Exercícios: Diagramas de caixa

As notas de um grupo de $9$ estudantes em uma prova de matemática são: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Determine o valor mínimo, o primeiro quartil ($Q_1$), a mediana ($Me$), o terceiro quartil ($Q_3$) e o valor máximo para construir um diagrama de caixa.

O seguinte diagrama de caixa representa as idades dos visitantes de um museu durante uma manhã.

A partir do gráfico, indique qual é a idade mínima, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e a idade máxima dos visitantes.

O resumo de cinco números dos pesos (em kg) dos cães atendidos em uma clínica veterinária é: Mínimo = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Máximo = $35$.

Calcule a amplitude da distribuição e a amplitude interquartil (AIQ).

Em um diagrama de caixa que representa o tempo (em minutos) que os alunos levam para chegar à escola, o primeiro quartil é $15$ e o terceiro quartil é $30$.

Qual porcentagem exata dos alunos leva entre $15$ e $30$ minutos para chegar à escola?

Um diagrama de caixa mostra que a distância entre o primeiro quartil e a mediana é de $2$ unidades, enquanto a distância entre a mediana e o terceiro quartil é de $10$ unidades.

O que essa diferença indica sobre a distribuição e a concentração dos dados na parte central?

Os preços (em reais) de $11$ livros em uma estante são: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Calcule os cinco valores necessários para traçar o seu diagrama de caixa.

Indique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justifique brevemente sua resposta:

"Em qualquer diagrama de caixa, a média aritmética sempre coincide exatamente com a linha vertical interior que divide a caixa."

Em um diagrama de caixa, o bigode esquerdo (do mínimo ao $Q_1$) é muito curto, enquanto o bigode direito (do $Q_3$ ao máximo) é extremamente longo.

O que isso significa em relação à dispersão dos dados nos extremos da distribuição?

O Marcos está analisando o tempo de espera (em minutos) em um ponto de ônibus urbano e, depois de ordenar os dados coletados, obteve o seguinte resumo de cinco números: Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 11$ e Máximo = $22$.

Ao redigir suas conclusões, o Marcos afirma: «Como a amplitude interquartil é $AIQ = 11 - 5 = 6$, qualquer tempo superior a $Q_3 + AIQ = 11 + 6 = 17$ minutos é um valor atípico. Portanto, o tempo de $22$ minutos é atípico porque supera os $17$ minutos».

1. a) Identifique e explique com suas palavras o erro conceitual cometido pelo Marcos na fórmula para determinar a fronteira dos valores atípicos.
2. b) Aplique o critério correto do diagrama de caixa (boxplot) para calcular o limite a partir do qual um dado é considerado atípico e justifique se o valor de $22$ minutos continua sendo atípico ou se o Marcos acertou por acaso em sua conclusão.

Numa estação da AEMET de uma capital de província espanhola, foram registradas as temperaturas máximas diárias (em $^{\circ}\text{C}$) durante uma semana de primavera. Os valores ordenados são: $14$, $16$, $17$, $19$, $21$, $24$ e $29$.

1. a) Antes de calcular qualquer coisa, faça uma estimativa observando os dados: qual porcentagem dos dias da semana ficará abrangida dentro da caixa central do diagrama? Observando as distâncias entre números consecutivos, estime se a caixa será simétrica em relação à mediana ($19$) ou se estará mais alongada para a direita ou para a esquerda. Justifique a sua intuição.
2. b) Seguindo o método das notas de aula para $N = 7$ (onde $Q_1$ e $Q_3$ são as medianas das metades inferior e superior, sem contar a mediana global), calcule o valor exato de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e a amplitude interquartil ($AIQ$).
3. c) Compare os resultados calculados com a sua estimativa prévia e verifique se a sua dedução sobre a forma e a assimetria da caixa estava correta.

O gráfico a seguir mostra os diagramas de caixa da duração da bateria (em horas) de duas marcas de telefones celulares, Alpha e Beta.

1. a) Qual marca tem uma mediana maior na duração de sua bateria?
2. b) Qual das duas marcas apresenta maior variabilidade no $50\%$ central de seus dados (maior amplitude interquartil)?

Uma equipe de basquete marcou os seguintes pontos em suas últimas $15$ partidas:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Encontre o resumo de cinco números e calcule a amplitude interquartil.

Um diagrama de caixa resume as alturas de $120$ atletas. Se o terceiro quartil ($Q_3$) é $185$ cm e o valor máximo é $205$ cm, quantos atletas, aproximadamente, têm altura superior a $185$ cm? Considere que não há valores repetidos que coincidam exatamente com os quartis.

Em um estudo sobre o número de batimentos cardíacos por minuto de um grupo de atletas em repouso, obteve-se o seguinte resumo: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Um dos atletas registrou $75$ batimentos por minuto. Utilizando o critério matemático da amplitude interquartil (um valor é atípico se for maior que $Q_3 + 1,5 \cdot RIC$), determine se esse valor deve ser representado como um valor atípico no diagrama de caixa.

A seguinte tabela de frequências mostra o número de irmãos dos alunos de uma turma:

• $0$ irmãos: $6$ alunos

• $1$ irmão: $10$ alunos

• $2$ irmãos: $8$ alunos

• $3$ irmãos: $4$ alunos

• $4$ irmãos: $2$ alunos

Determine o mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e o máximo para poder construir o diagrama de caixa correspondente.

Um diagrama de caixa tem uma caixa muito estreita deslocada para o extremo esquerdo, com um bigode direito muito longo. Se você tivesse que representar esses mesmos dados em um histograma, que forma a distribuição teria? (Simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda). Explique brevemente o porquê.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma empresa de engenharia, os $25\%$ dos funcionários que mais ganham têm um salário mensal superior a $3500$ reais. Além disso, o menor salário da empresa é de $1200$ reais e $50\%$ dos funcionários ganham menos de $2100$ reais.

Identifique a quais parâmetros específicos do diagrama de caixa (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo) correspondem os valores $3500$ reais, $1200$ reais e $2100$ reais.

Foi construído um diagrama de caixa com as temperaturas máximas de uma cidade em julho, obtendo-se $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ e $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Se devido a uma onda de calor, no ano seguinte todas as temperaturas máximas registradas aumentarem exatamente $3^\circ \text{C}$, quais serão os novos valores de $Q_1$, $Me$ e $Q_3$? O valor da amplitude interquartil mudará?

O serviço de atendimento ao cliente da Cercanías Renfe analisa os minutos de atraso em $25$ viagens de duas linhas distintas ($L_1$ e $L_2$) para avaliar a sua regularidade. Os resumos estatísticos obtidos são:

• Linha $L_1$: Mínimo = $1$ min, $Q_1 = 2$ min, Mediana = $3$ min, $Q_3 = 4$ min, Máximo = $20$ min (um único trem sofreu uma avaria na rede aérea).

• Linha $L_2$: Mínimo = $0$ min, $Q_1 = 3$ min, Mediana = $6$ min, $Q_3 = 8$ min, Máximo = $10$ min (sem avarias graves, mas com atrasos frequentes).

1. a) Que medida de dispersão, a amplitude total ou a amplitude interquartil ($AIQ$), é mais adequada para comparar a pontualidade habitual de ambas as linhas? Justifique a sua escolha explicando como a avaria isolada de $20$ minutos da linha $L_1$ afeta cada indicador.
2. b) Um relatório propõe anunciar que «a linha $L_2$ é mais confiável porque a sua amplitude total é de apenas $10$ minutos contra os $19$ da linha $L_1$». Com base no diagrama de caixa (analisando a mediana e a dispersão dos $50\,\%$ centrais das viagens), conteste essa afirmação e fundamente qual linha você recomendaria a uma pessoa que precisa chegar pontualmente ao trabalho de forma habitual.

Uma tutora de Formação Profissional Dual resume num diagrama de caixa as horas semanais de estágio em empresa que os $7$ alunos da sua turma realizam. Ela perdeu a lista original, mas conserva os seguintes dados exatos do diagrama:

• Valor mínimo = $10$ horas

• Primeiro quartil ($Q_1$) = $14$ horas

• Mediana ($Me$) = $18$ horas

• Terceiro quartil ($Q_3$) = $22$ horas

• Amplitude total = $15$ horas

1. a) Deduza o valor do dado máximo e calcule a amplitude interquartil ($AIQ$) da distribuição.
2. b) Reconstrua uma lista ordenada de $7$ números inteiros que cumpra exatamente este resumo de cinco números, explicando como você posiciona cada valor de acordo com a definição de mediana e quartis para $N = 7$.
3. c) A sua lista é a única combinação possível de dados que produz esse mesmo diagrama de caixa? Demonstre a sua resposta indicando que dado concreto você poderia modificar, entre que valores inteiros ele poderia variar e por que razão isso não afetaria nenhum dos cinco números do diagrama.

Uma distribuição de dados é perfeitamente simétrica. Sabe-se que sua amplitude é de $40$ unidades, sua amplitude interquartil (AIQ) é de $16$ unidades e o valor mínimo é $10$.

Calcule os valores exatos de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e o valor máximo.

Dado o seguinte conjunto de dados ordenados sobre o tempo de reação (em milissegundos) de um experimento: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Encontre o valor mínimo que a incógnita $x$ deve ter para ser considerada um valor atípico superior no diagrama de caixa. (Lembre-se de que para este cálculo $N=8$).

Crie um conjunto de dados formado por exatamente $6$ números inteiros positivos cujo diagrama de caixa tenha os seguintes parâmetros:

Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 12$, Máximo = $15$.

(Nota: Utilize as regras de interpolação padrão da mediana das metades inferior e superior para calcular os quartis).

O gráfico a seguir mostra os tempos de execução (em milissegundos) de três algoritmos de computadores diferentes processando a mesma quantidade de dados.

Se você precisa escolher um algoritmo para um sistema crítico em tempo real em que seja indispensável que o tempo de execução nunca ultrapasse $60$ ms, mas ao mesmo tempo quer que o desempenho geral (mediana) seja o mais rápido possível, qual algoritmo escolheria e por quê? Justifique a resposta descartando os outros dois.

Os salários (em milhares de reais) de $200$ trabalhadores estão agrupados nos seguintes intervalos:

• $[10, 20)$: $40$ trabalhadores

• $[20, 30)$: $80$ trabalhadores

• $[30, 40)$: $60$ trabalhadores

• $[40, 50)$: $20$ trabalhadores

Estime os valores de $Q_1$, $Me$ e $Q_3$ utilizando interpolação linear dentro dos intervalos para poder esboçar o seu diagrama de caixa (box plot).

Em um diagrama de caixa da renda de uma população, observa-se que a distância de $Q_1$ à mediana é de $500$ reais, enquanto da mediana a $Q_3$ é de $2500$ reais. Além disso, o bigode superior é muito mais longo que o inferior.

Que relação você espera que haja entre a média aritmética e a mediana (qual será maior)? Justifique sua resposta com base na assimetria mostrada pela caixa.

Um conjunto de dados tem o seguinte resumo de cinco números: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $50$.

Aplica-se a transformação linear $y = -2x + 100$ a todos os dados.

Calcule o novo resumo de cinco números para a variável $y$ e determine a sua nova amplitude interquartil. Tenha especial cuidado com a ordem dos quartis ao multiplicar por um número negativo.

Um diagrama de caixa resume o centro e a dispersão por meio de quartis, mas pode ocultar a forma real da distribuição.

Proponha dois conjuntos de dados distintos de $8$ elementos cada um: o primeiro deve ser uma distribuição uniforme (valores igualmente espaçados) e o segundo uma distribuição fortemente bimodal (valores concentrados nos extremos), de tal forma que AMBOS os conjuntos tenham exatamente o mesmo Mínimo, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ e Máximo.

A partir de uma amostra de dados verossímeis da Pesquisa de Estrutura Salarial do INE sobre jovens com menos de $25$ anos em Espanha, obteve-se o seguinte resumo de cinco números sobre o seu salário líquido mensal (em reais):

1. a) Calcule a amplitude interquartil ($AIQ$) e determine os limites numéricos exatos (fronteiras de atipicidade) para considerar um salário como valor atípico. Justifique matematicamente se o salário máximo de $\text{R\$}\ 2100$ é um valor atípico.
2. b) Se o segundo salário mais elevado de toda a amostra é de $\text{R\$}\ 1520$, descreva detalhadamente como se deve desenhar a extremidade superior do diagrama de caixa (box plot): até que ponto numérico chega o bigode direito e de que forma se representa o salário de $\text{R\$}\ 2100$?
3. c) Numa mesa-redonda, um porta-voz afirma: «Como o bigode direito é muito mais longo do que o esquerdo e a caixa é mais larga para cima ($Q_3 - Me = \text{R\$}\ 170$) do que para baixo ($Me - Q_1 = \text{R\$}\ 70$), a distribuição tem assimetria à direita, pelo que podemos garantir com total certeza matemática que a média salarial é superior à mediana ($\text{R\$}\ 1150$)». Com base no que você estudou sobre diagramas de caixa, avalie criticamente esta afirmação: por que razão a assimetria do gráfico é um indício, mas não uma garantia suficiente para assegurar a posição da média?

Uma equipe de pesquisa educacional estuda o tempo diário (em minutos) que $8$ estudantes do $4.^{\circ}$ ano do Ensino Médio dedicam às redes sociais. Pedem a você que modele uma lista de dados que satisfaça de forma exata estas quatro condições estatísticas:

1. A mediana deve ser exatamente $75$ minutos.

2. A amplitude interquartil deve ser $AIQ = 20$ minutos, com uma caixa perfeitamente simétrica em relação à mediana ($Me - Q_1 = Q_3 - Me$).

3. Não deve existir nenhum valor atípico inferior, mas deve haver exatamente um valor atípico superior.

4. O valor mínimo da amostra deve ser $40$ minutos.

1. a) Deduza os valores numéricos obrigatórios de $Q_1$ e $Q_3$, e calcule o limiar numérico exato a partir do qual um tempo passa a ser considerado atípico superior.
2. b) Construa uma lista ordenada de $8$ números inteiros que cumpra todas as condições, explicando como você calcula a mediana e os quartis para $N = 8$ (utilizando a média das posições centrais de cada metade).
3. c) Demonstre que com esse valor mínimo de $40$ minutos é impossível surgirem atípicos inferiores e fundamente que condição de limite o sétimo valor ($x_7$) deve cumprir para garantir que unicamente o oitavo dado ($x_8$) seja atípico.

Desafio do tema. As telas influenciam o nosso estilo de vida? Como analista de dados iniciante, você vai investigar a relação entre o uso do celular e o esporte no seu meio por meio de um breve relatório estatístico.

1. População e amostra: Defina a população de estudo e faça uma pesquisa com uma amostra de pelo menos 15 colegas ou familiares. Colete dois dados por pessoa: horas diárias de tela e se pratica esporte habitualmente (Sim/Não).

2. Tabela de contingência: Agrupe as horas em dois intervalos (por exemplo, $\le 3,5$ h e $> 3,5$ h) e elabore uma tabela de contingência de dupla entrada que relacione ambas as variáveis.

3. Parâmetros e diagrama de caixa (box plot): Insira os dados contínuos de horas em uma planilha ou no GeoGebra. Calcule a média, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão. Gere o diagrama de caixa identificando a amplitude interquartil e possíveis valores atípicos (outliers).

4. Proposta fundamentada: Redija um relatório breve interpretando a dispersão, a representatividade da amostra e se se observa associação entre ambas as variáveis.

Será valorizado:

• Identificação correta de população, amostra e elaboração precisa da tabela de contingência.

• Exatidão no cálculo digital das medidas de tendência central (média, mediana, moda) e de dispersão (variância, desvio padrão).

• Construção e interpretação adequada do diagrama de caixa.

• Rigor e senso crítico nas conclusões do relatório final.