhar $2\text{ m}$ em direção ao mastro, que comprimento terá sua sombra projetada sobre o próprio mastro?

O logotipo de uma nova marca de roupas é um losango inscrito dentro de um retângulo de $16\text{ cm}$ de comprimento e $12\text{ cm}$ de largura. Os vértices do losango são os pontos médios dos lados do retângulo. Calcule:

1. a) O perímetro do losango.
2. b) A área de um segundo logotipo semelhante ao anterior cujo perímetro seja o triplo. Justifique como a área muda sem a necessidade de calcular os novos lados.

Um farol de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre um penhasco vertical. De um barco no mar, observa-se que a distância até a base do farol (o ponto onde o farol começa no penhasco) é de $100\text{ m}$ e a distância até a parte mais alta do farol é de $110\text{ m}$. Calcule:

1. a) A altura do penhasco em relação ao nível do mar.
2. b) A distância horizontal do barco até a base do penhasco.

Deseja-se instalar um painel solar retangular em um telhado inclinado. O telhado tem uma inclinação tal que a cada $4\text{ m}$ de avanço horizontal sobe $3\text{ m}$ de altura.

1. a) Calcule o comprimento real do trecho de telhado que cobre $8\text{ m}$ de distância horizontal.
2. b) Se o painel solar mede $2\text{ m}$ de comprimento e é colocado seguindo a inclinação do telhado, qual altura vertical $h$ o painel vence entre sua borda inferior e a superior? (Use semelhança de triângulos).

Um condomínio de proprietários em Salvador vai instalar uma rampa reta contínua para vencer uma escadaria externa formada por $4$ degraus idênticos. Cada degrau tem um piso (profundidade horizontal) de $18\text{ cm}$ e um espelho (altura vertical) de $15\text{ cm}$. Para encomendar o corrimão inclinado que percorrerá toda a rampa, precisam saber o comprimento total dele. Duas pessoas da administração propõem métodos diferentes:

• Método da Sonia: Calcula a hipotenusa de um único degrau aplicando Pitágoras às suas medidas ($18\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$) e multiplica o resultado obtido por $4$.

• Método do Roberto: Soma primeiro as medidas dos $4$ degraus para encontrar a base total ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) e a altura total ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$), e aplica Pitágoras uma única vez sobre o triângulo retângulo global.

1. a) Desenvolva ambos os métodos apresentando os cálculos com duas casas decimais e verifique se se obtém o mesmo comprimento total.
2. b) Demonstre, apoiando-se na semelhança de triângulos, por que ambos os procedimentos são matematicamente equivalentes.
3. c) Justifique qual dos dois métodos é mais recomendável caso se pretenda minimizar o acúmulo de erros de arredondamento quando as medidas dos degraus têm casas decimais inexatas.

Uma casa unifamiliar em Petrópolis vai reformar o seu telhado simétrico de duas águas (com perfil de triângulo isósceles) para instalar painéis solares fotovoltaicos. A fachada horizontal da casa mede $8\text{ m}$ de largura e o edifício tem um comprimento de $12\text{ m}$ de profundidade. Para cumprir a norma técnica quanto a sobrecargas e permitir um escoamento adequado da água, a altura vertical da cumeeira (o vértice superior do telhado) deve ser de, pelo menos, $3\text{ m}$, mas não pode ultrapassar os $4,5\text{ m}$ devido a restrições urbanísticas do município. O arquiteto dispõe de dois tipos de vigas de madeira para a vertente inclinada do telhado:

• Viga A: de $4,5\text{ m}$ de comprimento.

• Viga B: de $5,5\text{ m}$ de comprimento.

1. a) Identifique o triângulo retângulo do perfil do telhado, calcule com duas casas decimais a altura da cumeeira que seria atingida com cada tipo de viga e deduza qual das duas opções é a única que cumpre a norma técnica.
2. b) Para a opção de viga regulamentar, calcule a área total da cobertura inclinada somando as duas águas retangulares da casa.
3. c) Os painéis solares são retangulares e medem $2\text{ m}$ de comprimento por $1\text{ m}$ de largura, e serão instalados unicamente na água orientada para o sul (um retângulo de $12\text{ m}$ de profundidade pelo comprimento da viga válida). Analise como convém orientar os painéis (na horizontal ou na vertical em relação ao solo) para não ultrapassar os limites do telhado e calcule o número máximo de painéis completos que podem ser colocados.