Exercícios: Números reais

Represente de forma exata na reta real as frações $\frac{7}{3}$ e $-\frac{5}{4}$ dividindo a unidade nas partes correspondentes.

Indique quais dos seguintes números pertencem ao intervalo $[-1, \pi)$: $-1,5$, $-1$, $0$, $3,14$, $3,15$, $\sqrt{10}$.

Classifique os seguintes números indicando a quais dos conjuntos numéricos ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertencem. Tenha em mente que um número pode pertencer a mais de um conjunto.

• $A = -8$

• $B = 3,14159...$ (com infinitos algarismos não periódicos)

• $C = \sqrt{25}$

• $D = 4,3\overline{5}$

• $E = \frac{\pi}{2}$

Expresse os seguintes conjuntos de números reais por meio de desigualdades e represente-os mentalmente na reta real:

• O intervalo $[-4, 7)$

• A semirreta $(-\infty, 3]$

• A vizinhança $E(0, 5)$

Expresse na forma de intervalo os seguintes conjuntos de números definidos por meio de desigualdades:

• $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 9\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -5\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 4\}$

Calcule a distância na reta real entre os seguintes pares de pontos utilizando o valor absoluto:

• $A(-9)$ e $B(3)$

• $C(4,5)$ e $D(-2,1)$

• $E\left(\frac{1}{2}\right)$ e $F\left(\frac{7}{2}\right)$

Indique o comprimento que os catetos de um triângulo retângulo devem ter para poder representar exatamente na reta real os seguintes números irracionais, usando o Teorema de Pitágoras:

• $\sqrt{10}$

• $\sqrt{17}$

• $\sqrt{2}$

Os números reais são densos, o que significa que entre dois números reais existem sempre infinitos números reais.

Encontre dois números racionais e dois números irracionais que estejam estritamente compreendidos entre $5,1$ e $5,2$.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta:

• A união do conjunto dos números racionais com os irracionais forma o conjunto dos números reais ($\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$).

• Todo número decimal pode ser expresso como uma fração.

• O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números naturais ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$).

Dado o número irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$:

• Escreva sua aproximação por truncamento até os milésimos.

• Escreva sua aproximação por arredondamento até os milésimos.

• Calcule o erro absoluto cometido na aproximação por arredondamento.

Em um trecho da rodovia A-6 com limite de velocidade fixado em $120\text{ km/h}$, os radares móveis da Polícia Rodoviária Federal aplicam uma margem de tolerância de $7\,\%$. Isso significa que o radar não emite multa se a velocidade real $v$ do veículo (em $\text{km/h}$) não se afastar de $120$ em mais de $8,4\text{ km/h}$, o que se expressa como $|v - 120| \le 8,4$.

1. a) Escreva, na forma de intervalo, o intervalo de velocidades em que um veículo circula na velocidade máxima permitida ou acima dela ($v \ge 120$), mas sem chegar a ser multado. Especifique se esse intervalo é aberto, fechado ou semiaberto e explique por quê.
2. b) Expresse o conjunto de todas as velocidades em que o motorista receberia efetivamente uma multa por excesso de velocidade, usando a notação de semirreta.
3. c) Se o tacógrafo de uma van registra que ela circulou a $128,1\text{ km/h}$, calcule a que distância esse valor está de $120$ e justifique se o motorista será multado ou não.

A Lucía resolveu em sua prova de Matemática o seguinte exercício: «Expresse por meio de uma desigualdade com valor absoluto e como um intervalo o conjunto de números reais cuja distância ao número $-4$ seja menor ou igual a $5$».

Na sua folha, escreveu:

«Passo 1: A distância ao número $-4$ se escreve $|x - 4| \le 5$.

Passo 2: Subtraio e somo $5$ ao número: $4 - 5 = -1$ e $4 + 5 = 9$.

Passo 3: Portanto, a solução é o intervalo aberto $(-1, 9)$, já que a distância não pode ultrapassar essa margem.»

1. a) Identifique e explique os TRÊS erros conceituais cometidos pela Lucía: um na expressão do valor absoluto, outro ao calcular os extremos por causa do sinal, e outro no tipo de intervalo escolhido (parênteses vs. colchetes).
2. b) Escreva a desigualdade com valor absoluto corrigida e calcule o intervalo fechado correto, verificando se o número $-8$ pertence ou não à solução final por meio do cálculo da sua distância a $-4$.

Um arquiteto projeta uma janela retangular cuja base mede $\sqrt{12} \text{ m}$ e a altura mede $\sqrt{3} \text{ m}$. Calcule o perímetro e a área exata da janela, expressando os resultados da forma mais simplificada possível.

Expresse por meio da união de dois intervalos o conjunto de números reais cuja distância à origem do sistema de coordenadas é estritamente maior que $5$.

Dados os seguintes intervalos e semirretas de números reais:

$A = [-5, 4)$

$B = (1, 8]$

$C = (-\infty, 2]$

Calcule e expresse como um único intervalo ou semirreta o resultado das seguintes operações:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $B \cap C$

Em um laboratório de biologia, uma enzima só se mantém ativa se a temperatura $T$ (em graus Celsius) da incubadora cumprir a condição estrita de estar a uma distância de $37,5^\circ\text{C}$ inferior a $1,2^\circ\text{C}$.

• Expresse essa condição por meio de uma desigualdade com valor absoluto.

• Expresse o intervalo de temperaturas aceitáveis como uma vizinhança $E(a, r)$.

• Expresse o intervalo de temperaturas como um intervalo.

Represente geometricamente e de forma exata o número irracional $\sqrt{8}$ sobre a reta real, apoiando-se na graduação dada. Para isso:

1. a) Decomponha o radicando em uma soma de dois quadrados perfeitos e indique as medidas dos catetos do triângulo retângulo que você precisa construir.

1. b) Detalhe os passos da sua construção, explicando como você transladou o comprimento da hipotenusa sobre a reta real com a ajuda do compasso.

Uma fábrica de peças de precisão produz hastes metálicas. O comprimento ideal da haste é de $L = 150 \text{ mm}$. O departamento de controle de qualidade rejeita qualquer haste cujo comprimento difira do ideal em mais de $0,8 \text{ mm}$.

• Expresse a condição de aceitação por meio de uma desigualdade com valor absoluto, sendo $x$ o comprimento real da haste.

• Escreva o conjunto de comprimentos aceitáveis na forma de intervalo.

• Se uma haste medir $149,3 \text{ mm}$, ela será aceita ou rejeitada?

Transforme os seguintes intervalos na notação de vizinhança $E(a, r)$, determinando seu centro $a$ e seu raio $r$:

• $I_1 = (2, 10)$

• $I_2 = [-3,5; 7,5]$

• $I_3 = \left( \frac{1}{4}, \frac{5}{4} \right)$

Justifique se as seguintes afirmações são sempre verdadeiras, às vezes verdadeiras ou nunca verdadeiras, fornecendo um exemplo em cada caso:

• A soma de dois números irracionais resulta em um número irracional.

• O produto de um número racional diferente de zero por um número irracional é irracional.

• O quadrado de um número irracional é um número racional.

O número de ouro, denotado pela letra grega $\phi$ (fi), é um número irracional que aparece frequentemente na arte, na arquitetura e na natureza. Seu valor exato é $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

• Sabendo que $\sqrt{5} \approx 2,23606$, calcule o valor aproximado de $\phi$ arredondado para quatro casas decimais.

• Explique detalhadamente os passos geométricos que você seguiria para representar o número $\phi$ de forma exata na reta real.

Resolva a seguinte equação com módulo e represente o conjunto de suas soluções na reta real:

$|3x - 6| = 12$

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registra em Cruz Alta (Rio Grande do Sul) uma das maiores oscilações térmicas da região. Para um dia de julho, a previsão meteorológica fixa uma temperatura mínima de $-5\text{ }^\circ\text{C}$ e uma máxima de $9\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Estime: Sem fazer operações por escrito, estime mentalmente que temperatura $a$ representa o valor médio (centro) do dia e quantos graus $r$ a temperatura sobe ou desce, no máximo, a partir desse centro. Escreva a sua previsão e explique o raciocínio intuitivo que você seguiu.
2. b) Verifique e modele: Verifique a sua estimativa calculando de forma exata o centro $a$ e o raio $r$ do intervalo $[-5, 9]$. Expresse o intervalo de temperaturas previsto por meio da notação de vizinhança $E(a, r)$ e por meio de uma desigualdade com valor absoluto da forma $|T - a| \le r$.
3. c) O INMET ativa o aviso por risco de geada severa se a temperatura pertencer à semirreta $(-\infty; -3]\text{ }^\circ\text{C}$. Justifique se esse aviso será ativado durante o dia e calcule quantos graus de margem existem entre a mínima prevista e o limite de ativação do aviso.

Desenhe e fundamente as soluções para os seguintes desafios inversos sobre a reta real:

1. a) Escreva uma desigualdade com valor absoluto da forma $|x - a| > r$ cujo conjunto-solução coincida exatamente com a união de semirretas $(-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$. Explique como você deduziu o valor do centro $a$ e do raio $r$ a partir da posição dos extremos na reta.
2. b) Encontre um número racional (escrito como fração irredutível) e um número irracional (mostrando a sua expressão com raiz ou o seu padrão decimal infinito não periódico) que se encontrem ambos estritamente compreendidos entre os números decimais $3,1$ e $3,2$. Justifique por que o primeiro é racional e o segundo não é.
3. c) Escreva uma equação do segundo grau da forma $x^2 = k$, onde $k$ seja um número inteiro, cuja solução positiva seja um número real irracional situado estritamente dentro do intervalo $(4, 5)$. Demonstre por que essa solução não pertence ao conjunto $\mathbb{Q}$ dos racionais.

Represente de forma exata na reta numérica o valor irracional $1 + \sqrt{5}$. Detalhe o processo de construção geométrica passo a passo, justificando as medidas utilizadas.

Resolva a seguinte desigualdade com valor absoluto e expresse a solução final como um intervalo ou união de intervalos na reta real: $|2x - 5| \leq 7$.

Demonstre por redução ao absurdo que a soma de um número racional $q$ e um número irracional $i$ resulta sempre em um número irracional. Aplique esse raciocínio para justificar formalmente por que $2 + \sqrt{3}$ pertence ao conjunto dos números irracionais.

Em um circuito eletrônico, a resistência equivalente $R_{eq}$ de duas resistências $R_1$ e $R_2$ conectadas em paralelo é dada pela fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se os valores das resistências forem $R_1 = \sqrt{2} \text{ }\Omega$ e $R_2 = \sqrt{8} \text{ }\Omega$, calcule o valor exato de $R_{eq}$ racionalizando e simplificando o resultado ao máximo.

Na figura a seguir é mostrado um procedimento geométrico sobre a reta real. Identifique qual número irracional exato foi representado no ponto $P$ e justifique sua resposta detalhando cada passo da construção.

Um centro de distribuição logística será situado em uma rodovia reta que une duas cidades $A$ e $B$, localizadas nos marcos quilométricos $10$ e $40$, respectivamente. Deseja-se que a soma das distâncias do centro a ambas as cidades seja exatamente de $40\text{ km}$. Escreva uma equação modular e determine em quais marcos quilométricos $x$ o centro poderia ser situado.

Demonstre analiticamente que a interseção das vizinhanças $E(2; 3)$ e $E(4; 2)$ é outra vizinhança. Calcule o centro e o raio dessa nova vizinhança resultante.

Encontre uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ que aproxime o número irracional $\sqrt{7}$ de modo que o erro absoluto cometido seja estritamente menor que $0,05$. Expresse a condição do erro utilizando desigualdades com valor absoluto.

Demonstre por redução ao absurdo que $\sqrt{3}$ é um número irracional. Para isso, assuma que $\sqrt{3}$ é racional, ou seja, que pode ser expresso como uma fração irredutível $\frac{p}{q}$ (onde $p$ e $q$ são inteiros sem divisores comuns). Eleve ao quadrado ambos os termos e analise a paridade ou divisibilidade por 3 de $p$ e $q$ para chegar a uma contradição.

Encontre o conjunto de números reais $x$ que satisfazem simultaneamente as duas condições a seguir:

1. Sua distância ao ponto $4$ é menor ou igual a $5$.

2. Sua distância ao ponto $-2$ é estritamente maior que $3$.

Resolva as inequações com módulo correspondentes e expresse a solução final como a união de intervalos.

Represente geometricamente e de forma exata o número irracional $\sqrt{13} - 2$ sobre a reta real.

1. a) Explique o processo de construção indicando em que ponto você situaria o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo e quais seriam os comprimentos dos seus catetos.
2. b) Desenhe a representação gráfica sobre a reta real graduada.

Sejam o número $a = 1,9999...$ (com infinitos noves em sua parte decimal) e o número $b = 2$.

• Expresse o número $a$ na forma de fração geratriz.

• Com base no resultado anterior, existe algum número real estritamente compreendido entre $a$ e $b$? Justifique sua resposta raciocinando sobre a densidade dos números reais.

Uma fábrica de envase de azeite em Jaén programa o seu sistema óptico de controle de qualidade. Cada garrafa tem um volume nominal de $750\text{ ml}$, e a regulamentação espanhola tolera um desvio máximo de $9\text{ ml}$ (por excesso ou por falta). As garrafas que ultrapassarem essa tolerância são rejeitadas automaticamente.

Para programar o filtro do software, dois engenheiros propõem critérios distintos:

• Critério A (Intervalo direto): Aceitar a garrafa se o seu volume $V$ cumprir $V \in [741, 759]$; rejeitar caso contrário.

• Critério B (Valor absoluto): Aceitar a garrafa se $|V - 750| \le 9$; rejeitar caso contrário.

1. a) Demonstre de forma fundamentada que ambos os critérios são matematicamente equivalentes para qualquer garrafa analisada.
2. b) Se um sensor detecta uma garrafa com $V = 759,2\text{ ml}$, descreva como cada critério avalia se a garrafa é aceita ou rejeitada, interpretando o resultado de acordo com a distância ao valor nominal.
3. c) A fábrica decide introduzir um novo formato de garrafões de $2000\text{ ml}$ mantendo a mesma margem de tolerância absoluta de $9\text{ ml}$. Qual dos dois critérios exige modificar menos parâmetros no código do programa e reduz a possibilidade de cometer um erro humano de cálculo ao calibrar a máquina? Justifique a sua resposta analisando os conceitos de centro e raio.

Num projeto de arranjo paisagístico nos Jardines del Turia (Valência), uma equipe técnica deve implantar duas pérgulas metálicas com precisão milimétrica sobre o terreno. As especificações técnicas exigem comprimentos exatos que envolvem números irracionais:

• A primeira pérgula requer uma viga diagonal de comprimento exato $\sqrt{13}\text{ metros}$.

• A segunda pérgula requer uma viga diagonal de comprimento exato $\sqrt{14}\text{ metros}$.

1. a) A equipe dispõe apenas de fitas métricas convencionais e esquadros. Explique como podem traçar sobre o terreno o comprimento exato de $\sqrt{13}\text{ m}$ por meio de um único triângulo retângulo cujos catetos tenham medidas inteiras em metros. Justifique o processo aplicando o teorema de Pitágoras.
2. b) Para a viga de $\sqrt{14}\text{ m}$, um operário propõe procurar dois números inteiros cujos quadrados somem $14$. Demonstre de forma fundamentada que é impossível encontrar dois números inteiros positivos $a$ e $b$ tais que $a^2 + b^2 = 14$, analisando todos os quadrados perfeitos menores que $14$. Em seguida, explique como construir de forma exata o comprimento $\sqrt{14}\text{ m}$ encadeando um segundo triângulo retângulo a partir da hipotenusa de $\sqrt{13}\text{ m}$.
3. c) Por motivos de passagem de pedestres, a viga de $\sqrt{14}\text{ m}$ deve caber num espaço útil que mede entre $3,7\text{ m}$ e $3,8\text{ m}$ (ou seja, no intervalo $(3,7; 3,8)$). Sem usar a tecla de raiz quadrada da calculadora, verifique elevando ao quadrado os extremos se o comprimento exato $\sqrt{14}$ fica dentro desse intervalo admissível.