Exercícios: Números irracionais

Classifique os seguintes números em racionais ou irracionais, justificando sua resposta em função de sua representação decimal:

• $A = 3,14159265\dots$ (sem nenhum padrão de repetição)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se forem falsas, escreva um contraexemplo que as demonstre.

1. a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
2. b) Todos os números com infinitas casas decimais são irracionais.
3. c) O número $\pi$ pode ser escrito exatamente como uma fração de dois números inteiros.
4. d) O conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ é formado pela união dos racionais $\mathbb{Q}$ e dos irracionais $\mathbb{I}$.

Crie e escreva a representação decimal de dois números irracionais distintos que estejam compreendidos estritamente entre os valores $7,4$ e $7,5$.

Classifique o resultado exato das seguintes operações como número racional ou irracional, realizando primeiro o cálculo:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Associe cada um dos seguintes números irracionais famosos ao seu símbolo matemático e ao seu valor aproximado com três casas decimais:

• Números: Número de ouro, Pi, Número de Euler.

• Símbolos: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Valores: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Determine a quais conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) pertence o número $-\sqrt{81}$. Escreva todos os conjuntos dos quais ele faz parte.

Escreva um número irracional expresso na forma de raiz quadrada que esteja compreendido entre as frações $\frac{1}{2}$ e $\frac{3}{4}$.

Sem utilizar a calculadora, descubra se o número $\sqrt{250}$ é racional ou irracional. Justifique o seu raciocínio delimitando-o entre os quadrados perfeitos mais próximos.

Numa aula do 4.º ano do ESO, o Marcos afirma em voz alta durante a correção: «O número $\sqrt{18}$ é racional porque o $18$ é um número par e, além disso, se o calculares com a calculadora dá $4,242640687$, que termina em $7$, pelo que é uma dízima finita». Localiza os dois erros concetuais cometidos pelo Marcos, explica detalhadamente por que razão o seu raciocínio está incorreto em cada caso e classifica $\sqrt{18}$ no conjunto correspondente ($\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{I}$) justificando a tua decisão a partir do conceito de quadrado perfeito.

A prefeitura de Salvador delimitou parcelas quadradas para hortas urbanas comunitárias no Parque da Cidade. Duas das parcelas contíguas têm áreas de $36\text{ m}^2$ e $20\text{ m}^2$, respectivamente. Para encomendar as cercas do perímetro, os técnicos precisam saber a medida exata do lado de cada parcela.

1. a) Exprima a medida exata do lado de cada parcela por meio de uma raiz e classifique cada um dos dois valores como racional ($\mathbb{Q}$) ou irracional ($\mathbb{I}$), justificando sua resposta conforme sejam ou não quadrados perfeitos.
2. b) O encarregado de manutenção afirma que pode comprar uma fita métrica padrão e medir o lado da parcela de $20\text{ m}^2$ de modo que a leitura coincida exatamente com o final da cerca, sem faltar nem sobrar nada. Explique de forma fundamentada por que isso é impossível do ponto de vista matemático.

Represente de forma exata na reta real o número $\sqrt{10}$.

1. a) Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar dois números naturais que sirvam como catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa meça $\sqrt{10}$.
2. b) Descreva os passos da construção geométrica com régua e compasso para situar $\sqrt{10}$ sobre a reta real.

O formato padrão dos cartões de crédito e do documento de identidade se aproxima, no design, de um "retângulo áureo". Se o lado menor de um documento de identidade mede $53,98$ mm, calcule a medida exata do lado maior utilizando a proporção áurea $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. O resultado exato é um número racional ou irracional?

O período $T$ de um pêndulo simples (o tempo que demora para fazer uma oscilação completa de ida e volta) é dado pela fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, onde $L$ é o comprimento da corda e $g$ a aceleração da gravidade. Calcule o período exato de um pêndulo de $10$ metros de comprimento supondo $g = 10 \text{ m/s}^2$. O tempo obtido é um número racional ou irracional?

Encontre um número racional e um número irracional que estejam compreendidos estritamente entre as aproximações decimais $1,41$ e o valor exato de $\sqrt{2}$. Justifique a sua resposta.

Realize a seguinte operação algébrica utilizando os produtos notáveis e classifique o resultado final indicando a que conjuntos numéricos pertence:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2})^2$

Represente na reta real o número irracional $1 + \sqrt{5}$. Para isso:

1. a) Detalhe qual triângulo retângulo você utiliza na sua construção, justificando a medida da hipotenusa por meio do teorema de Pitágoras.
2. b) Indique a partir de qual ponto da reta numérica você deve começar a desenhar o arco para representar a soma $1 + \sqrt{5}$.
3. c) Faça a representação gráfica na reta real.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um campo de futebol tem dimensões regulamentares de $105$ m de comprimento por $68$ m de largura. Calcule o comprimento exato da diagonal dele, em metros. É um número racional ou irracional? Se for irracional, indique entre quais números inteiros consecutivos ele se encontra.

Em uma circunferência de raio $r = 5$ cm inscreve-se um hexágono regular. Calcule o perímetro exato do hexágono e o comprimento exato da circunferência. Demonstre que o quociente entre o comprimento da circunferência e o perímetro do hexágono é um número irracional independente do raio.

De acordo com o regulamento oficial da Federação Espanhola de Basquetebol (FEB), o campo de jogo regulamentar é um retângulo de $28\text{ m}$ de comprimento por $15\text{ m}$ de largura. Durante uma prova física, os árbitros devem correr em velocidade, em linha reta, de um canto até o canto oposto (ao longo da diagonal).

1. a) Aplique o teorema de Pitágoras para formular a expressão exata do comprimento dessa diagonal e justifique por que essa distância é um número irracional ($\mathbb{I}$).
2. b) Sem calcular a raiz com casas decimais, estime, com fundamentação, entre quais números inteiros consecutivos de metros se encontra o comprimento dessa diagonal. Mostre os quadrados de referência que você utiliza para limitar o resultado.
3. c) Um monitor cardíaco com GPS registra que a diagonal percorrida mede $31,76\text{ m}$. Avalie se esse resultado é coerente com a sua estimativa prévia e explique por que a leitura do dispositivo é obrigatoriamente uma aproximação racional e não a distância real exata.

Resolva as seguintes questões construindo os números pedidos e justificando o seu procedimento:

1. a) Escreva a representação decimal de um número irracional estritamente compreendido entre os números racionais $2,45$ e $2,46$. Para garantir que seja irracional, descreva a regra ou padrão infinito não periódico com que você gera os seus algarismos decimais.
2. b) Encontre um número natural $n$ compreendido entre $40$ e $55$ de modo que $\sqrt{n}$ seja um número racional, e outro número natural $m$ nesse mesmo intervalo de modo que $\sqrt{m}$ seja irracional. Justifique ambas as escolhas a partir da definição de quadrado perfeito.
3. c) Crie uma operação de multiplicação entre dois números irracionais diferentes, $x$ e $y$, cujo resultado seja um número inteiro. Explique por que o produto de dois irracionais nem sempre é irracional.

Demonstre por redução ao absurdo que $\sqrt{2}$ é um número irracional. Para isso, assuma que se pode escrever como uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ (onde $a$ e $b$ não têm divisores comuns) e chegue a uma contradição analisando a paridade (se são pares ou ímpares) de $a$ e de $b$.

Um retângulo áureo tem a propriedade matemática de que, se retirarmos um quadrado formado pelo seu lado menor, o retângulo restante continua semelhante ao retângulo original. Se o lado menor mede $1$ e o lado maior mede $x$, formule a equação de semelhança $\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}$. Resolva-a e demonstre que a solução positiva é exatamente o número irracional $\phi$.

Encontre os valores racionais dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte igualdade seja verificada:

$(a + 2\sqrt{5})(3 - b\sqrt{5}) = 11 - \sqrt{5}$

Represente de forma exata na reta real o número irracional $\sqrt{7}$. Como $7$ não pode ser expresso como soma de dois quadrados perfeitos de números inteiros, não é possível aplicar diretamente o Teorema de Pitágoras com catetos inteiros. Em vez disso, use o Teorema da Altura construindo uma semicircunferência sobre a reta real, como ilustra o esquema conceitual da figura.

1. a) Justifique como decompor $7$ no produto de dois fatores inteiros positivos, $m$ e $n$, para que a altura relativa à hipotenusa meça $h = \sqrt{7}$.
2. b) Se você posicionar o ponto de união entre os dois segmentos na origem das coordenadas ($0$), determine as coordenadas dos dois extremos do diâmetro, a posição do centro da semicircunferência sobre o eixo e a medida do seu raio.
3. c) Descreva detalhadamente os passos geométricos necessários para traçar a semicircunferência, levantar a altura e transportar com o compasso a medida exata de $\sqrt{7}$ sobre o semieixo positivo.

Demonstre utilizando contraexemplos que o conjunto dos números irracionais ($\mathbb{I}$) não é fechado em relação às quatro operações aritméticas básicas. Ou seja, encontre dois números irracionais tais que a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão deles deem como resultado um número racional em cada um dos quatro casos.

Encontre dois números irracionais $x$ e $y$ tais que a potência $x^y$ seja um número racional.

A diagonal espacial de um cubo (o segmento que une dois vértices opostos passando pelo centro do cubo) mede exatamente $\sqrt{12}$ cm. Calcule de forma exata a área total e o volume do cubo. Classifique os resultados finais obtidos como números racionais ou irracionais.

Determine para quais valores inteiros positivos de $n$ a expressão $\sqrt{n^2 + 5n + 6}$ resulta em um número racional.

Para averiguar se o número real $N = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} + \sqrt{2}$ é racional ou irracional, dois estudantes do 4.º ano do ESO propõem estratégias distintas:

• Estratégia do David: Introduz a expressão na calculadora científica, obtém no ecrã o valor $3$ e conclui que o número é racional porque o resultado não apresenta casas decimais.

• Estratégia da Sara: Suspeita que o radicando $11 - 6\sqrt{2}$ provém do desenvolvimento do quadrado de uma diferença. Calcula algebricamente $(3 - \sqrt{2})^2$ para o verificar e simplifica o radical duplo antes de classificar o número.

1. a) Analisa criticamente ambas as estratégias: explica por que razão a calculadora do David não serve como demonstração matemática rigorosa neste tipo de problemas e que vantagem concetual traz o método da Sara.
2. b) Desenvolve os cálculos da estratégia da Sara para obter o valor exato e simplificado de $N$. Classifica-o definitivamente em $\mathbb{Q}$ ou em $\mathbb{I}$.
3. c) A partir do que observaste, formula uma conclusão geral sobre o risco de classificar um número com radicais antes de ter simplificado completamente a sua expressão.

Uma empresa instala suportes triangulares para painéis solares em um galpão industrial de Goiânia seguindo as orientações de inclinação de um órgão técnico de eficiência energética. Cada suporte lateral tem a forma de um triângulo retângulo, em que a base horizontal mede exatamente $1,6\text{ m}$ e a viga inclinada (hipotenusa) mede $2,0\text{ m}$.

1. a) Modele a situação calculando a altura vertical exata $h$ do suporte em metros (na forma de raiz). Expresse o radicando como uma fração irredutível e demonstre, com fundamentação, se a referida altura $h$ é um número racional ($\mathbb{Q}$) ou irracional ($\mathbb{I}$).
2. b) Um operário afirma: «Como os dados de partida $1,6$ e $2,0$ são dízimas finitas com uma única casa decimal, a altura $h$ também tem de ser uma dízima finita: exatamente $1,2\text{ m}$». Demonstre algebricamente se $h = 1,2\text{ m}$ é o valor exato ou apenas uma aproximação errônea.
3. c) O regulamento municipal de urbanismo exige que a altura vertical da estrutura não ultrapasse $\sqrt{1,5}\text{ m}$. Sem recorrer ao cálculo decimal aproximado com a calculadora, determine, com fundamentação, se a estrutura cumpre a norma comparando diretamente os quadrados de ambas as medidas.