Exercícios: Cálculos com porcentagens

Em um laboratório de química, preparam-se $250$ ml de soro fisiológico com uma concentração de sal de $0,9\%$. Quantos mililitros de sal puro essa solução contém?

Uma floresta perdeu $15\%$ de suas árvores devido a um incêndio florestal. Se as autoridades florestais contabilizaram que $360$ árvores foram queimadas, quantas árvores a floresta tinha antes do incêndio?

A bateria de um celular tem uma capacidade total de $4500$ mAh. Se após um dia de uso intenso o aplicativo de diagnóstico indica que restam $1260$ mAh, qual porcentagem de bateria permanece disponível no dispositivo?

Uma família paga $85$ reais mensais pelo seu pacote de internet e televisão. Se a empresa de telecomunicações comunica que no próximo mês aplicará um aumento de $4\%$ por atualização de tarifas, quanto pagará mensalmente a partir de agora?

Um tênis esportivo cujo preço de etiqueta é $120$ reais está com desconto de $35\%$ por fim de temporada. Calcule o preço final a ser pago por ele no caixa.

Após aplicar um aumento salarial de $6\%$ acordado no dissídio, o salário líquido de uma trabalhadora é de $1643$ reais mensais. Qual era o seu salário antes que fosse aplicado esse aumento?

Paguei $34$ reais por um videogame em formato digital que estava com desconto de $15\%$ durante uma promoção especial. Qual era o preço original do videogame antes do desconto?

Um capital de $4500$ reais é depositado em uma conta bancária que oferece $2,5\%$ de juros simples anuais. Determine a quanto chegarão os juros gerados ao final de $4$ anos.

O Sérgio recebeu uma fatura do conserto da sua bicicleta elétrica com um valor final de $242$ reais, com os $21\%$ de imposto já incluídos. Para saber quanto a oficina cobrou pelo trabalho antes dos impostos, o Sérgio faz o seguinte cálculo no caderno dele:

1. a) Explique com suas palavras por que o raciocínio do Sérgio está errado, indicando sobre qual quantia se deve calcular os $21\%$ de imposto e por que subtrair diretamente essa porcentagem não anula o aumento original.
2. b) Escreva o fator de variação correspondente ao aumento de $21\%$ e use-o para propor a operação correta que permite calcular o preço original sem imposto.
3. c) Verifique a validade do seu resultado calculando os $21\%$ de imposto sobre a quantia obtida e somando-o à mesma.

Em várias regiões da Espanha, o passe mensal de transporte público para jovens tinha uma tarifa fixada em $20$ reais por mês. Com o pacote estatal de medidas de economia de energia, o Ministério dos Transportes aprovou uma redução de $30\%$ e, em seguida, o governo regional aplicou um desconto adicional de $20\%$ sobre o preço já reduzido.

1. a) Determine o fator de variação de cada um dos dois descontos e calcule o fator de variação global resultante de encadear ambas as reduções.
2. b) Calcule o preço final que um estudante paga pelo seu passe mensal após a aplicação consecutiva de ambos os descontos.
3. c) Em um debate na aula, a Marta afirma: «Como baixaram $30\%$ e depois $20\%$, a redução total é de $50\%$, portanto o passe deveria custar exatamente $10$ reais». Utilize o fator de variação global para refutar matematicamente a afirmação da Marta e calcule a porcentagem real de desconto único equivalente.

Uma loja de eletrodomésticos aplica um desconto de $20\%$ a uma televisão de alta gama cujo preço inicial é de $650$ reais. Ao passar no caixa, apresenta-se o cartão de cliente VIP, o que concede um desconto adicional de $10\%$ sobre o preço já reduzido. Calcule o preço final a pagar pela televisão e determine qual é a porcentagem de desconto único equivalente a esses dois descontos sucessivos.

O valor de algumas ações na bolsa experimentou um aumento de $15\%$ durante o mês de janeiro e, posteriormente, sofreu uma queda de $12\%$ durante o mês de fevereiro devido à instabilidade do mercado. Qual foi a porcentagem de variação total no bimestre? As ações ganharam ou perderam valor em relação ao início do ano?

Se a medida do lado de um quadrado for aumentada em $25\%$, em qual porcentagem sua área total aumentará em relação à área original?

Depositam-se $8000$ reais em um fundo de investimento que oferece juros compostos de $3,2\%$ ao ano. Calcule o capital final acumulado após $5$ anos e os juros totais gerados, supondo que nenhuma quantia seja retirada durante esse tempo.

Ao pesar uma amostra química cuja massa real é de $45,60$ g, uma balança de laboratório descalibrada marca $45,85$ g. Calcule o erro absoluto da medição e o erro relativo, expressando este último em forma de porcentagem arredondada a duas casas decimais.

Em uma vinícola, misturam-se $40$ litros de um vinho com graduação alcoólica de $12\%$ com $60$ litros de outro vinho com graduação de $15\%$. Qual é a porcentagem de álcool da mistura resultante?

Um notebook de última geração custa $847$ reais com o imposto de $21\%$ já incluído. Se a loja anuncia que todos os seus produtos têm um desconto de $30\%$ sobre o preço original (antes de aplicar impostos), qual era o preço original do computador sem desconto e sem imposto?

Uma população de algas em um lago de pesquisa cresce a uma taxa de $8\%$ ao dia. Se atualmente a população estimada é de $50000$ indivíduos, quantos indivíduos haverá ao final de uma semana exata (sete dias)? Arredonde o resultado para o número inteiro mais próximo.

Segundo os relatórios do Ministério para a Transição Ecológica sobre a situação hídrica na Espanha, um reservatório com uma capacidade máxima de $500\text{ hm}^3$ estava, no final do verão, a $30\%$ da sua capacidade total. Durante uma tempestade de outono, o volume de água armazenada nesse reservatório registrou um aumento de $40\%$.

1. a) Antes de efetuar operações com decimais, faça uma estimativa fundamentada: um porta-voz afirma na imprensa que, ao somar $40\%$ aos $30\%$ que já tinha, o reservatório atingiu $70\%$ da sua capacidade total. Justifique mentalmente por que essa estimativa está incorreta e estime entre quais duas dezenas percentuais (por exemplo, entre $40\%$ e $50\%$) deve situar-se a ocupação real após as chuvas.
2. b) Utilizando o fator de variação correspondente ao aumento, calcule o volume exato de água armazenada (em $\text{hm}^3$) que o reservatório contém após a tempestade.
3. c) Calcule que porcentagem da capacidade máxima esse volume final representa e verifique se o resultado coincide com a sua estimativa do item a).

A secretaria de urbanismo de um município planeja reformar uma praça pública quadrada para duplicar exatamente a sua área ajardinada atual (ou seja, obter um aumento de área de $100\%$).

1. a) Sabendo que a área de um quadrado depende do quadrado do seu lado ($A = l^2$), formule a relação matemática que relaciona o índice de variação da área ($I_A$) com o índice de variação do lado ($I_l$).
2. b) Sabendo que duplicar a área implica que $I_A = 2$, formule a equação correspondente e determine o valor exato de $I_l$. Em que porcentagem deve aumentar o comprimento de cada lado da praça? (Arredonde a porcentagem às décimas).
3. c) Um membro da comissão municipal propôs inicialmente: «Para obter o dobro da área ajardinada, basta aumentar cada lado em $50\%$». Verifique que porcentagem de aumento de área se obteria na realidade com essa proposta e explique por que razão a área não duplica.

Determine quantos anos completos devem transcorrer para que um capital de $12000$ reais depositado em uma conta que oferece $4,5\%$ de juros compostos anuais atinja ou supere o valor de $18000$ reais.

No projeto de uma nova embalagem cilíndrica para um refrigerante, o departamento de embalagem decide aumentar o raio da base em $20\%$ e diminuir a altura em $15\%$ em relação às dimensões da embalagem original. Qual é a porcentagem exata de variação do volume da nova embalagem em relação à antiga? Especifique se se trata de um aumento ou de uma diminuição.

O preço dos imóveis em uma determinada cidade caiu $6\%$ há três anos, subiu $5\%$ há dois anos e voltou a subir $3\%$ durante o último ano. Se atualmente um apartamento tem um valor de mercado de $185000$ reais, qual era o seu preço há três anos, antes de sofrer todas essas variações percentuais? Arredonde para o centavo mais próximo.

Um perfumista dispõe de duas essências em seu laboratório: uma com concentração aromática de $15\%$ e outra com concentração de $40\%$. Quantos mililitros de cada essência ele deve misturar para obter exatamente $200$ ml de um perfume com concentração aromática final de $25\%$?

Uma instituição financeira oferece um depósito a prazo fixo com uma taxa de juros nominal anual (TIN) de $6\%$, mas estipula que a liquidação de juros será realizada mensalmente (os juros gerados são incorporados ao capital a cada mês). Calcule a Taxa Anual Equivalente (TAE) desse depósito, expressa em porcentagem e arredondada para duas casas decimais.

Demonstre algebricamente que, se ao preço de um produto $C$ for aplicado um aumento de $p\%$ (sendo $p > 0$) e, posteriormente, ao novo preço obtido for aplicado um desconto do mesmo $p\%$, o preço final será sempre estritamente menor que o preço inicial $C$.

Uma van de entregas perde a cada ano $14\%$ do seu valor em relação ao ano anterior devido à depreciação comercial. Se ao final de $6$ anos de uso o seu valor residual é estimado em $12500$ reais, calcule qual foi o seu preço de compra original e qual porcentagem total do seu valor inicial ela perdeu ao longo desses $6$ anos.

Um investidor adquire um lote de ações por um valor de $25000$ reais. Após manter o investimento durante $8$ anos, sem aportar nem retirar capital adicional, vende as ações por $38500$ reais. Qual foi a taxa de rentabilidade anual média (taxa de juros compostos anual) obtida por seu investimento? Expresse o resultado em porcentagem com duas casas decimais.

Um designer gráfico que trabalha como autônomo na Espanha vai adquirir equipamento de informática orçado em $1500$ reais (base tributável, sem impostos). A loja oferece a ele um desconto profissional de $12\%$, e sobre a compra deve ser aplicada obrigatoriamente a alíquota de $21\%$ de IVA. No momento de emitir a nota fiscal, consideram-se três métodos de cálculo:

• Método 1: Aplicar o desconto de $12\%$ aos $1500$ reais e, ao valor obtido, adicionar os $21\%$ de IVA.

• Método 2: Aplicar os $21\%$ de IVA aos $1500$ reais e, sobre o valor resultante com impostos, aplicar o desconto de $12\%$.

• Método 3: Subtrair as porcentagens diretamente ($21\% - 12\% = 9\%$) e aplicar um único aumento de $9\%$ sobre os $1500$ reais.

1. a) Modele os Métodos 1 e 2 utilizando os fatores de variação correspondentes. Justifique, aplicando as propriedades da multiplicação, se algum dos dois métodos beneficia mais o comprador ou se ambos são economicamente equivalentes.
2. b) Analise algebricamente o Método 3 calculando o seu fator de variação e comparando-o com o fator global obtido nos métodos anteriores. Explique o erro conceitual de subtrair as porcentagens e calcule a diferença em reais em relação ao preço correto.
3. c) Se o autônomo tiver de programar uma planilha para faturar aos seus próprios clientes com qualquer desconto $d\,\%$ e os $21\%$ de IVA, escreva a expressão simplificada do fator de variação único que ele deve multiplicar pela base tributável.

Segundo dados publicados pelo Instituto Nacional de Estatística (INE), a inflação acumulada anual (IPC) na Espanha durante um triênio registrou as seguintes variações consecutivas: $+6,5\%$ no primeiro ano, $+5,7\%$ no segundo ano e $+3,1\%$ no terceiro ano. Durante esse mesmo período de três anos, o acordo coletivo de trabalho de uma trabalhadora estipulou um aumento salarial fixo de $2,5\%$ a cada ano.

1. a) Calcule o índice de variação composto do custo de vida (IPC) após os três anos e determine a porcentagem de aumento total acumulado dos preços (arredonde às centésimas de porcentagem).
2. b) Calcule o índice de variação acumulado do salário da trabalhadora no final dos três anos e determine o seu aumento salarial percentual total.
3. c) O poder de compra quantifica a capacidade de compra real em função dos rendimentos e dos preços. O seu índice de variação é calculado por meio do quociente entre o índice salarial e o índice do IPC: $I_{\text{adquisitivo}} = \frac{I_{\text{salario}}}{I_{\text{IPC}}}$. Calcule esse índice, determine a variação percentual do poder de compra da trabalhadora no final do triênio e interprete qual repercussão real isso tem sobre a sua economia familiar.
4. d) Se o salário líquido mensal inicial desta trabalhadora era de $1600$ reais, quanto ela ganha no final do terceiro ano e que salário deveria receber para manter exatamente o mesmo poder de compra que tinha no início?