Exercícios: Proporcionalidade direta

Determine se os seguintes pares de grandezas são diretamente proporcionais. Justifique brevemente sua resposta:

1. a) O número de seguidores de um influenciador e as curtidas que ele recebe na sua última foto.
2. b) A quantidade de quilos de maçãs que você compra e o preço total a pagar.
3. c) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
4. d) O tempo que você deixa o celular carregando e a porcentagem de bateria que ele recupera (supondo que carregue de forma constante).

Um grupo de amigos quer ir ao cinema. Sabemos que $3$ ingressos custaram $22,50$ reais. Complete a tabela seguinte e calcule a constante de proporcionalidade $k$ (preço por ingresso):

Para preparar uma vitamina de frutas para $4$ pessoas, são necessários $600$ ml de leite. Se no próximo sábado você for convidar $10$ amigos para sua casa, de quanto leite precisará para que todos tenham sua vitamina? Resolva utilizando uma regra de três simples direta.

Um carro de controle remoto percorre $12$ metros em apenas $8$ segundos mantendo uma velocidade constante. Se continuar se movendo da mesma forma:

1. a) Qual distância percorrerá em um minuto ($60$ segundos)?
2. b) Quanto tempo levará para percorrer uma pista de $30$ metros?

Seu celular tem uma capacidade total de armazenamento de $128$ GB. Se o sistema operacional e os aplicativos instalados já ocupam $25\%$ do espaço, quantos gigabytes estão ocupados atualmente?

Você viu um moletom de que gosta muito em uma loja online. O seu preço original é de $45$ reais, mas hoje tem um desconto de $15\%$. Quantos reais você economiza graças ao desconto? (Não é necessário calcular o preço final).

Uma impressora 3D leva $45$ minutos para fabricar uma peça que pesa $60$ gramas. Se quisermos imprimir uma figura do mesmo material que pesa $100$ gramas, quanto tempo a impressora levará? Expresse o resultado em horas e minutos.

O Marcos acompanha a sua avó a uma frutaria da feira do seu bairro em Belo Horizonte. Eles veem um cartaz que indica que um saco de $3\text{ kg}$ de laranjas custa $\text{R\$}\ 4,20$. O Marcos quer calcular quanto custará um saco de $5\text{ kg}$ da mesma variedade e faz no celular a operação $3 : 4,20 \approx 0,71$. Em seguida, diz à sua avó: «O quilo fica a $\text{R\$}\ 0,71$, por isso o saco de $5\text{ kg}$ vai nos custar $5 \cdot 0,71 = \text{R\$}\ 3,55$».

1. a) Explique de forma fundamentada por que o resultado final do Marcos é obviamente absurdo, sem necessidade de fazer operações complexas.
2. b) Identifique o erro conceitual que o Marcos cometeu ao calcular a constante de proporcionalidade direta. Que grandeza o número $0,71$ que ele obteve realmente representa e quais são as suas unidades de medida?
3. c) Corrija o procedimento: calcule a constante de proporcionalidade adequada (preço por quilograma), escreva a fórmula da função de proporcionalidade direta $y = k \cdot x$ e determine o preço exato que eles pagarão pelo saco de $5\text{ kg}$.

Numa estação meteorológica do INMET situada em Petrópolis (Rio de Janeiro), um pluviômetro digital registra uma precipitação constante durante um temporal de outono. O aparelho marca que caíram exatamente $18\text{ litros por metro quadrado}$ ($18\text{ mm}$) em um período contínuo de $40\text{ minutos}$.

1. a) Antes de fazer qualquer operação matemática exata no papel, estime mentalmente quantos litros por metro quadrado terão sido recolhidos se o temporal continuar com a mesma intensidade constante durante um total de $2\text{ horas e }15\text{ minutos}$. Explique por escrito que aproximações ou deduções rápidas você usou para obter a sua estimativa prévia.
2. b) Verifique a sua estimativa calculando o valor exato por meio de proporcionalidade direta: determine a constante de proporcionalidade (em litros por metro quadrado e por minuto) e obtenha a quantidade final acumulada para os $135\text{ minutos}$.
3. c) Compare a sua estimativa do item a) com o resultado exato do item b) e avalie se a sua aproximação inicial era razoável, explicando por que essa verificação é útil em situações reais.

Um criador de conteúdo em uma plataforma de vídeo recebe rendimentos diretamente proporcionais ao número de visualizações dos seus vídeos. A cada $1250$ visualizações, o sistema gera para ele um lucro de $3,75$ reais. Copie a seguinte tabela no seu caderno e complete-a calculando a razão de proporcionalidade $k$. No gráfico está marcado o dado conhecido.

A bateria de um patinete elétrico é consumida de forma proporcional à distância percorrida. Se para realizar um trajeto de $4,5$ km foi gasto $12 \%$ da capacidade total da bateria, calcule por redução à unidade quanta bateria será consumida em um percurso de $15$ km pelo mesmo tipo de terreno.

Para organizar um encontro escolar, decidiu-se preparar uma receita de limonada caseira. A receita original indica que para $6$ pessoas são necessários $1,5$ litros de água e $450$ g de açúcar. Se finalmente se inscreveram $42$ pessoas, quantos litros de água e quantos quilos de açúcar devem ser comprados para manter a proporção exata?

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, compraram juntos um pacote de $50$ pacotinhos de cartas colecionáveis que custava $75$ reais. Alba deu $15$ reais, Bruno $27$ reais e Carla o restante. Se decidirem repartir os pacotinhos de forma diretamente proporcional ao dinheiro que cada um deu, quantos pacotinhos correspondem a cada um?

Um mapa de caminhada da Serra da Mantiqueira está desenhado em uma escala $1:25000$. Um grupo de estudantes planeja uma rota que no mapa mede $14,4$ cm.

1. Quantos quilômetros reais percorrerão no total?

2. Se caminham a uma velocidade constante e levam $45$ minutos para percorrer os primeiros $3$ km, quanto tempo total levarão para completar a rota?

Um centro de reciclagem paga aos usuários pelo peso do plástico entregue. Na segunda-feira, uma escola entregou $120$ kg e recebeu $18$ reais. Na terça-feira, outra escola entregou uma quantidade desconhecida e recebeu $24,75$ reais.

1. Qual é o preço por quilo de plástico reciclado?

2. Quantos quilos a segunda escola entregou?

À mesma hora do dia, a sombra de uma placa de trânsito de $2,2$ metros de altura mede $1,4$ metros. Se bem ao lado há uma torre de alta tensão cuja sombra mede $10,5$ metros, qual é a altura da torre? Faça um desenho esquemático da situação antes de resolver o problema.

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Uma empresa de fabricação de componentes para smartphones utiliza uma máquina que produz $150$ microchips a cada $20$ minutos.

1. Quantos microchips produzirá em uma jornada de trabalho de $8$ horas sem parar?

2. Se por uma falha técnica a máquina reduzir sua velocidade de produção à metade, quantas horas levará para fabricar um pedido urgente de $2250$ microchips?

A Laura é a responsável pela cozinha de uma escola pública com refeitório escolar. Ela sabe pelos registros oficiais que, para atender $180$ comensais diários, são cozidos exatamente $27\text{ kg}$ de arroz. Na próxima semana vai acontecer uma jornada de orientação e o número de comensais vai variar: na terça-feira comerão $210$ alunos; na quinta-feira, $195$; e na sexta-feira, $240$.

Para calcular a quantidade de arroz necessária para cada um desses três dias, a Laura hesita entre duas estratégias:

• Método 1 (Regra de três): formular três regras de três simples diretas independentes por meio de produtos cruzados, uma para cada dia.

• Método 2 (Redução à unidade): calcular primeiro a constante de proporcionalidade direta (a porção de arroz por comensal) e depois aplicá-la aos comensais de cada dia.

1. a) Aplique ambos os métodos para calcular os quilos de arroz de terça-feira ($210$ comensais) e verifique que ambos os procedimentos levam ao mesmo resultado.
2. b) Utilize o Método 2 para calcular os quilos necessários para quinta-feira ($195$ comensais) e sexta-feira ($240$ comensais).
3. c) Justifique de forma fundamentada qual dos dois métodos é mais vantajoso e eficiente neste caso particular. A sua recomendação mudaria se a Laura tivesse de calcular a comida para apenas um único dia? Justifique a sua resposta.

Um posto de carregamento da rede pública municipal fornece energia elétrica a uma potência líquida constante de $22\text{ kW}$ (isto é, transfere exatamente $22\text{ kWh}$ por hora completa de conexão contínua). Um usuário liga o seu carro elétrico, cuja bateria tem uma capacidade total de $50\text{ kWh}$, no momento em que a bateria está com $10\,\%$ da carga. A tarifa municipal fixa um preço de $\text{R\$}\ 0,38$ por cada $\text{kWh}$ recarregado.

1. a) Calcule quantos $\text{kWh}$ de energia o veículo precisa receber para atingir $80\,\%$ da sua capacidade (nível geralmente recomendado pelos fabricantes para prolongar a vida útil das baterias).
2. b) Modele a relação entre o tempo decorrido $t$ (em horas) e a energia transferida $E$ (em $\text{kWh}$) por meio de uma função de proporcionalidade direta. Quanto tempo exato (expresso em horas, minutos e segundos) o carro deve permanecer ligado à tomada para atingir esses $80\,\%$?
3. c) Modele a função que expressa o custo total $C$ (em reais) em função do tempo de carregamento $t$ (em horas). Determine a constante de proporcionalidade direta dessa relação, indique suas unidades e interprete o que ela significa na prática. Quanto o usuário pagará no total por esse carregamento?

Um ateliê de arquitetura está desenhando uma maquete de um arranha-céu usando uma impressora 3D de alta precisão. Eles comprovaram que, para imprimir uma seção da estrutura que tem um volume de $450\text{ cm}^3$, são necessários $12,5\text{ metros}$ de filamento plástico e a impressora leva $3\text{ horas e }45\text{ minutos}$. Se o arranha-céu completo na maquete requer um volume total de plástico de $2,16\text{ dm}^3$:

1. a) Quantas bobinas de filamento de $50\text{ metros}$ vocês deverão comprar no mínimo para completar a maquete?
2. b) Se a impressora trabalhar sem interrupções, quantos dias e horas levará para terminar o trabalho?

Um servidor de streaming de vídeo ajusta o tamanho dos seus arquivos de forma proporcional à duração e à resolução (número total de pixels). Um vídeo de $10\text{ minutos}$ em uma resolução de $1280 \times 720$ pixels ocupa $450\text{ MB}$.

Calcule quanto ocupará um filme de $1\text{ hora e }45\text{ minutos}$ se for enviado com uma resolução de $1920 \times 1080$ pixels, sabendo que a relação entre o tamanho e o total de pixels é diretamente proporcional. Expresse o resultado em gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).

Em um mapa estelar, a distância entre duas estrelas é de $18\text{ cm}$. Sabe-se que este mapa representa uma escala em que $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ anos-luz. Se uma nave espacial viaja a uma velocidade constante e leva $240\text{ anos}$ para percorrer $0,8$ anos-luz:

1. a) A que distância real em anos-luz estão as duas estrelas?
2. b) Quantos séculos a nave levaria para viajar de uma estrela a outra? (Considere que a relação entre tempo e distância percorrida é diretamente proporcional).

Uma usina dessalinizadora produz água potável de forma proporcional ao tempo de funcionamento das suas turbinas. Durante um período de $8\text{ horas}$, a usina produz água suficiente para abastecer uma população de $3.500\text{ personas}$, consumindo $1.400\text{ kWh}$ de energia.

Devido a uma onda de calor, o consumo de água por pessoa aumenta $25\%$. Se a usina agora deve abastecer uma população de $5.000\text{ personas}$ nessas novas condições, durante quantas horas deverá funcionar e qual será o consumo energético total previsto? (Suponha que o consumo de energia também seja diretamente proporcional ao tempo de funcionamento).

No laboratório de Física da 3ª série do Ensino Médio analisam-se duas molas elásticas, $A$ e $B$, que verificam a lei de Hooke: a força aplicada $F$ (em Newtons, $\text{N}$) é diretamente proporcional ao alongamento sofrido $x$ (em centímetros, $\text{cm}$), cumprindo $F = k \cdot x$.

Os alunos encontram uma ficha de laboratório antiga na qual foram apagados vários dados, mas que conserva intactas três anotações:

1. Ao submeter a mola $A$ a uma força de $10\text{ N}$, o seu alongamento registrado é de $8\text{ cm}$.

2. Sob uma mesma força desconhecida $F_1$, a mola $A$ se alonga exatamente mais $3\text{ cm}$ do que a mola $B$.

3. Se essa força desconhecida for duplicada (aplicando $2 \cdot F_1$), o alongamento total que a mola $B$ sofre é igual ao alongamento que a mola $A$ tinha sob a força original $F_1$.

1. a) Calcule a constante elástica de proporcionalidade $k_A$ da mola $A$ e interprete o seu significado físico indicando as suas unidades.
2. b) A partir exclusivamente das propriedades teóricas da proporcionalidade direta e das condições 2 e 3, deduza a constante de proporcionalidade elástica $k_B$ da mola $B$ sem calcular previamente o valor numérico da força $F_1$.
3. c) Reconstrua os dados perdidos do ensaio: determine o valor numérico exato da força $F_1$ (em $\text{N}$) e os alongamentos que ambas as molas tiveram sob essa força.

A Empresa Municipal de Transportes (EMT) monitora o consumo de energia de seus ônibus elétricos urbanos. Em condições normais de circulação, o consumo de energia é diretamente proporcional à distância percorrida, com uma constante de proporcionalidade de $1,20\text{ kWh/km}$. No entanto, durante os meses de verão, o uso ininterrupto do sistema de climatização aumenta o consumo por quilômetro em $25\,\%$.

1. a) Escreva a equação de proporcionalidade direta $E = k \cdot d$ que relaciona a energia consumida $E$ (em $\text{kWh}$) com a distância percorrida $d$ (em $\text{km}$) em cada um dos dois cenários: regime normal ($k_1$) e regime de verão ($k_2$).
2. b) Um ônibus inicia o seu dia de trabalho com a bateria completamente carregada ($320\text{ kWh}$). Por regulamento de segurança, a central exige que o veículo volte à estação antes que a bateria desça a $15\,\%$ da sua capacidade. Calcule a autonomia máxima (em quilômetros) que o ônibus pode percorrer em regime de verão antes de ter de voltar à estação.
3. c) Durante um dia especial de testes, um ônibus realiza um trajeto total de $180\text{ km}$: os primeiros $120\text{ km}$ com a climatização ligada no máximo e os últimos $60\text{ km}$ em modo normal. Calcule a constante de proporcionalidade global do dia (o consumo médio real por quilômetro). Um relatório técnico provisório propunha calcular essa constante fazendo a média aritmética simples de $k_1$ e $k_2$: $\frac{1,20 + 1,50}{2} = 1,35\text{ kWh/km}$. Justifique rigorosamente por que essa média simples é conceitualmente errada e como a ponderação das distâncias intervém no cálculo correto.