Exercícios: Operações com polinômios

Dados os polinômios $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ e $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 3$, calcule as expressões resultantes das operações $P(x) + Q(x)$ e $P(x) - Q(x)$.

Efetue a multiplicação do monômio $-4x^2$ pelo polinômio $2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5$ e ordene o resultado do maior para o menor grau.

Calcule o produto dos seguintes polinômios e reduza os termos semelhantes: $(2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 1)$.

Desenvolva a seguinte expressão aplicando a fórmula dos produtos notáveis para o quadrado da soma: $(3x + 5y)^2$.

Aplique o produto notável correspondente para desenvolver o quadrado desta diferença: $(\frac{1}{2}x^2 - 4)^2$.

Calcule o resultado da seguinte operação utilizando o produto notável do produto da soma pela diferença: $(7a + 2b) \cdot (7a - 2b)$.

Some os polinômios $A(x) = x^2 - 3x + 2$ e $B(x) = 2x^2 + x - 5$. Assim que obtiver o polinômio resultante, calcule seu valor numérico para $x = -2$.

Ao multiplicar o polinômio $A(x) = 5x^4 - 3x + 2$ pelo polinômio $B(x) = -2x^3 + x^2$, indique qual será o grau do polinômio resultante e o valor do seu coeficiente principal, sem a necessidade de efetuar toda a multiplicação.

A Elena precisa calcular o material restante em um processo de corte e, para isso, deve simplificar a expressão algébrica $(3x - 2)^2 - (4x^2 - 6x + 7)$. Na prova dela, escreve o seguinte desenvolvimento:

• Passo 1: $(3x - 2)^2 = 9x^2 - 4$

• Passo 2: $9x^2 - 4 - 4x^2 - 6x + 7$

• Passo 3: Resultado final $= 5x^2 - 6x + 3$

1. a) Identifique e explique de maneira fundamentada os dois erros conceituais que a Elena cometeu (um no desenvolvimento do produto notável e outro ao eliminar os parênteses precedidos pelo sinal de menos).
2. b) Faça o desenvolvimento correto passo a passo até chegar ao polinômio reduzido.
3. c) Verifique que a sua solução é coerente substituindo $x = 0$ tanto na expressão inicial quanto no seu polinômio final.

O serviço municipal de aluguel de bicicletas elétricas de uma cidade fatura mensalmente a cada usuário em função dos minutos adicionais consumidos, representados pela variável $x$.

• A taxa base de assinatura corresponde ao polinômio $C(x) = 12 + 0,10x$ reais.

• O adicional de seguro e manutenção é $S(x) = 5 + 0,05x$ reais.

• Como incentivo à mobilidade sustentável, a prefeitura aplica um desconto direto expresso por $D(x) = 3 + 0,02x$ reais.

1. a) Escreva a operação com polinômios que permite calcular o custo final mensal $G(x) = C(x) + S(x) - D(x)$.
2. b) Elimine os parênteses, altere os sinais correspondentes e reduza os termos semelhantes para obter a expressão simplificada de $G(x)$.
3. c) Se uma pessoa registrou $x = 100$ minutos adicionais no mês, calcule quanto pagará no total e interprete que significado tem na vida real o termo independente do polinômio que você obteve.

Um jardim retangular tem dimensões que dependem de um valor $x$. Seu comprimento é $3x + 2$ metros e sua largura é $x + 5$ metros. Expresse a área total do jardim por meio de um polinômio em $x$ e calcule quantos metros quadrados ele terá se $x = 4$.

Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma folha de papelão retangular de $30 \text{ cm}$ de comprimento por $20 \text{ cm}$ de largura. Para isso, recortam-se quatro quadrados idênticos de lado $x$ nos cantos e dobram-se as abas para cima. Expresse o volume da caixa resultante como um polinômio na variável $x$.

Uma fábrica de componentes eletrônicos assume custos fixos mensais de $500$ reais. Além disso, o custo de produção por cada lote de peças é de $40 - 2x$ reais, onde $x$ representa o número de lotes. Se em um mês forem produzidos exatamente $x^2 + 5x$ lotes, expresse o custo total mensal da fábrica por meio de um polinômio em $x$.

Desenvolva e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica aplicando os produtos notáveis correspondentes:

$(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x - 1) \cdot (x + 1)$

Dados os polinômios $A(x) = x^3 - 4x^2 + x - 1$ e $B(x) = 2x^3 + x^2 - 5$, determine a expressão de um polinômio desconhecido $P(x)$ que satisfaça a seguinte igualdade:

$2 \cdot A(x) - P(x) = B(x)$

Ao efetuar a multiplicação dos polinômios $P(x) = x^2 + kx - 3$ e $Q(x) = 2x^2 - 5x + 1$, observa-se que o coeficiente do termo de grau $2$ do polinômio resultante é $-13$. Formule a equação correspondente e determine o valor do parâmetro $k$.

Em um experimento de física, a altura em metros de um projétil $A$ é dada pelo polinômio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$, e a de um projétil $B$ por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$, onde $t$ é o tempo decorrido em segundos. Encontre o polinômio que expressa a diferença de alturas entre o projétil $A$ e o $B$, e determine em que instante exato ambos os projéteis se encontram à mesma altura.

Observe a seguinte figura que representa um quadrado de lado $a+b$ subdividido em quatro regiões retangulares. Escreva a soma das áreas das quatro regiões e demonstre de forma geométrica o desenvolvimento do produto notável $(a+b)^2$.

Para simplificar a expressão $E(x) = (3x + 4)^2 - (3x - 4)^2$, dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• A Júlia propõe desenvolver cada termo separadamente usando os produtos notáveis do quadrado de uma soma e do quadrado de uma diferença, e depois subtrair os polinômios resultantes.

• O Miguel propõe interpretar toda a expressão como uma diferença de quadrados da forma $A^2 - B^2 = (A + B) \cdot (A - B)$, tomando $A = 3x + 4$ e $B = 3x - 4$.

1. a) Aplique o método da Júlia escrevendo com clareza os desenvolvimentos intermediários e a subtração final dos termos.
2. b) Aplique o método do Miguel substituindo $A$ e $B$ na fórmula da soma pela diferença e reduzindo os fatores antes de multiplicar.
3. c) Compare ambos os caminhos: obtém-se o mesmo resultado? Justifique qual dos dois métodos lhe parece mais rápido e em qual você considera que há menor probabilidade de cometer erros com os sinais.

Numa propriedade rural do interior de Minas Gerais vão instalar painéis solares sobre o telhado de um galpão para autoconsumo. A zona retangular destinada aos painéis tem uma largura de $(x + 3)$ metros e um comprimento de $(3x + 5)$ metros, onde $x$ é uma medida em metros associada à potência necessária.

1. a) Obtenha o polinômio desenvolvido $S(x)$ que representa a área total em metros quadrados multiplicando ambas as dimensões.
2. b) Estime mentalmente: se para cobrir o consumo do galpão for necessário fixar $x = 10\text{ m}$, arredonde mentalmente cada dimensão para a dezena mais próxima e antecipe se a área estará mais próxima de $300\text{ m}^2$, $450\text{ m}^2$ ou $600\text{ m}^2$. Explique como você fez o seu arredondamento.
3. c) Calcule o valor numérico exato de $S(10)$ substituindo $x = 10$ no polinômio desenvolvido na alínea a), e avalie se a sua estimativa prévia foi acertada calculando a diferença entre o valor exato e o estimado.

Encontre todos os valores possíveis para os parâmetros $a$, $b$ e $c$ de modo que a seguinte igualdade polinomial seja verdadeira para qualquer número real $x$:

$(ax + b)^2 + cx = 9x^2 - 24x + 16$

Numa placa metálica retangular cujas dimensões são $4x + 6$ e $2x + 1$ milímetros, são feitos três furos circulares idênticos de raio $r = x$. Expresse a área da placa metálica resultante, após serem feitos os furos, como um polinômio em $x$ (mantenha o número $\pi$ indicado nos coeficientes em que for necessário).

Demonstre algebricamente que o produto da soma de duas variáveis pela sua diferença, multiplicado pela soma dos quadrados dessas mesmas variáveis, é igual à diferença das suas quartas potências. Para isso, desenvolva e simplifique passo a passo a expressão: $(x - y) \cdot (x + y) \cdot (x^2 + y^2)$.

Uma empresa de software estima que, se vender seu novo aplicativo a um preço de $p(x) = 120 - x$ reais, conseguirá vender uma quantidade de $q(x) = 500 + 10x$ licenças. Sabendo que a receita total é calculada multiplicando o preço pela quantidade vendida, e que os custos fixos e variáveis da empresa somam $C(x) = 2000 + 50x$ reais, obtenha o polinômio do lucro $B(x)$ em sua forma mais reduzida.

Considere o polinômio $P(x) = (2x^2 - 3x + 2)^3 \cdot (x^2 - x + 1)^2$. Sabendo que a soma de todos os coeficientes de um polinômio (incluindo o termo independente) pode ser obtida avaliando esse polinômio em $x = 1$, calcule a soma exata dos coeficientes do polinômio resultante que seria obtido ao desenvolver completamente a expressão de $P(x)$.

O polinômio $M(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$ é o resultado exato de elevar ao quadrado o polinômio $N(x) = x^2 - x - 3$. Efetue a operação $N(x)^2$, agrupe os termos de mesmo grau e determine os valores numéricos correspondentes aos parâmetros $a$, $b$ e $c$.

Um cilindro maciço de raio $r = x+1$ e altura $h = 3x$ é introduzido verticalmente dentro de um prisma oco de base quadrada, cujo lado da base mede $L = 2x+2$ e tem a mesma altura $3x$. Expresse por meio de um polinômio em $x$ o volume do espaço que fica livre entre o cilindro e as paredes do prisma.

Um mágico pede a um espectador que pense em um número qualquer $x$. Em seguida, dá a ele as seguintes instruções: "Adicione 3 ao seu número, eleve o resultado ao quadrado, subtraia o quadrado do número original, subtraia 9 e, por fim, divida tudo o que sobrou por 6". Demonstre passo a passo, utilizando operações com polinômios, que o resultado final deste truque é sempre exatamente o número original $x$ em que o espectador pensou.

Reconstrua dois polinômios do primeiro grau com coeficientes inteiros, $P(x)$ e $Q(x)$, a partir das seguintes pistas sobre as suas operações:

1. O produto deles é o polinômio do segundo grau: $P(x) \cdot Q(x) = 2x^2 + 5x - 3$.

2. A soma deles é o polinômio: $P(x) + Q(x) = 3x + 2$.

3. O coeficiente principal (termo em $x$) de $P(x)$ é estritamente maior que o coeficiente principal de $Q(x)$.

1. a) Deduza quais devem ser necessariamente os coeficientes de grau 1 de ambos os polinômios analisando como se geram o termo $2x^2$ na multiplicação e o termo $3x$ na soma.
2. b) Analise os possíveis pares de números inteiros cujo produto seja $-3$ e verifique qual deles cumpre simultaneamente que a soma seja $+2$ e que o produto cruzado gere o termo central $+5x$.
3. c) Escreva as expressões finais de $P(x)$ e $Q(x)$ e calcule a subtração $P(x) - Q(x)$, expressando-a na forma reduzida.

Uma PME de padaria artesanal em Goiânia estuda a viabilidade econômica da sua produção. Os custos e receitas mensais dependem do número de fornadas semanais elaboradas, representado por $x$ (com $x \ge 10$):

• Custo de matérias-primas (farinhas orgânicas, sementes, fermentos): $M(x) = 2x^2 + 30x + 180$ reais.

• Custo energético e manutenção de fornos a lenha e elétricos: $E(x) = x^2 + 20x + 120$ reais.

• Receitas brutas por vendas em loja e distribuição: $I(x) = 4x^2 + 10x - 200$ reais.

1. a) Obtenha o polinômio simplificado que representa os custos totais mensais, $C(x) = M(x) + E(x)$.
2. b) Modele o lucro líquido mensal por meio da subtração $B(x) = I(x) - C(x)$, reduzindo todos os termos semelhantes.
3. c) Um consultor diz: «Como o termo independente do lucro é $-500$, quanto mais a padaria produzir, maiores serão os prejuízos, porque esse termo negativo subtrai sempre». Refute algebricamente a afirmação do consultor: explique qual termo domina quando a produção $x$ é grande, calcule para qual número exato de fornadas semanais o lucro líquido é nulo ($B(x) = 0$) e fundamente a partir de qual volume de produção o negócio se torna rentável.