Exercícios: Erro absoluto e relativo

Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos ao aproximar o número $3,456$ por $3,46$. Expresse o erro relativo na forma de porcentagem.

Arredonde o número $x = 12,7891$ para os centésimos e calcule o erro absoluto cometido nessa aproximação.

Ao medir o comprimento de um corredor, obteve-se um valor aproximado de $150$ cm com um erro absoluto máximo de $2$ cm. Escreva o intervalo em que o valor real do comprimento se encontra com segurança.

Foram feitas duas medições em uma aula de tecnologia: na primeira comete-se um erro absoluto de $0,5$ cm ao medir uma ripa de $20$ cm, e na segunda um erro absoluto de $2$ cm ao medir uma prancha de $100$ cm. Qual das duas medições é mais precisa? Justifique a sua resposta calculando os erros relativos.

Sabendo que o erro relativo de uma pesagem no laboratório é de $5\ \%$ e que o valor real da massa é $250$ g, determine o erro absoluto cometido.

Aproxime o número $\frac{2}{3}$ utilizando duas casas decimais, primeiro por truncamento e depois por arredondamento. Calcule o erro absoluto em cada caso e indique que aproximação está mais próxima do valor real.

O valor real da aceleração da gravidade na Terra é $g = 9,81$ m/s$^2$. Se, em um problema de física, você utilizar o valor aproximado de $10$ m/s$^2$ para simplificar os cálculos, encontre o erro absoluto e o erro relativo percentual introduzidos.

Determine o erro absoluto e relativo cometido ao usar a fração $\frac{22}{7}$ como aproximação do número irracional $\pi$. (Utilize o valor de $\pi$ fornecido pela calculadora e expresse os resultados finais arredondados a quatro casas decimais).

Num debate escolar sobre o custo dos transportes públicos em Salvador, indica-se que o preço oficial de uma passagem simples de ônibus urbano é de $\text{R\$}\ 1,40$. Um estudante afirma na sua intervenção que a passagem custa «cerca de $\text{R\$}\ 1,50$». Para avaliar a precisão dessa estimativa, o colega dele, Lucas, faz no quadro os seguintes cálculos:

1. a) Localize e explique detalhadamente os dois erros conceituais que o Lucas cometeu: um relativo às unidades do erro absoluto e outro ao valor que colocou no denominador do erro relativo.
2. b) Corrija os cálculos do Lucas obtendo o valor correto de $E_a$ (com as suas unidades) e de $E_r$ (em porcentagem, arredondado para os centésimos).

Na estação meteorológica do Parque del Retiro (Madrid), administrada pela Agência Estatal de Meteorologia (AEMET), um pluviômetro digital de alta precisão registra uma precipitação acumulada de $14,6\text{ mm}$ após uma tempestade de primavera. Ao mesmo tempo, em uma horta urbana próxima, utiliza-se um pluviômetro de leitura analógica que arredonda ao milímetro mais próximo ($p = 1\text{ mm}$), marcando $15\text{ mm}$.

1. a) Calcule o erro absoluto (indicando suas unidades) e o erro relativo percentual (com duas casas decimais) que a leitura da horta urbana comete em relação ao dado de referência da AEMET.
2. b) De acordo com a propriedade do arredondamento ideal a uma unidade $p$, qual é a cota máxima teórica que o erro absoluto poderia ter devido exclusivamente ao arredondamento nesse instrumento analógico?
3. c) Verifique se o erro absoluto obtido no item a) cumpre essa cota e explique o que aconteceria se a horta tivesse registrado $16\text{ mm}$.

Um telescópio espacial mede a distância até uma estrela distante obtendo $4,25 \cdot 10^8$ km. Sabendo que o valor considerado exato pela comunidade astronômica após múltiplas calibrações é $4,23 \cdot 10^8$ km, calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual da medição do telescópio.

No balcão de uma frutaria, o preço de um quilograma de cerejas é de $14,99$ reais. Se um cliente compra $0,350$ kg, a balança calcula o preço exato multiplicando ambas as quantidades e depois arredonda o resultado para o centavo mais próximo para poder cobrar. Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometidos no preço final a pagar.

O tamanho real de uma bactéria observada ao microscópio é de $2,5 \cdot 10^{-6}$ m. Um estudante, ao anotar o dado em seu caderno de laboratório, erra o expoente e escreve $2,5 \cdot 10^{-5}$ m. Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos pelo estudante. Tendo em vista o erro relativo, trata-se de um erro desprezível ou de um equívoco grave?

Em uma corrida de atletismo de 100 metros rasos, o cronômetro oficial tem uma precisão de um centésimo de segundo (ou seja, o erro absoluto máximo é $0,01$ s). Se o tempo registrado no placar para o atleta vencedor é de $9,81$ s, calcule o erro relativo máximo que afeta essa medição e expresse-o em porcentagem.

Foi medido o raio de uma peça circular de metal com um paquímetro, obtendo-se um valor aproximado de $r = 15$ mm, sabendo que o instrumento tem uma margem de erro máximo de $\pm 0,5$ mm. Calcule o intervalo no qual se encontra a área real da peça. Depois, utilizando o valor medido para encontrar uma área aproximada, determine a cota de erro absoluto máximo que se pode estar cometendo nessa área.

Para preparar uma solução em um laboratório de química, são necessários exatamente $250$ ml de água destilada. Ao usar uma proveta graduada, um aluno adiciona $248$ ml. Por outro lado, a receita exige $5$ g de sal, mas, ao pesá-la na balança, são adicionados $5,1$ g. Calcule o erro relativo em cada uma das duas medições e determine em qual dos dois processos se obteve maior precisão.

A capacidade de um disco rígido externo é anunciada na caixa como $500$ GB (onde $1$ GB comercial equivale a $10^9$ bytes). No entanto, o sistema operacional do computador conta os gigabytes em base binária ($1$ GB de computador equivale a $2^{30}$ bytes), por isso o usuário esperava $500$ GB de computador. Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometido ao tomar a capacidade anunciada pelo fabricante como aproximação de $500$ GB de computador (valor exato), expressando ambos os valores em bytes.

Se ao aproximar uma incógnita $x$ pelo valor $3,14$ se comete um erro relativo de, aproximadamente, $0,00050696...$ (supondo que o valor real é $\pi$), verifique matematicamente se essa aproximação foi feita por falta ou por excesso, e confirme que a fórmula do erro relativo se cumpre com esses dados.

Numa jornada de atletismo escolar, um corredor completa a prova de $60\text{ m}$ planos. O sistema de fotofinish eletrônico registra um tempo oficial de $7,84\text{ s}$, enquanto um professor situado na arquibancada cronometra manualmente $8,10\text{ s}$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo por escrito, faça uma estimativa mental: o erro relativo cometido com o cronômetro manual superará os $5\ %$ ou será inferior? Explique com que valores simples e arredondados você compara mentalmente a diferença de tempos ($0,26\text{ s}$) e o tempo oficial ($7,84\text{ s}$) para responder.
2. b) Calcule com exatidão o erro absoluto (com a sua unidade) e o erro relativo percentual (arredondado às centésimas).
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta e reflita: apesar de o erro absoluto ser de apenas algumas décimas de segundo, por que você acha que em provas de alta competição esse erro relativo é inaceitável?

Numa cooperativa agrícola de Petrolina (Pernambuco) embalam-se sacos de castanhas com um peso líquido nominal anunciado de $500\text{ g}$. O regulamento de controle de qualidade rejeita automaticamente qualquer embalagem se o erro relativo percentual cometido em relação ao peso nominal anunciado superar os $1,6\ %$.

1. a) Formule a inequação correspondente e determine o intervalo de pesos reais $[x_{\min}, x_{\max}]$ que um saco deve ter para ser aceito pela máquina de triagem.
2. b) Em uma inspeção, detecta-se uma embalagem com defeito que contém $488\text{ g}$. Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual que ela apresenta em relação ao valor nominal de $500\text{ g}$, e indique se a máquina a rejeitará.
3. c) Se outro saco defeituoso for rejeitado por ter sido enchido em excesso, cometendo um erro relativo exato de $2,4\ %$, formule a equação inversa e calcule quantos gramas de castanhas esse saco realmente contém.

O valor real de uma grandeza física desconhecida é $x$ e seu valor aproximado, medido por um sensor, é $y$. Se sabemos que o erro relativo cometido na medição é exatamente de $4\ \%$ e que o erro absoluto é de $0,2$ unidades, elabore as equações correspondentes e determine os dois possíveis valores reais de $x$ e suas respectivas aproximações $y$.

Um topógrafo mede o lado de um terreno quadrado obtendo $L = 40$ m. Sabe que o erro relativo do seu instrumento de medição é de $2\ \%$ (ou seja, $E_r(L) = 0,02$). Demonstre matematicamente que o limite do erro relativo cometido ao calcular a área do terreno a partir dessa medição é, aproximadamente, de $4\ \%$.

Raciocine matematicamente e discuta em quais condições estritas o erro absoluto de uma aproximação coincide exatamente com seu erro relativo. Forneça um exemplo numérico concreto indicando o valor real e o valor aproximado que ilustre essa situação peculiar.

Uma fábrica de componentes mecânicos estabelece que o comprimento ideal de um parafuso é de $50$ mm. Para que um lote de parafusos passe no controle de qualidade automatizado, o erro relativo do comprimento de cada peça não pode superar $0,5\ \%$. Determine, na forma de intervalo, a faixa de comprimentos reais aceitáveis para que um parafuso seja considerado válido para a venda.

Suponha que aproximamos o número irracional $\sqrt{2}$ considerando apenas os seus primeiros $n$ decimais exatos mediante truncamento. Encontre uma expressão matemática que limite o erro absoluto em função de $n$. A partir dela, descubra quantos decimais $n$ devemos tomar, no mínimo, se quisermos garantir que o erro relativo de nossa aproximação seja estritamente menor que $10^{-4}$.

Em um experimento de densidade, mede-se a massa de um objeto obtendo-se $m = 120$ g com uma cota de erro absoluto de $2$ g, e seu volume $V = 30$ cm$^3$ com uma cota de erro absoluto de $1$ cm$^3$. Calcule os valores máximo e mínimo reais que a densidade ($d = \frac{m}{V}$) poderia assumir. Utilizando o valor aproximado central ($d_{aprox} = \frac{120}{30}$), qual é a cota de erro absoluto para a densidade?

Um estudante calculou o erro relativo de uma medição de laboratório e obteve a fração irredutível $\frac{1}{15}$. Se ele também sabe que o erro absoluto foi exatamente de $3$ unidades e que a aproximação foi feita por excesso, reconstrua o problema para determinar qual era o valor real exato da grandeza e qual foi o valor aproximado utilizado no cálculo.

No código de um programa de computador antigo, utiliza-se a fração $A = \frac{22}{7}$ como aproximação fixa para $\pi$ no cálculo do volume de esferas. Um cliente encomenda o projeto de um reservatório esférico de raio $R = 10$ m e exige por contrato que o erro absoluto do volume calculado pelo software seja inferior a $1$ m$^3$. O programa cumprirá a exigência do cliente? Justifique sua resposta calculando o erro absoluto do volume (utilize o valor de $\pi$ da calculadora científica para determinar o volume considerado como real).

Para um projeto de painéis solares em uma residência de Goiânia, um instalador mede uma superfície retangular utilizando um medidor a laser que arredonda ao centímetro mais próximo ($p = 1\text{ cm} = 0,01\text{ m}$). As medidas obtidas são $1,60\text{ m}$ de comprimento e $1,00\text{ m}$ de largura. Para calcular a área e delimitar o erro que se propaga ao resultado, propõem-se dois métodos de trabalho:

• Método A (Estimativa direta): Calcula a área como $1,60 \cdot 1,00 = 1,60\text{ m}^2$ e afirma que, como a cota de erro absoluto em cada lado é $0,005\text{ m}$, o erro absoluto da área não superará a soma de ambas as cotas ($0,005 + 0,005 = 0,01\text{ m}^2$).

• Método B (Delimitação por extremos): Determina o intervalo de valores possíveis de cada lado segundo a cota de arredondamento ($E_a \le p/2$), calcula os valores extremos da área ($Área_{\min}$ e $Área_{\max}$) e obtém a cota rigorosa do erro absoluto a partir da maior diferença em relação a $1,60\text{ m}^2$.

1. a) Desenvolva completamente o Método B: indique os intervalos de comprimento e largura, calcule $Área_{\min}$ e $Área_{\max}$, e deduza a cota máxima do erro absoluto da área.
2. b) Compare os resultados de ambos os métodos e justifique por que o Método A é incorreto para operações como a multiplicação, demonstrando qual dos dois caminhos é matematicamente rigoroso.

A Polícia Rodoviária Federal (PRF) utiliza radares móveis em rodovias com limite genérico de $120\text{ km/h}$. A regulamentação metrológica oficial estabelece que, para velocidades superiores a $100\text{ km/h}$, a margem de erro máxima admitida para um radar móvel é um erro relativo de $7\ %$ em relação à velocidade real do veículo ($E_r \le 0,07$). Para evitar multar indevidamente por causa dessa imprecisão técnica, a PRF só sanciona se a velocidade real mínima possível do veículo superar com certeza os $120\text{ km/h}$.

1. a) Um radar móvel registra uma leitura de $131\text{ km/h}$ para um veículo. Sabendo que $E_r = |v_{\text{real}} - 131| / v_{\text{real}} \le 0,07$, formule e resolva a inequação para deduzir a velocidade real mínima a que esse veículo pôde circular.
2. b) Com o resultado obtido, justifique fundamentadamente se o condutor desse veículo receberá uma sanção ou se será beneficiado pela margem de dúvida metrológica.
3. c) Modele a situação geral: formule a equação que relaciona a velocidade real limite ($120\text{ km/h}$) com a margem de $7\ %$, e determine a partir de que velocidade exata de leitura no radar móvel (arredondada ao número inteiro superior de $\text{km/h}$) a PRF tem a garantia matemática absoluta de poder sancionar um condutor nesse trecho.

Desafio do tema. Será que o papel que você usa é matematicamente perfeito? Investigue a presença dos números irracionais no design cotidiano resolvendo este desafio.

1. Coleta de dados: Meça com uma régua o comprimento e a largura (em cm) de uma folha DIN A4 que você tenha em casa. Calcule a razão decimal dividindo $\frac{\text{comprimento}}{\text{largura}}$.

2. A reta real: A norma industrial estabelece que essa proporção teórica deve ser exatamente o número irracional $\sqrt{2}$. Com o GeoGebra ou no papel, represente $\sqrt{2}$ na reta real por meio do teorema de Pitágoras ($1^2 + 1^2$) e situe nela o seu valor medido para compará-los.

3. Aproximações e erros: Abra uma planilha. Trunque e arredonde $\sqrt{2}$ a $2$ e $4$ casas decimais. Depois, calcule o erro absoluto ($E_a = |\text{medida} - \sqrt{2}|$) e o erro relativo percentual ($E_r = \frac{E_a}{\sqrt{2}} \cdot 100\,\%$) da sua folha.

4. Produto final: Entregue um relatório breve (uma página) com a tabela de erros, o gráfico da reta e uma conclusão: a margem de erro do fabricante ao cortar o papel é desprezível?

Será avaliado:

• Medição rigorosa e cálculo correto das aproximações e erros ($E_a$ e $E_r$).

• Representação geométrica exata de $\sqrt{2}$ e ordenação correta na reta real.

• Manuseio adequado de ferramentas digitais (GeoGebra ou planilha).

• Redação clara, justificativa do resultado e uso correto da vírgula decimal.