Exercícios: Variância e desvio padrão

Calcule a variância e o desvio padrão do seguinte conjunto de dados, correspondentes às idades de um grupo de cinco amigos: $15, 16, 15, 17, 16$.

Em uma pesquisa sobre o número de animais de estimação por residência, foram obtidos os seguintes resultados: $0$ animais de estimação (4 residências), $1$ animal de estimação (5 residências), $2$ animais de estimação (1 residência). Calcule a variância desta distribuição.

Dois estudantes têm as seguintes notas na disciplina de matemática:

• Estudante A: $6, 7, 6, 8, 7$

• Estudante B: $4, 9, 5, 10, 6$

Sem necessidade de fazer cálculos complexos, qual dos dois estudantes apresenta maior desvio padrão? Confirme a resposta calculando o desvio padrão de ambos.

Em um estudo estatístico com $N = 40$ dados, sabe-se que a média aritmética é $\bar{x} = 5,2$ e que a soma dos quadrados de todos os dados é $\sum x_i^2 = 1250$. Utilizando a fórmula abreviada, calcule a variância e o desvio padrão.

O desvio padrão das alturas de um grupo de árvores de um viveiro é de $12\text{ cm}$. Sabendo que, dentro de um ano, todas as árvores terão crescido exatamente $15\text{ cm}$, qual será o novo desvio padrão de suas alturas? Justifique sua resposta utilizando as propriedades das medidas de dispersão.

Em uma empresa de tecnologia, a variância dos salários mensais de seus funcionários é de $\text{R\$}\ 40\,000^2$. Se a direção decidir aumentar todos os salários em $5\%$ (ou seja, multiplicá-los por $1,05$), qual será a nova variância dos salários?

Em uma turma do 10º ano, a nota média em uma prova de história foi de $6,5$ pontos e o coeficiente de variação é de $20\%$. A partir destes dados, calcule a variância das notas da turma.

Um conjunto de dados de um experimento de informática é formado exclusivamente por $20$ zeros e $30$ uns. Calcule a média e a variância deste conjunto de dados.

O Lucas quer calcular a variância das temperaturas máximas registradas durante quatro dias na sua cidade: $18\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $20\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $22\text{ }^\circ\mathrm{C}$ e $24\text{ }^\circ\mathrm{C}$. Primeiro calcula a média, que é $\bar{x} = 21\text{ }^\circ\mathrm{C}$. Em seguida, para medir a dispersão, calcula as distâncias de cada dado à média e faz diretamente a média delas:

O Lucas conclui: «Como o resultado é $0$, a variância é $0\text{ }^\circ\mathrm{C}^2$ e significa que não há qualquer dispersão; todos os dias fez a mesma temperatura».

1. a) Explique que erro conceitual o Lucas cometeu e por que razão a soma dos desvios em relação à média dará sempre zero em qualquer conjunto de dados.
2. b) Corrija o procedimento dele calculando a variância ($\sigma^2$) e o desvio padrão ($\sigma$) corretos para estes quatro dias, indicando claramente as suas unidades.

Uma empresa municipal de transportes públicos analisa os tempos de espera (em minutos) dos passageiros em duas linhas de ônibus urbano durante cinco viagens:

• Linha A: $8, 9, 10, 11, 12$ minutos.

• Linha B: $2, 6, 10, 14, 18$ minutos.

Ambas as linhas têm um tempo médio de espera de $\bar{x} = 10$ minutos.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico de dispersão, observe os dois conjuntos de dados e estime de forma fundamentada qual das duas linhas terá um desvio padrão maior. É possível que o desvio padrão da Linha A seja superior a $2$ minutos? Justifique sua resposta levando em conta o que o desvio padrão mede.
2. b) Verifique sua estimativa calculando a variância e o desvio padrão exatos de cada linha.
3. c) A partir dos resultados, explique aos usuários qual linha oferece um serviço mais regular e previsível.

A seguinte tabela mostra o tempo, em minutos, que os funcionários de uma fábrica levam para chegar ao seu posto de trabalho:

• $[0, 10)$: $12$ funcionários

• $[10, 20)$: $18$ funcionários

• $[20, 30)$: $14$ funcionários

• $[30, 40)$: $6$ funcionários

Calcule a variância e o desvio padrão do tempo de trajeto utilizando as marcas de classe.

Uma máquina embaladora de café deve encher pacotes com um peso meta de $250\text{ g}$. Em um controle de qualidade foi pesada uma amostra de $50$ pacotes, obtendo-se uma média de $252\text{ g}$ e uma soma dos quadrados dos pesos de $\sum x_i^2 = 3\,175\,450$. Calcule o coeficiente de variação e determine se o processo é aceitável, sabendo que o padrão de qualidade exige que $CV < 1,5\%$.

As pontuações de quatro participantes em um concurso de talentos são $12, 15, x$ e $y$. Sabe-se que a média aritmética das quatro pontuações é $14$ e que $x = y$. Encontre o valor das pontuações desconhecidas e calcule o desvio padrão do conjunto.

Em um time de basquete, a altura média dos jogadores é de $1,95\text{ m}$ com um desvio padrão de $0,08\text{ m}$. Por outro lado, em um time de ginástica rítmica, a altura média é de $1,65\text{ m}$ com um desvio padrão de $0,07\text{ m}$. Qual time apresenta uma altura mais dispersa em termos relativos? Justifique sua resposta numericamente.

Uma escola de idiomas tem dois grupos de nível B2. O grupo da manhã tem $20$ alunos com uma nota média de $7$ e uma variância de $1,5$. O grupo da tarde tem $30$ alunos com a mesma nota média de $7$, mas com uma variância de $2,5$. Calcule a variância global dos $50$ alunos de nível B2 combinados.

O seguinte gráfico de barras representa o número de livros lidos durante o verão por um grupo de estudantes.

A partir do gráfico, extraia as frequências correspondentes a cada valor e calcule o desvio padrão do número de livros lidos.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizado um experimento biológico medindo o comprimento de algumas folhas, obtendo-se uma variável $X$ com média $\bar{x} = 12\text{ cm}$ e desvio padrão $\sigma = 4\text{ cm}$. Para facilitar os cálculos em um software, define-se uma nova variável "padronizada" $Z = \frac{X - 12}{4}$. Demonstre numericamente ou aplicando as propriedades da média e da variância quais são os valores da média e da variância da nova variável $Z$.

As rentabilidades mensais de uma carteira de investimentos durante o último semestre foram: $-2\%, 3\%, 1\%, -1\%, 4\%, 1\%$. Calcule a variância e o desvio padrão dessas rentabilidades expressas como porcentagem.

Para calcular a variância de um conjunto de dados, podem-se utilizar duas fórmulas algebricamente equivalentes:

• Método 1 (fórmula direta): $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$

• Método 2 (fórmula abreviada): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$

Apresentam-se duas situações de cálculo na sala de aula:

• Situação A: Você tem $5$ notas inteiras ($5, 6, 7, 8, 9$) cuja média é exatamente $\bar{x} = 7$.

• Situação B: Um programa estatístico processou as idades dos $40$ participantes de uma corrida de rua, cuja média é $\bar{x} = 34,6\text{ anos}$, e fornece diretamente os somatórios já calculados: $\sum x_i = 1384$ e $\sum x_i^2 = 49\,820$.

1. a) Analise as vantagens e as desvantagens de cada método e justifique qual é mais rápido e conveniente aplicar na Situação A e qual na Situação B (avalie aspectos como o acúmulo de casas decimais e o número de operações).
2. b) Aplique o método escolhido na Situação B para calcular a variância e o desvio padrão das idades da corrida (arredonde para duas casas decimais).

A partir dos registros históricos da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET), comparam-se as precipitações anuais acumuladas (em litros por metro quadrado, $\text{mm}$) durante uma década em duas capitais de província espanholas:

• Bilbao: precipitação média anual $\bar{x}_1 = 1130\text{ mm}$ com um desvio padrão $\sigma_1 = 180\text{ mm}$.

• Almería: precipitação média anual $\bar{x}_2 = 200\text{ mm}$ com um desvio padrão $\sigma_2 = 70\text{ mm}$.

1. a) Se uma pessoa olhar apenas para o valor absoluto do desvio padrão, em qual cidade afirmaria que o volume de chuva anual varia mais de um ano para o outro?
2. b) Explique por que comparar diretamente os desvios padrão neste caso não é adequado se quisermos avaliar a regularidade relativa do clima.
3. c) Calcule o Coeficiente de Variação ($CV$) de ambas as cidades e interprete o resultado: em qual das duas cidades as precipitações são proporcionalmente mais erráticas e imprevisíveis em relação ao seu clima habitual?

Em uma turma de $25$ alunos, a nota média em uma prova de física é de $6,2$ e o desvio padrão é de $1,4$. Ao revisar as provas, o professor percebe que a nota de um aluno, que era $2$, tinha sido anotada por erro, já que esse aluno não compareceu. Se essa nota incorreta for eliminada do conjunto de dados, qual será a nova média e o novo desvio padrão dos $24$ alunos restantes?

Dois grupos de estudantes são combinados para formar uma única turma para uma excursão. O Grupo 1 tem $15$ estudantes com uma altura média de $160\text{ cm}$ e uma variância de $25\text{ cm}^2$. O Grupo 2 tem $25$ estudantes com uma altura média de $168\text{ cm}$ e uma variância de $16\text{ cm}^2$. Calcule a variância da altura da turma completa formada pelos $40$ estudantes.

Na seguinte tabela de frequências agrupadas em intervalos faltam dois dados ($f_1$ e $f_2$):

• $[0, 20)$: $f_1$

• $[20, 40)$: $10$

• $[40, 60)$: $f_2$

• $[60, 80)$: $5$

Sabe-se que o número total de dados é $N = 40$ e que a média aritmética é $\bar{x} = 37,5$. Calcule os valores das frequências $f_1$ e $f_2$ e, posteriormente, determine a variância da distribuição completa.

Demonstre que a variância dos $n$ primeiros números naturais $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ é dada pela fórmula $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$. Aplique essa fórmula para calcular rapidamente o desvio padrão dos números inteiros de $1$ a $25$.

(Observação: é possível utilizar as somas conhecidas $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ e $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$).

Têm-se dois conjuntos de dados $A$ e $B$. O conjunto $A$ tem $N_A$ elementos, média $10$ e variância $4$. O conjunto $B$ tem $N_B$ elementos, média $10$ e variância $9$. Se, ao reunir ambos os conjuntos em um único grupo, a variância global for $7$, determine a razão exata entre o número de elementos de $A$ e de $B$ (ou seja, calcule o valor da fração $\frac{N_A}{N_B}$).

Encontre um conjunto formado por exatamente $4$ números inteiros positivos (que podem se repetir) que cumpram simultaneamente as seguintes três condições:

• Sua média aritmética é $5$.

• Sua mediana é $4,5$.

• Sua variância é $4,5$.

Um pesquisador mede o raio $r$ de uma amostra de $10$ esferas metálicas, obtendo uma média de $\bar{r} = 5\text{ cm}$ e uma variância de $\sigma_r^2 = 2\text{ cm}^2$. Ele precisa saber a área superficial média dessas esferas para calcular a quantidade de tinta necessária. Sabendo que a área de uma esfera é $A = 4\pi r^2$, e utilizando a definição de variância $\sigma_r^2 = \frac{\sum r_i^2}{N} - \bar{r}^2$, calcule a média aritmética das áreas superficiais das $10$ esferas.

Dada uma distribuição de dados $x_1, x_2, \dots, x_N$, define-se a função $E(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - k)^2$, que representa o erro quadrático médio em relação a um valor constante $k$. Desenvolva a expressão algébrica e demonstre que o valor de $k$ que torna essa função mínima é a média aritmética ($k = \bar{x}$), e que o valor mínimo alcançado pela função coincide exatamente com a variância $\sigma^2$.

Um orientador educativo regista o tempo semanal (em horas inteiras) dedicado ao estudo em casa por um grupo de $4$ alunos do 10.º ano de escolaridade (4.º do ESO). Extraviou as fichas individuais, mas no seu relatório final anotou com certeza três dados:

1. A média do grupo foi exatamente $\bar{x} = 6\text{ horas}$.

2. A amplitude ou intervalo de variação foi de $4\text{ horas}$ (a diferença entre o aluno que mais horas estudou e o que menos estudou foi de $4$).

3. O desvio-padrão foi exatamente $\sigma = \sqrt{2}\text{ horas}$ (portanto, a variância é $\sigma^2 = 2\text{ horas}^2$).

1. a) Deduz passo a passo quais foram as horas dedicadas por cada um dos quatro estudantes, sabendo que todas são números inteiros. (Pista: reflete sobre os valores possíveis dos desvios $x_i - \bar{x}$ e a soma dos seus quadrados).
2. b) Verifica formalmente que os quatro valores encontrados cumprem a média, a amplitude e o desvio-padrão pedidos.

Em uma empresa de distribuição no Brasil que conta com $30$ entregadores, o salário médio líquido mensal é de $\bar{x} = 1400\text{ \text{R\$}\ }$ e o desvio-padrão é de $\sigma = 160\text{ \text{R\$}\ }$. Tendo em vista o novo acordo coletivo de trabalho, estão sendo debatidas duas propostas de aumento salarial:

• Proposta A (aumento fixo linear): Aumentar $100\text{ \text{R\$}\ }$ por mês a todos e a cada um dos trabalhadores.

• Proposta B (aumento percentual): Aplicar um aumento de $5\,\%$ ao salário de cada trabalhador (o que equivale a multiplicar cada salário por $1,05$).

Sem necessidade de conhecer os $30$ salários individuais:

1. a) Calcule a nova média, a nova variância e o novo desvio-padrão dos trabalhadores sob a Proposta A e sob a Proposta B, justificando os seus resultados por meio das propriedades da translação e da mudança de escala da dispersão.
2. b) Calcule o Coeficiente de Variação ($CV$) na situação inicial e em cada uma das duas propostas.
3. c) Um representante sindical afirma: «O aumento fixo é mais justo porque não aumenta a diferença salarial absoluta, enquanto a porcentagem faz com que os salários fiquem mais afastados». Justifique matematicamente essa afirmação analisando como variam o desvio-padrão absoluto e a dispersão relativa em ambas as opções.