Exercícios: Proporcionalidade inversa

Indique, justificando, se os seguintes pares de grandezas mantêm uma relação de proporcionalidade inversa:

1. a) O número de amigos que se reúnem para comprar um presente de $\text{R\$}\ 60$ e a quantia de dinheiro que cada um deve dar.
2. b) O tempo que você deixa um celular carregando e a porcentagem de bateria que ele recupera.
3. c) A velocidade em que anda um caminhante e o tempo que ele leva para percorrer um trajeto de $10 \text{ km}$.
4. d) O número de páginas de um livro e o peso total dele.

Complete a tabela seguinte no seu caderno sabendo que as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Calcule primeiro a constante de proporcionalidade inversa $k$.

Um grupo de $4$ estudantes do 9º ano decidiu limpar um trecho de praia após um festival de música. Eles calculam que levarão $6$ horas para deixar tudo impecável. Se no final se juntarem mais $4$ amigos (sendo $8$ no total), quanto tempo levarão para terminar a limpeza se todos trabalharem no mesmo ritmo?

Para a viagem de fim de ano, os alunos alugaram um ônibus. Se forem $40$ alunos, cada um deve pagar $\text{R\$}\ 15$. Na última hora, $10$ alunos ficam doentes e não podem ir. Quanto deverá pagar cada um dos alunos restantes para cobrir o custo total do ônibus?

Um pecuarista tem forragem armazenada para alimentar suas $20$ vacas durante $30$ dias. Se decidir vender $5$ de suas vacas para reduzir despesas, durante quantos dias poderá alimentar as vacas restantes com a mesma quantidade de forragem?

Três torneiras iguais demoram $10$ horas para encher o reservatório de água de um ginásio esportivo. Se queremos que o reservatório se encha em apenas $6$ horas para podermos abrir as instalações mais cedo, quantas torneiras iguais às anteriores precisaremos ter abertas no total?

Um ciclista que avança a uma velocidade constante de $20 \text{ km/h}$ leva $45$ minutos para percorrer a distância entre duas vilas. Se aumentasse a sua velocidade para $30 \text{ km/h}$, quantos minutos levaria para fazer o mesmo percurso?

Em uma pequena gráfica, $2$ máquinas trabalhando a pleno rendimento levam $40$ minutos para imprimir os panfletos de uma festa local. Se uma das máquinas quebrar e apenas uma puder trabalhar, quanto tempo (em minutos e horas) levará para completar o mesmo trabalho? E se tivessem $4$ máquinas iguais funcionando?

O Marcos está planejando uma viagem de carro de $360\text{ km}$ entre Madrid e Saragoça. Ele sabe que, dirigindo a uma velocidade média regulamentar de $120\text{ km/h}$, leva exatamente $3$ horas. Para consumir menos combustível, decide viajar a uma velocidade média de $90\text{ km/h}$ e escreve o seguinte raciocínio no caderno para calcular o tempo $t$ que levará:

Ele conclui, convencido, que levará $2$ horas e $15$ minutos.

1. a) Sem fazer cálculos adicionais, justifique por que o resultado obtido pelo Marcos contradiz o senso comum e explique que erro conceitual ele cometeu em relação à proporcionalidade entre a velocidade e o tempo.
2. b) Corrija o exercício: determine a constante de proporcionalidade inversa $k$, indique que grandeza física ela representa neste contexto e calcule quanto tempo o Marcos realmente levará para $90\text{ km/h}$ (expresse o resultado final em horas inteiras).

Um grupo de $4$ amigos aluga uma casa de turismo rural na Chapada Diamantina para passar um fim de semana. O preço total do aluguel é fixo e eles combinaram dividi-lo em partes iguais, correspondendo exatamente $75$ reais a cada um. Imediatamente antes de fazerem a reserva definitiva, juntam-se mais $2$ amigos à viagem, de modo que o grupo final passa a ser de $6$ pessoas.

1. a) Antes de calcular o preço exato, faça uma estimativa fundamentada: o preço que cada um pagará estará entre $37,50$ reais e $75$ reais, ou será inferior a $37,50$ reais? Justifique analisando o que teria acontecido se o número inicial de amigos tivesse dobrado.
2. b) Confirme a sua estimativa calculando a constante de proporcionalidade inversa $k$ (o preço total da hospedagem) e o custo exato por pessoa para as $6$ pessoas. O resultado coincide com a sua previsão anterior?

Um grupo de estudantes do 3.º ano da ESO está a organizar um jantar de fim de ano. O restaurante deu-lhes um orçamento fixo pelo aluguer do salão e o menu especial, que será repartido em partes iguais por todos os presentes.

Copie para o seu caderno e complete a seguinte tabela para analisar como varia o preço por pessoa dependendo de quantos alunos se inscreverem no final:

Calcule a constante de proporcionalidade inversa $k'$ e explique que significado ela tem neste contexto.

Para completar um desafio de um aplicativo de treino, Ana deve percorrer uma distância de $12$ km com o seu patinete elétrico. Se mantiver uma velocidade constante de $15$ km/h, leva exatamente $48$ minutos.

Se no dia seguinte decidir ir mais devagar, a uma velocidade de $10$ km/h para economizar bateria, quantos minutos levará para completar o mesmo percurso? E se quisesse levar apenas meia hora, a que velocidade deveria circular?

Uma associação protetora de animais recebeu uma doação de sacos de ração. Com os $45$ cães que têm atualmente no abrigo, há comida suficiente para $20$ dias.

No entanto, após uma campanha de resgate, o número de cães aumenta para $60$. Quantos dias durará agora a mesma quantidade de ração? Se quisessem que a comida durasse $25$ dias, qual seria o número máximo de cães que poderiam manter no abrigo?

Três torneiras iguais levam $10$ horas para encher um reservatório de água destinado à irrigação de uma horta escolar. Deseja-se reduzir o tempo de enchimento para que a água esteja pronta antes do início das aulas.

Quantas torneiras do mesmo tipo seria necessário adicionar para que o reservatório enchesse em apenas $6$ horas? Expresse o resultado em número de torneiras adicionais.

Em um concurso de design de jogos eletrônicos, o júri distribui um prêmio de $2800$ reais de forma inversamente proporcional ao número de erros detectados na fase de testes.

A equipe "Pixel" teve $2$ erros, a equipe "Voxel" teve $4$ erros e a equipe "Sprite" teve $5$ erros. Que quantia em dinheiro receberá cada equipe?

Uma equipe de $8$ operários de uma empresa de eventos leva $12$ horas para montar todo o palco e a iluminação para um festival de música, trabalhando a um ritmo constante.

Se o festival antecipar a abertura e eles dispuserem de apenas $6$ horas para a montagem, quantos operários deverão trabalhar no total? Se no final contarem com $16$ operários, em quanto tempo terminarão o trabalho?

Para envasar um lote de azeite de oliva ecológico, foram utilizadas $400$ garrafas de $0,75$ litros cada uma. Por motivos de marketing, a cooperativa decide mudar o formato das garrafas para embalagens de um terço de litro ($1/3$ de litro).

Quantas garrafas deste novo tamanho serão necessárias para envasar a mesma quantidade de azeite? Se dispusermos de $1200$ garrafas de meio litro ($0,5$ litros), conseguiremos envasar todo o lote?

Cinco impressoras 3D de última geração levam $4$ horas para imprimir as peças de $20$ maquetes de robôs escolares.

Calcule quantas impressoras das mesmas características seriam necessárias para fabricar essas mesmas $20$ maquetes em apenas $100$ minutos. (Tenha cuidado com as unidades de tempo antes de realizar os cálculos).

Num lagar de Jaén durante a campanha da colheita da azeitona, uma equipe de $8$ trabalhadores agrícolas equipados com derriçadores mecânicos leva $15$ horas de trabalho contínuo para colher e encher um reboque especial de grande capacidade.

1. a) Modele a situação: defina as duas variáveis envolvidas, escreva a fórmula da função de proporcionalidade inversa $y = \frac{k}{x}$ que as relaciona e interprete o significado físico concreto da constante $k$ neste contexto de trabalho agrícola.
2. b) Para evitar que a azeitona perca propriedades organolépticas, o lagar exige que o reboque seja enchido em no máximo $6$ horas. Supondo que todos os trabalhadores rendem no mesmo ritmo, quantos trabalhadores agrícolas, no mínimo, deverão trabalhar simultaneamente para conseguir isso?
3. c) Do ponto de vista matemático e físico, explique por que o gráfico desta função (uma hipérbole) nunca pode intersectar o eixo das ordenadas ($x = 0$) nem o eixo das abscissas ($y = 0$).

Uma função de proporcionalidade inversa tem como expressão algébrica $y = \frac{k}{x}$ (com $x > 0$). O seu gráfico passa por um ponto desconhecido $(a, b)$. Verifica-se que, se à variável independente forem somadas $6$ unidades (ou seja, passa a valer $a + 6$), o valor da variável dependente se reduz à quarta parte do seu valor original, transformando-se em $\frac{b}{4}$. Além disso, sabe-se, como dado adicional, que, para $x = 8$, o valor da função é $y = 4,5$.

1. a) Formule uma equação igualando os produtos cruzados das duas situações que envolvem a constante $k$ para deduzir o valor exato de $a$.
2. b) A partir do valor de $a$ e do dado adicional, calcule a constante $k$, escreva a fórmula definitiva da função e indique as coordenadas exatas do ponto $(a, b)$.
3. c) Invente uma situação cotidiana verossímil (indicando grandezas e unidades de medida) que fique descrita com exatidão pela fórmula que você obteve.

Uma empresa de logística utiliza drones para distribuir pacotes em uma zona residencial. Verificou-se que $12$ drones, trabalhando $8$ horas por dia, levam $6$ dias para entregar todos os pedidos de uma semana. Devido a uma atualização do software, a eficiência de cada drone aumenta $20\%$. Se a empresa decidir reduzir a jornada dos drones para apenas $5$ horas diárias e o volume de pedidos tiver aumentado de modo que agora há $25\%$ a mais de pacotes, quantos drones serão necessários para completar a distribuição em apenas $4$ dias?

O sistema de transmissão de uma bicicleta de competição consiste em uma coroa (conectada aos pedais) e um pinhão (conectado à roda traseira). Quando o ciclista usa uma coroa de $52$ dentes e um pinhão de $13$ dentes, a cada pedalada completa, a roda traseira dá $4$ voltas. Se o ciclista mudar para um pinhão de $26$ dentes para subir uma ladeira, quantas voltas a roda traseira dará a cada pedalada? Se no topo mudar a coroa para uma de $34$ dentes mantendo o pinhão de $26$, calcule a nova relação de transmissão (voltas de roda por pedalada). Justifique por que a relação entre o número de dentes e as voltas é inversamente proporcional.

Uma prefeitura contrata uma equipe de $15$ operários para construir uma pista de skate em $20$ dias, trabalhando $6$ horas diárias. Após $8$ dias de trabalho, a prefeitura solicita que a obra esteja concluída $4$ dias antes do previsto para coincidir com as festas locais. Nesse mesmo momento, $3$ operários entram de licença. Quantas horas diárias os operários restantes deverão trabalhar para cumprir o novo prazo de entrega?

Um grupo de biólogos marinhos estuda a relação entre a pressão e o volume de um gás no interior de um dispositivo de amostragem (Lei de Boyle). Ao nível do mar ($1$ atm de pressão), o gás ocupa um volume de $24$ litros. Ao submergir a uma determinada profundidade, a pressão aumenta para $3,2$ atm. Qual será o novo volume do gás? Se o dispositivo suporta apenas uma compressão máxima que deixe o volume em $5$ litros, qual é a pressão máxima que ele pode suportar antes de quebrar?

Para renderizar (processar) um filme de animação de $90$ minutos, um estúdio utiliza uma "fazenda" de $40$ servidores trabalhando a pleno rendimento durante $12$ dias. O estúdio quer lançar um novo curta-metragem de apenas $15$ minutos, mas precisa que a renderização esteja pronta em apenas $2$ dias. No entanto, os novos servidores adquiridos são $50\%$ mais potentes que os antigos. Quantos novos servidores serão necessários para renderizar o curta-metragem a tempo?

Um abrigo de animais tem reservas de ração para alimentar seus $80$ cães durante $45$ dias, dando a eles $3$ refeições diárias de $200$ g cada uma. Após $10$ dias, chegam mais $20$ cães resgatados de uma inundação. Além disso, o veterinário recomenda aumentar a quantidade de cada refeição para $250$ g, mas reduzindo o número de refeições para $2$ diárias para melhorar a digestão. Quantos dias durará a ração restante para todos os cães com as novas condições?

Em um laboratório de física, está sendo testado um motor magnético. Sabe-se que a velocidade de rotação ($V$) é inversamente proporcional ao peso da carga ($P$) e diretamente proporcional à tensão aplicada ($U$). Com uma tensão de $120$ V e uma carga de $10$ kg, o motor gira a $2.400$ rpm. Se mantivermos o motor girando a $2.400$ rpm, mas aumentarmos a carga para $15$ kg, qual deve ser a nova tensão? Se finalmente baixarmos a tensão para $80$ V com essa carga de $15$ kg, a que velocidade o motor girará?

Durante a campanha de prevenção de incêndios florestais no Pantanal, uma brigada composta por $6$ brigadistas consome uma reserva de água de $18\,000\text{ litros}$ em $10$ dias durante seus trabalhos de vigilância e limpeza de mato. O centro de comando precisa calcular quantos dias durará um novo reservatório de $25\,200\text{ litros}$ se a equipe for ampliada para $7$ brigadistas, supondo que o consumo diário por brigadista não se altera.

Dois técnicos de emergência propõem estratégias distintas:

• Método 1 (Redução à unidade): Calcular quantos litros consome um único brigadista em um único dia e, a partir dessa taxa, calcular os dias que durará a nova reserva para os $7$ brigadistas.

• Método 2 (Proporcionalidade composta): Identificar a relação (direta ou inversa) de cada grandeza com o número de dias e formular a equação de frações correspondente.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos passo a passo e verifique que se obtém exatamente o mesmo resultado.
2. b) Analise criticamente os dois procedimentos: qual dos métodos oferece maior compreensão do significado físico de cada passo intermediário e qual seria computacionalmente mais ágil se você tivesse de programar uma planilha para avaliar $20$ cenários com diferentes brigadas e reservatórios? Justifique sua resposta.

O Consórcio de Transportes de uma cidade brasileira administra uma linha circular de ônibus urbano cujo percurso total mede $18\text{ km}$. Fora dos horários de pico, os ônibus circulam a uma velocidade média constante de $15\text{ km/h}$ (incluindo paradas e trocas de passageiros). A frequência de passagem ou intervalo de espera entre ônibus consecutivos em um ponto ($y$, em minutos) depende exclusivamente do número de veículos alocados à linha ($x$).

1. a) Demonstre que o tempo que um ônibus leva para dar uma volta completa no percurso é de $72$ minutos e deduza a expressão da função de proporcionalidade inversa $y = \frac{k}{x}$ que determina a frequência $y$ (em minutos) em função do número de ônibus $x$.
2. b) No horário de pico, o congestionamento do trânsito reduz a velocidade comercial da linha para $12\text{ km/h}$. A Prefeitura fixa por contrato que o intervalo máximo entre ônibus não deve ultrapassar $6$ minutos ($y \le 6$). Se fora dos horários de pico a linha operava com um intervalo de $12$ minutos, quantos ônibus adicionais é necessário incluir no serviço durante o horário de pico para cumprir a exigência da Prefeitura?
3. c) Se o Consórcio quisesse reduzir o tempo de espera entre ônibus exatamente para $0$ minutos ($y = 0$), qual resposta o modelo matemático dá? Explique por que, em uma via urbana real, esse modelo de proporcionalidade inversa deixa de funcionar quando o valor de $x$ se torna excessivamente grande.