Exercícios: Simetria de uma função

Determine algebricamente se a função $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ é par, ímpar ou não tem simetria.

Verifique de forma analítica se a função racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ apresenta algum tipo de simetria.

Estude a simetria da função polinomial $h(x) = x^3 - 4x + 1$.

Observe o seguinte gráfico de uma função $f(x)$. A partir da sua representação, determine que tipo de simetria ela possui e calcule o valor de $f(-2)$ sabendo que $f(2) = -2$.

O gráfico a seguir representa a função $g(x)$. Identifique visualmente sua simetria e encontre $g(-3)$ se sabemos que $g(3) = 2$.

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Classifique as seguintes funções elementares como pares, ímpares ou sem simetria: $y = x$, $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$, $y = |x|$.

Uma função $f(x)$ passa pelo ponto $(2, 5)$. Se sabemos que é uma função par, por qual outro ponto deve passar obrigatoriamente? E se fosse uma função ímpar?

Justifique se o produto de uma função par por uma função ímpar resulta em uma função par, ímpar ou sem simetria. Pode utilizar exemplos simples como $x^2$ e $x$ para ilustrar a sua conclusão.

Num teste de 4.º do ESO, o Hugo tem de determinar se a função $f(x) = x^3 - 4x + 1$ é par, ímpar ou não tem simetria. O Hugo escreve na sua folha:

«Calculo $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) + 1 = -x^3 + 4x + 1$. Como os termos com $x$ mudaram todos de sinal, a função é ímpar».

1. a) Encontra e explica por tuas palavras o erro conceptual que o Hugo cometeu ao aplicar a definição de função ímpar ($f(-x) = -f(x)$).
2. b) Escreve a expressão completa de $-f(x)$ e compara-a termo a termo com $f(-x)$ para corrigir o raciocínio do Hugo.
3. c) Determina de forma fundamentada a conclusão correta sobre a simetria de $f(x)$.

A prefeitura de Fortaleza está projetando uma nova pista de skate e encomenda o perfil transversal de uma rampa em forma de U modelada por uma função quadrática $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$, onde $x$ é a distância horizontal em metros a partir do centro da pista e $f(x)$ é a altura em metros em relação ao solo.

1. a) Por segurança e equilíbrio no design, a rampa deve ter simetria par em relação ao eixo vertical central ($Y$). Demonstre algebricamente que valor o parâmetro $b$ deve obrigatoriamente assumir para que sempre se verifique que $f(-x) = f(x)$.
2. b) Sabendo que o ponto mais baixo da rampa está no centro, rente ao solo ($f(0) = 0$), e que a $3\text{ m}$ do centro a altura é de $1,8\text{ m}$, obtenha os valores de $a$ e $c$ e escreva a fórmula definitiva da rampa.
3. c) Sem fazer substituições numéricas na fórmula, deduza quanto valerá $f(-3)$, justificando a partir da simetria da função.

O cabo principal de uma ponte pênsil adota a forma de uma parábola descrita pela função $f(x) = 0,05x^2 + 10$, onde $x$ é a distância horizontal em metros a partir do centro da ponte. Verifique analiticamente a simetria dela e explique que significado físico este resultado tem para a estrutura da ponte.

O perfil de uma pá de um aerogerador é modelado por meio de uma função ímpar da forma $f(x) = ax^3$. Se a extremidade da pá se encontra nas coordenadas $(15, 30)$ em cm, em quais coordenadas se encontrará a extremidade oposta? Calcule também o valor do parâmetro $a$.

Estude algebricamente a simetria da função $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}$.

Demonstre algebricamente se a função exponencial combinada $f(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{2}$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.

O gráfico a seguir mostra apenas a parte correspondente a $x \ge 0$ de uma função $f(x)$. Sabendo que a função é ímpar, descreva como seria a parte que falta no intervalo $x < 0$ e determine as coordenadas dos vértices no lado negativo.

Calcule o valor que o parâmetro $k$ deve assumir para que a função $f(x) = 2x^2 + kx + 5$ seja uma função par em todo o seu domínio.

A variação de temperatura em uma câmara de testes é regida pela função $T(t) = \frac{12t}{t^2 + 4}$ para $t \in [-5, 5]$, onde $t$ é o tempo em horas e $T$ a temperatura em graus Celsius. Determine a simetria da função e interprete o que ocorre com as temperaturas nos instantes $t = 3$ e $t = -3$.

Dadas duas funções, $f(x)$ par e $g(x)$ ímpar, analise a simetria da função soma $h(x) = f(x) + g(x)$. Verifique utilizando as funções $f(x) = x^2$ e $g(x) = x$.

Para averiguar se a função polinomial $f(x) = 2x^4 - 7x^2 + 3$ tem algum tipo de simetria, dois estudantes propõem estratégias distintas:

• A Sofia propõe um caminho numérico: calcular $f(2)$ e $f(-2)$ e, se derem o mesmo resultado, garantir que a função é par.

• O Miguel propõe o método analítico: calcular a expressão algébrica geral de $f(-x)$ e compará-la diretamente com $f(x)$ e com $-f(x)$.

1. a) Aplique o método do Miguel passo a passo e conclua justificadamente se a função é par, ímpar ou não tem simetria.
2. b) Compare ambos os métodos e explique por que razão o caminho da Sofia não serve para demonstrar formalmente que uma função é par em todo o seu domínio.
3. c) No entanto, o método da Sofia é útil para descartar simetrias. Comprove isso com a função $g(x) = x^2 + 3x$: avalie $g(1)$ e $g(-1)$, e justifique a partir deles por que razão se pode assegurar de imediato que $g$ não é par.

Nas obras de adaptação de um túnel rodoviário na autoestrada A-6 na sua passagem por Guadarrama, modela-se a altura do teto através da função $h(x) = 6 - 0,15 \cdot x^2$, onde $x$ representa a distância horizontal em metros a partir do separador central (com $-5 \le x \le 5$) e $h(x)$ é a altura do túnel em metros.

1. a) Antes de fazeres cálculos, estima se faz sentido em termos de engenharia que a secção transversal de um túnel de dois sentidos seja uma função par, ímpar ou sem simetria em relação à linha central, e argumenta a tua previsão.
2. b) Verifica algebricamente se a função $h(x)$ é par, ímpar ou não tem simetria aplicando a condição formal sobre $h(-x)$.
3. c) Um camião de bombeiros circula pela via da direita e o seu ponto mais exterior situa-se a $x = 4\text{ m}$ do separador central. Calcula a altura do túnel nesse ponto para ver se passa por baixo de um sinal instalado a $3,5\text{ m}$ de altura. Em seguida, justifica através da simetria qual será a altura na via da esquerda a $x = -4\text{ m}$ sem necessidade de repetir o cálculo.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função racional $f(x) = \frac{ax^3 + b}{x^2 - 1}$ seja ímpar e passe pelo ponto $(2, \frac{16}{3})$.

Demonstre que qualquer função $f(x)$ definida em $\mathbb{R}$ pode ser expressa como a soma de uma função par e uma função ímpar. (Dica: considere as expressões $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$).

Um arco arquitetônico é modelado pela função $y = \frac{k}{e^{cx} + e^{-cx}}$. Demonstre que esse arco é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, independentemente do valor de $c$. Se a altura máxima do arco em $x = 0$ é de $10$ metros, encontre o valor de $k$.

Determine algebricamente o tipo de simetria da função logarítmica $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$. Leve em consideração as propriedades dos logaritmos.

Encontre os valores dos parâmetros $m$ e $n$ que fazem com que a função polinômica $f(x) = x^4 + (m-2)x^3 + nx^2 + (n+1)x + 5$ seja simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

O campo magnético $B(x)$ criado por um fio condutor reto e infinito a uma distância $x$ é dado por $B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$. Verifique a paridade dessa função. Qual interpretação física tem o fato de a função ser ímpar ao avaliar o campo em uma posição $x$ e na sua oposta $-x$?

Se $f(x)$ é uma função par e $g(x)$ é uma função qualquer, determine de forma fundamentada a simetria da função composta $k(x) = g(f(x))$. É possível afirmar o mesmo da função $h(x) = f(g(x))$?

Uma função par $f(x)$ é formada por segmentos de reta. No primeiro quadrante, ela delimita um triângulo com os vértices $(0, 4)$, $(3, 0)$ e a origem das coordenadas. A partir do gráfico mostrado para $x \ge 0$, deduza a equação de $f(x)$ para todo o seu domínio, expressa como função definida por partes, e calcule a área total delimitada pela função e pelo eixo das abscissas.

O Instituto Espanhol de Oceanografia (IEO) monitora o fluxo de água na foz de um estuário. A velocidade da água em metros por segundo durante um ciclo é modelada pela função $v(t) = \frac{4t}{t^2 + 4}$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde o momento de nível médio ($t = 0$), com $-3 \le t \le 3$. Os valores positivos indicam corrente entrante (maré alta) e os negativos, corrente saindo (maré baixa).

1. a) Demonstre analiticamente que a função $v(t)$ é ímpar calculando passo a passo $v(-t)$ e comparando-o com $-v(t)$.
2. b) Se 2 horas após a maré média ($t = 2$) o sensor registra uma velocidade de entrada de $1\text{ m/s}$, deduza de forma fundamentada, a partir da simetria, qual era a velocidade e o sentido da água 2 horas antes desse instante central ($t = -2$).
3. c) Um membro da equipe afirma que qualquer função ímpar cujo domínio inclua o $0$ tem de passar obrigatoriamente pela origem $(0,0)$. Demonstre algebricamente se essa afirmação é sempre verdadeira utilizando a igualdade $f(-x) = -f(x)$ para $x = 0$, e explique que significado físico isso tem para a corrente em $t = 0$.

A Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) modela a pressão atmosférica em torno do olho de uma depressão no mar Cantábrico através de $P(x) = 0,04x^2 + 990$, onde $x$ é a distância em dezenas de quilômetros a leste ($x > 0$) ou a oeste ($x < 0$) do centro da depressão ($x = 0$), e $P(x)$ é a pressão em hectopascais ($\text{hPa}$).

1. a) Justifique analiticamente por que $P(x)$ é uma função par e que implicação meteorológica isso tem em relação à distribuição de pressões em ambos os lados do olho da tempestade.
2. b) Uma frente desloca a depressão $30\text{ km}$ para leste (ou seja, 3 dezenas de quilômetros para a direita), de modo que o novo modelo passa a ser $Q(x) = P(x - 3) = 0,04(x - 3)^2 + 990$. Desenvolva a expressão de $Q(x)$ e verifique algebricamente se $Q(x)$ continua sendo uma função par em relação ao eixo $Y$.
3. c) Explique do ponto de vista geométrico por que uma translação horizontal faz perder a simetria par em relação ao eixo $Y$, indique qual é agora o novo eixo vertical de simetria do gráfico e justifique se uma translação vertical (por exemplo, somar $5\text{ hPa}$ a toda a função) provocaria também a perda da simetria par.