Exercícios: Como as funções nos são apresentadas

Observe os seguintes gráficos e indique quais deles correspondem à representação de uma função matemática e quais não. Justifique sua resposta utilizando a regra da linha vertical.

Expresse por meio de uma fórmula algébrica a seguinte relação descrita verbalmente: "O custo $C$ de comprar $x$ quilogramas de maçãs se cada quilo custa $1,80$ reais e a sacola de plástico para levá-las custa $0,10$ reais."

Determine a expressão algébrica da função linear que relaciona as variáveis $x$ e $y$ dadas na seguinte tabela de valores:

• $x$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $y$: $5$, $7$, $9$, $11$, $13$

Dada a função definida pela fórmula $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}$, construa uma tabela de valores para $x \in \{-3, -1, 0, 1, 3\}$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A partir do seguinte gráfico, construa uma tabela de valores para as coordenadas $x \in \{-4, -2, 0, 2, 4\}$.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Observe as seguintes tabelas de valores e determine qual delas representa uma função e qual não. Justifique sua resposta indicando a condição que uma relação deve cumprir para ser função.

Tabela A:

• $x$: $-2$, $0$, $2$, $2$, $4$

• $y$: $4$, $0$, $3$, $5$, $16$

Tabela B:

• $x$: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$

• $y$: $4$, $1$, $0$, $1$, $4$

Um estacionamento pago cobra uma taxa base de $2$ reais para entrar e $1,50$ reais por cada hora de permanência. Crie uma tabela de valores que mostre o custo total para permanências de $0$, $1$, $2$, $3$ e $4$ horas.

Analise as seguintes descrições verbais e decida quais definem uma função matemática (onde a cada elemento inicial corresponde um único elemento final):

1. a) A cada pessoa é associado o seu número de CPF.
2. b) A cada número de calçado é associada uma pessoa que o calça.
3. c) A cada número real é associado o seu quadrado.
4. d) A cada número real positivo são associadas as suas raízes quadradas.

Uma empresa de mobilidade urbana numa cidade brasileira oferece um serviço de aluguel de patinetes elétricos compartilhados. A tarifa consiste em um custo fixo de $1$ real pelo desbloqueio mais $0,25$ reais por cada minuto de trajeto.

1. Escreva a expressão algébrica que fornece o custo total da viagem, $C(t)$ em reais, em função do tempo de utilização $t$ expresso em minutos.

2. Elabore uma tabela de valores que mostre o custo para trajetos de $0$, $4$, $10$, $15$ e $20$ minutos.

3. Por razões de segurança e autonomia da bateria, o aplicativo bloqueia automaticamente qualquer viagem ao atingir os $45$ minutos de duração contínua. Tendo isso em conta, defina de forma fundamentada o domínio de contexto da função $C(t)$.

Uma empresa de correio expresso aplica uma tarifa por faixas para envios nacionais de acordo com o peso da encomenda em quilogramas ($x$). A tarifa em reais é dada pela função:

$P(x) = \begin{cases} 4,50 & \text{se } 0 < x \le 2 \\ 4,50 + 1,20 \cdot (x - 2) & \text{se } x > 2 \end{cases}$

A Júlia precisa enviar uma encomenda que pesa exatamente $1,5$ kg. Para calcular o valor, substitui diretamente $x = 1,5$ na segunda fórmula:

$P(1,5) = 4,50 + 1,20 \cdot (1,5 - 2) = 4,50 + 1,20 \cdot (-0,5) = 4,50 - 0,60 = \text{R\$}\ 3,90$

A Júlia conclui que, como a sua encomenda pesa $1,5$ kg, fica mais barata do que a tarifa fixa de $4,50$ reais para encomendas pequenas.

Explique que erro conceitual a Júlia cometeu ao avaliar a função definida por ramos, fundamente por que razão a sua conclusão não tem sentido físico no contexto do problema e calcule o preço correto que ela deve pagar.

Duas operadoras de telefonia oferecem diferentes tarifas mensais. A operadora Alpha cobra uma taxa fixa de $5$ reais mais $0,10$ reais por minuto de chamada. A operadora Beta não tem taxa fixa, mas cobra $0,15$ reais por minuto.

1. Escreva a expressão algébrica do custo mensal para cada operadora em função dos minutos consumidos $x$.

2. Calcule quanto você pagaria em cada operadora se consumisse $120$ minutos em um mês.

3. Encontre algebricamente a partir de quantos minutos a operadora Alpha se torna mais barata.

Dispõe-se de um fio de arame de $30$ cm de comprimento com o qual se quer formar um retângulo.

1. Expresse a área do retângulo $A(x)$ em função da medida de sua base $x$.

2. Qual é o domínio lógico desta função no contexto do problema? Isto é, que valores reais a base $x$ pode assumir para que o retângulo exista?

O gráfico a seguir mostra a evolução da temperatura no exterior de uma estação meteorológica ao longo de um dia completo ($24$ horas). A partir do gráfico, responda:

1. Quais são as temperaturas máxima e mínima atingidas e a que horas elas ocorrem?

2. Indique os intervalos de tempo em que a temperatura sobe e em que desce.

Associe cada uma das seguintes fórmulas algébricas à tabela de valores correspondente:

Fórmulas:

1. $y = 2x - 3$

2. $y = x^2 + 1$

3. $y = \frac{12}{x}$

Tabelas:

• Tabela A: $(-2, 5)$, $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 10)$

• Tabela B: $(-2, -6)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$

• Tabela C: $(-1, -5)$, $(0, -3)$, $(2, 1)$, $(4, 5)$

Em um experimento de física, deixa-se cair uma pedra de uma ponte situada a $45$ metros de altura sobre um rio. A altura $h$ da pedra em relação à água, medida em metros, em função do tempo $t$ em segundos, é dada pela expressão $h(t) = 45 - 5t^2$.

1. Construa uma tabela de valores para $t = 0$, $t = 1$, $t = 2$ e $t = 3$.

2. Em que instante de tempo exato a pedra atinge a água?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Identifique quais das seguintes equações relacionam $x$ e $y$ de forma que $y$ seja uma função de $x$. Justifique sua resposta isolando a variável $y$ quando for possível.

1. a) $3x + 2y = 6$
2. b) $x^2 + y^2 = 25$
3. c) $y = x^3 - 2$

Um serviço de táxi cobra uma bandeirada de $2,50$ reais e um adicional de $1,20$ reais por quilômetro percorrido.

1. Escreva a expressão algébrica da função que dá o preço da corrida em função dos quilômetros percorridos.

2. Se um cliente pagou $14,50$ reais ao chegar ao seu destino, quantos quilômetros o táxi percorreu?

Traduza a seguinte situação para uma expressão algébrica definida por partes: "Um passe de transporte para jovens custa $20$ reais por mês e permite realizar até $30$ viagens sem custo adicional. A partir da viagem número $31$, cobra-se $0,50$ reais por viagem extra realizada." Seja $x$ o número total de viagens realizadas no mês e $C(x)$ o custo mensal total.

De acordo com dados da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET), num dia de primavera na Sierra Nevada a temperatura ao nível do mar ($0$ metros de altitude) é de $18$ ºC. À medida que se sobe pela encosta da montanha, a temperatura diminui a um ritmo constante de $0,6$ ºC por cada $100$ metros de desnível.

1. Obtenha a fórmula da função $T(h)$ que relaciona a temperatura em graus Celsius com a altitude $h$ medida em metros.

2. Se o cume mais alto acessível na rota se encontra no pico Veleta, a $3396$ metros de altitude, determine o domínio de contexto da função justificando os extremos do intervalo.

3. Calcule a partir de que altitude a temperatura estará abaixo do ponto de congelamento ($0$ ºC) e interprete se os caminhantes encontrarão neve ou gelo antes de chegar ao cume.

O coordenador de um complexo esportivo municipal quer analisar a ocupação da academia durante um sábado, desde a sua abertura às 8:00 até o fechamento às 22:00. Para apresentar os resultados à diretoria, ele pode escolher entre três formas distintas de mostrar a mesma informação:

• Forma 1 (Tabela): Uma lista com o número exato de pessoas registradas pela catraca de entrada a cada hora cheia ($8$ h, $9$ h, $10$ h, etc.).

• Forma 2 (Gráfico): Uma curva contínua temporal gerada pelo sensor de lotação em tempo real ao longo das $14$ horas.

• Forma 3 (Fórmula): Uma expressão algébrica polinomial aproximada de grau 3, $A(t) = -0,2 \cdot t^3 + 4,1 \cdot t^2 - 18 \cdot t + 25$, em que $t$ são as horas decorridas desde as 8:00.

Responda de forma fundamentada às seguintes questões:

1. a) Se a diretoria precisar identificar rapidamente os horários de pico de maior saturação e os intervalos em que a academia ficou abaixo de $30$ % da lotação, qual das três formas é a mais eficaz e por quê?
2. b) Se for necessário auditar o cumprimento do limite legal de lotação às 12:00 em ponto para uma inspeção técnica, qual é a forma mais conveniente e que inconveniente apresentaria usar a fórmula?

Observe o gráfico da função $f(x)$, que é composta por três ramos: uma parte de hipérbole, um segmento de reta e uma parte de curva exponencial.

1. a) Determine, observando a malha quadriculada (1 unidade = 1 quadradinho), o domínio e o conjunto imagem da função.
2. b) Identifique a equação da reta vertical assinalada em vermelho (assíntota da hipérbole à qual pertence o primeiro ramo) e os pontos de descontinuidade.
3. c) Sabendo que o primeiro ramo é da forma $y = \frac{k}{x+2}$, o segundo é linear e o terceiro é da forma $y = a^{x-3}$, determine a expressão analítica completa da função $f(x)$ definida por partes.

Dispõe-se de uma folha de papelão quadrada de $40$ cm de lado. Deseja-se construir uma caixa sem tampa cortando um quadrado de lado $x$ em cada um dos quatro cantos e dobrando as abas resultantes para cima.

1. Expresse o volume da caixa, $V(x)$, em função do lado $x$ do quadrado recortado.

2. Determine o domínio de definição desta função no contexto geométrico do problema.

As tarifas de um estacionamento público indicam que será cobrado $2$ reais pela primeira hora ou fração de hora, e $1,50$ reais por cada hora ou fração de hora adicional.

1. Construa uma tabela de valores que mostre o custo de estacionar para os tempos $t \in \{0,5; 1; 1,5; 2; 2,5\}$ horas.

2. Explique por que a representação gráfica desta situação corresponde a uma função em degrau (função definida por partes constante por intervalos).

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A partir do gráfico da seguinte função definida por partes, encontre a expressão algébrica (fórmula) correspondente a cada um dos três trechos retos que a compõem.

Um teatro dispõe de $500$ poltronas. Comprovou-se que, se o preço do ingresso for de $20$ reais, o teatro fica totalmente lotado. Além disso, um estudo de mercado estima que para cada aumento de $5$ reais no preço do ingresso, vendem-se $40$ poltronas a menos.

Expresse a receita total do teatro, $I(x)$, em função do número de aumentos de $5$ reais aplicados ao preço original (isto é, $x$ representa a quantidade de vezes que se aumenta o preço em $5$ reais).

Observe a seguinte sequência de figuras formadas por pontos. Determine a expressão algébrica da função $N(s)$ que relaciona o número da figura (passo $s$) com o número total de pontos que a compõem. Utilize a fórmula obtida para calcular quantos pontos terá a Figura 40.

Encontre a expressão algébrica da parábola representada no gráfico sabendo que ela é da forma $y = ax^2 + bx + c$. Utilize os pontos destacados para formular e resolver o sistema de equações necessário.

Um ciclista $A$ parte de uma cidade para o leste a uma velocidade constante de $20$ km/h. Exatamente uma hora depois, um segundo ciclista $B$ parte da mesma cidade e na mesma direção perseguindo o primeiro a uma velocidade constante de $25$ km/h. Expresse a distância $d(t)$ que separa ambos os ciclistas em função do tempo $t$ (em horas) decorrido desde que o ciclista $A$ partiu.

Um reservatório de $500$ litros de capacidade contém inicialmente $100$ litros de água. Uma torneira é aberta e despeja água à razão de $25$ litros por minuto durante $10$ minutos. Em seguida, a torneira é fechada e o reservatório permanece em repouso durante $5$ minutos. Por fim, um ralo é aberto e esvazia a água à razão de $50$ litros por minuto até que o reservatório fique completamente vazio. Escreva a expressão analítica definida por partes da função volume $V(t)$ que indica a quantidade de água no reservatório no instante $t$ (em minutos).

Numa capital de estado brasileira, a empresa pública de águas fatura o consumo bimestral de água doméstica por faixas para premiar a economia, aplicando a seguinte tarifa variável sobre os metros cúbicos ($x$) consumidos:

• Faixa 1 (consumo básico, até $20 \text{ m}^3$): $0,50$ reais por $\text{m}^3$.

• Faixa 2 (consumo médio, excedente sobre $20 \text{ m}^3$ e até $40 \text{ m}^3$): os primeiros $20 \text{ m}^3$ são pagos pela tarifa da Faixa 1, e os metros cúbicos que ultrapassarem os $20$ são pagos a $1,10$ reais cada um.

• Faixa 3 (consumo elevado, mais de $40 \text{ m}^3$): os primeiros $40 \text{ m}^3$ de acordo com as faixas anteriores, e o excedente sobre $40 \text{ m}^3$ a $2,20$ reais por $\text{m}^3$.

Uma residência registrou um consumo bimestral de $35 \text{ m}^3$.

1. Sem calcular ainda a fatura exata, faça uma estimativa do custo: o valor total estará mais perto de $17$ reais, de $27$ reais ou de $45$ reais? Justifique como você descarta as outras duas opções com base nos preços das faixas.

2. Escreva a expressão analítica completa da função definida por partes $C(x)$ que calcula o custo da água para qualquer consumo $x$ no intervalo $[0, 40]$.

3. Calcule o valor exato para os $35 \text{ m}^3$ consumidos, verifique a validade da sua estimativa inicial e calcule o preço médio real que esta família paga por cada metro cúbico consumido.

Um município turístico vai implementar um estacionamento dissuasor público e vigiado, precisando fixar as tarifas por hora para evitar que os veículos fiquem abandonados durante vários dias. Estabeleceram-se os seguintes requisitos para a função de custo total $P(t)$ em reais em função do tempo de estacionamento $t$ em horas:

1. As duas primeiras horas ($0 \le t \le 2$) são gratuitas ($0$ reais) para promover o comércio local.

2. Entre as $2$ e as $6$ horas ($2 < t \le 6$), o custo cresce de forma linear à taxa de $1,80$ reais por cada hora adicional a partir da segunda.

3. A partir das $6$ horas e até o limite máximo diário de $24$ horas ($6 < t \le 24$), o preço por hora adicional aumenta para penalizar permanências longas. A função deve ser contínua (sem salto em $t = 6$), de modo que o custo comece no valor acumulado até esse momento e atinja um valor final de exatamente $61,20$ reais se o carro permanecer as $24$ horas completas.

Com estes dados:

1. a) Determine a expressão analítica da função definida por ramos $P(t)$, detalhando a fórmula e o intervalo de validade de cada um dos seus três ramos.
2. b) Se um usuário pagou um total de $16,20$ reais, descubra de forma fundamentada, por meio da equação do ramo correspondente, quantas horas exatas o seu veículo permaneceu no estacionamento.