Exercícios: Operações com monômios

Calcule o resultado da seguinte adição e subtração de monômios semelhantes:

$3x^2y - 5x^2y + \frac{1}{2}x^2y$

Multiplique os seguintes monômios e simplifique o resultado:

$(2ab^2) \cdot (-3a^2b) \cdot (4a)$

Realize a divisão dos seguintes monômios:

$\frac{-15x^4y^3z}{5x^2y}$

Calcule a potência do seguinte monômio:

$(-2x^3y^2)^4$

Identifique quais dos seguintes monômios são semelhantes e reduza a expressão:

$4m^3n - 2mn^3 + 5m^3n + mn^3$

Calcule o valor numérico do monômio $-3x^2y^3$ para os valores $x = 2$ e $y = -1$.

Encontre o monômio que falta na seguinte operação para que a igualdade seja verdadeira:

$7x^3 + (\dots) = -2x^3$

Determine por qual monômio se deve multiplicar $4x^2$ para obter como resultado $-20x^5$.

Numa aula do 4.º ano do Ensino Secundário (ESO), o Marcos tem de simplificar a seguinte operação combinada com monómios: $5x^3 + 3x^3 - (2x^2)^3$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento passo a passo:

• Passo 1: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$

• Passo 2: $(2x^2)^3 = 6x^5$

• Passo 3: $8x^6 - 6x^5 = 2x$

Realize as seguintes tarefas:

1. a) Identifique os três erros cometidos pelo Marcos e explique, para cada um, qual propriedade das operações com monômios (adição, potência ou subtração) ele aplicou de forma incorreta.
2. b) Corrija o exercício no seu caderno, resolvendo-o passo a passo de forma adequada e indicando a prioridade das operações que você seguiu.

Uma empresa de energias renováveis projeta uma nova instalação fotovoltaica sobre o solo no Pantanal. Cada painel solar padrão tem uma largura de $x$ metros e um comprimento de $1,8x$ metros.

1. a) Calcule o monômio que expressa a área de um único painel solar em função da variável $x$.
2. b) O projeto inclui a colocação de uma fileira contínua de $250$ painéis iguais. Obtenha o monômio simplificado que representa a superfície total de captação dessa fileira, multiplicando o número de painéis pelo monômio da área unitária.
3. c) O caderno de especificações técnicas exige deixar uma faixa de manutenção e refrigeração perimetral cuja superfície é dada pelo monômio $110x^2$. Justifique por que é possível somar a superfície de captação e a de manutenção num único monômio utilizando o conceito de monômios semelhantes, e determine o monômio que representa a superfície total ocupada pela instalação.

Efetue as seguintes operações combinadas com monômios, respeitando a hierarquia das operações:

$2x \cdot (3x^2)^2 - 5x^2 \cdot (x^3)$

Um terreno de forma retangular tem dimensões dadas por monômios. A base dele mede $4xy^2$ e a altura dele mede $3x^2y$. Expresse a área e o perímetro do terreno por meio de expressões algébricas reduzidas.

Na física, a energia cinética de um corpo é calculada pela fórmula $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Se a massa de um veículo pode ser expressa como $m = 4x$ e a velocidade dele como $v = 3xy$, expresse a energia cinética dele como um monômio simplificado.

Realize a seguinte operação combinada com monômios que incluem coeficientes fracionários e simplifique o resultado:

$\left( \frac{2}{3} a^2b \right)^3 : \left( \frac{4}{9} a^4b^2 \right)$

Um reservatório de água tem forma cilíndrica. O raio da base dele é $r = 2x^2$ e a altura dele é $h = 5xy$. Sabendo que o volume de um cilindro é $V = \pi r^2 h$, expresse o volume do reservatório como um monômio.

Uma empresa de tecnologia vende componentes eletrônicos. O preço de venda de cada componente é dado pelo monômio $P = 15x^2y$ reais. Se em um mês conseguem vender uma quantidade de componentes equivalente a $Q = 4xy^3$, expresse a receita total da empresa como um monômio.

A base de um triângulo mede exatamente o triplo de sua altura $h$. Expresse a área desse triângulo como um monômio em função da variável $h$.

Subtraia o monômio $5a^3b^4$ do resultado de multiplicar os monômios $-2ab^2$ e $3a^2b^2$. Expresse o resultado final simplificado.

Para simplificar a expressão com monômios $\left(\frac{6x^4y^3}{2x^2y}\right)^3$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método da Alba: Efetua primeiro o quociente de monômios que se encontra dentro dos parênteses e, em seguida, eleva o monômio resultante ao cubo.

• Método do Bruno: Aplica primeiro a propriedade da potência de uma fração, elevando o numerador e o denominador ao cubo (desenvolvendo as potências de monômios) e, finalmente, efetua a divisão dos monômios obtidos.

1. a) Resolva a expressão seguindo passo a passo o método proposto pela Alba.
2. b) Resolva a expressão seguindo passo a passo o método proposto pelo Bruno e verifique que ambos os resultados coincidem.
3. c) Compare ambos os caminhos avaliando a magnitude dos coeficientes numéricos e a dificuldade dos expoentes intermediários. Justifique qual dos dois métodos você considera mais conveniente para minimizar o risco de cometer erros de cálculo.

Uma cooperativa de olivicultores de Londrina armazena o azeite extravirgem em reservatórios cilíndricos de aço. O volume de um reservatório cilíndrico é calculado pela fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, em que $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. Nos seus modelos habituais, os engenheiros fixam um raio de $r = x$ metros e uma altura de $h = 2,5x$ metros (tomando a aproximação $\pi \approx 3,14$).

1. a) Multiplique os coeficientes e as potências da variável para obter o monômio simplificado que representa o volume $V_1(x)$ de um reservatório padrão.
2. b) Se o lagar dispuser de uma fileira de $8$ reservatórios padrão, escreva o monômio simplificado que expressa a capacidade total de armazenamento dessa fileira.
3. c) Para aumentar a capacidade, a cooperativa encomenda um protótipo gigante no qual se duplica o raio da base ($r = 2x$) e se triplica a altura ($h = 7,5x$). Desenvolva o monômio que descreve o volume $V_2(x)$ do novo protótipo e calcule o quociente de monômios $\frac{V_2(x)}{V_1(x)}$ para determinar, de forma fundamentada, a quantos reservatórios padrão equivale exatamente um único reservatório gigante.

Encontre o monômio $M(x,y)$ que satisfaz a seguinte equação algébrica:

$\frac{(3x^2y)^2 \cdot M(x,y)}{-2xy^3} = 18x^5y^2$

O design de um logotipo é formado por um quadrado externo de lado $4x^2y$ que contém em seu interior outro quadrado de lado $3x^2y$. Expresse a área da região compreendida entre ambos os quadrados (a região sombreada) como um monômio simplificado.

Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa de papelão retangular de dimensões $10x$ por $8x$. Para isso, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos quatro cantos e dobram-se as abas para cima. Demonstre que o volume da caixa resultante é um monômio e calcule-o.

A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força de atração entre duas massas é $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Se a massa do primeiro corpo é $m_1 = 2x^2$, a do segundo é $m_2 = 8x^3$, e a distância que os separa é $d = 4x$, expresse a força $F$ como um monômio em função da constante $G$ e da variável $x$.

Demonstre algebricamente que, se você tomar um cubo de aresta $2a^2$, elevar o seu volume ao quadrado e dividir o resultado pela área de uma das suas faces, obtém sempre um monômio. Calcule qual é esse monômio.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão aninhada com monômios, aplicando as propriedades das potências e as operações com monômios:

$\left[ \frac{(-2x^3y^2)^3 \cdot (x^2y)^2}{(4x^5y^3)^2} \right]^2$

Uma fábrica têxtil produz lotes de camisetas. O custo de fabricar um lote de $N = 5x^2$ camisetas é de $C = 20x^3$ reais por camiseta. Posteriormente, todas as camisetas fabricadas são vendidas a um preço de $V = 35x^3$ reais a unidade. Expresse o lucro total obtido pela fábrica (Receita menos Custos) como um monômio simplificado.

O volume de um cone é dado por $V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ e o de uma esfera por $V_e = \frac{4}{3}\pi R^3$. Considere um cone cujo raio da base é $r = 2x$ e cuja altura é $h = 4x$. Por outro lado, considere uma esfera de raio $R = x$. Calcule a razão (o quociente) entre o volume do cone e o volume da esfera, demonstrando que o resultado é um número inteiro independente de $x$.

Uma estação de tratamento de águas residuais municipal faz a gestão do tratamento de águas residuais por meio de um sistema de impulsão e filtragem. Os técnicos modelam a vazão tratada (em metros cúbicos por hora) por meio da seguinte operação combinada com monômios:

onde $x$ é a pressão de entrada em bar, $y$ é o diâmetro das tubulações em decímetros e $M(x)$ é um monômio desconhecido que representa o rendimento do motor principal (que depende apenas da pressão $x$).

1. a) Para que a água circule a uma velocidade segura sem desgastar as membranas, os engenheiros estabelecem que a vazão resultante deve ser exatamente igual ao monômio $\frac{12x^5}{y}$ (ou expresso com expoente: $12x^5y^{-1}$). Aplique as regras do produto, da potência e do quociente de monômios para isolar e deduzir a expressão algébrica do monômio $M(x)$.
2. b) Indique qual é o coeficiente, a parte literal e o grau do monômio $M(x)$ obtido, e verifique que, ao substituí-lo na expressão original, a igualdade se confirma.
3. c) Se, devido a uma avaria, o motor for temporariamente substituído por outro cujo rendimento é dado pelo monômio $M'(x) = 4x^2$, calcule o quociente entre a vazão original calibrada e a nova vazão para justificar por qual fator o ritmo de tratamento da água se reduz.

De acordo com dados técnicos da Red Eléctrica de España sobre energia eólica, a potência teórica em watts ($W$) gerada por um aerogerador é aproximada pelo monômio $P = 0,6 \cdot S \cdot v^3$, onde $S$ é a área circular de varredura das pás ($S \approx 3,14 \cdot R^2$, sendo $R$ o comprimento de cada pá) e $v$ é a velocidade do vento incidente. Em um parque eólico, o projeto dos aerogeradores estabelece pás com comprimento $R = 2x$ metros e uma velocidade média do vento modelada como $v = 1,5x$ metros por segundo.

1. a) Estime antes de calcular: Se, por condições atmosféricas ou de projeto, a variável de escala $x$ for multiplicada por $2$ (dobrar), por qual fator aproximado você pensa intuitivamente que a potência $P$ será multiplicada: por 2, por 4, por 8 ou por mais de 20? Justifique sua estimativa prévia prestando atenção aos expoentes que afetarão a variável $x$ em cada fator da fórmula.
2. b) Efetue algebricamente todas as operações de potências e produtos com monômios que compõem a potência:

Escreva o monômio resultante arredondando o seu coeficiente às centésimas (duas casas decimais) e especifique o seu grau total.

1. c) Verifique e reflita: Utilizando o monômio obtido, calcule o quociente $\frac{P(2x)}{P(x)}$ substituindo algebricamente $x$ por $2x$. Compare o fator exato resultante com a estimativa que você fez no item a) e explique que implicações práticas esse resultado tem quanto à importância de instalar os aerogeradores em zonas com ventos ligeiramente mais intensos.