Exercícios: Equações lineares com duas incógnitas

Verifique se os pares de valores $(1, 2)$, $(3, -1)$ e $(0, 4)$ são soluções da equação linear $3x + 2y = 7$.

Dada a equação linear com duas incógnitas $5x - 2y = 10$, isole a incógnita $y$ em função de $x$.

Encontre três soluções distintas para a equação linear $-2x + 4y = 8$.

Determine o valor que o coeficiente $c$ deve ter para que o par de valores $(-2, 5)$ seja solução da equação $4x - 3y = c$.

Traduza para a linguagem algébrica, por meio de uma equação linear com duas incógnitas, a seguinte afirmação: "O preço de três ingressos de cinema para adulto mais o preço de dois ingressos infantis soma um total de 34 reais".

Indique justificadamente quais das seguintes equações são equações lineares com duas incógnitas:

• a) $x^2 + y = 7$

• b) $3x - \frac{y}{4} = 1$

• c) $x \cdot y = 12$

• d) $-x + 6y = 0$

Dada a equação $7x + 3y = 21$, determine o valor de $y$ quando $x = 0$, e o valor de $x$ quando $y = 0$.

Escreva duas equações que sejam equivalentes a $6x - 9y = 15$, obtendo uma delas ao multiplicar todos os seus termos por um número inteiro e a outra ao dividi-los.

No transporte urbano de ônibus de uma cidade brasileira, a passagem simples custa $1,50$ reais e a viagem paga com cartão de múltiplas viagens custa $0,80$ reais. Um grupo de amigos gastou no total exatamente $12$ reais combinando ambos os meios de pagamento durante uma tarde.

1. a) Escreva a equação linear com duas incógnitas ($x$ = número de passagens simples, $y$ = número de viagens com cartão) que represente a despesa total.
2. b) Antes de fazer cálculos exatos, estime mentalmente se é possível que tenham adquirido $10$ passagens simples com esse orçamento e fundamente a sua resposta.
3. c) Verifique se o par de valores com $x = 4$ e $y = 7,5$ é solução numérica da equação e explique, fundamentando, por que não pode ser uma solução válida no contexto real deste problema.

O Mateo quer simplificar a equação linear com duas incógnitas $2x + 4y = 12$ para encontrar pares de soluções com mais facilidade. No caderno dele, faz o seguinte:

«Divido por $2$ para que os números sejam menores: $x + 2y = 12$.

Agora escolho o valor $y = 3$ e substituo: $x + 2 \cdot 3 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies x = 6$.

Portanto, o par $(6, 3)$ é uma solução da equação original».

1. a) Identifique o erro que o Mateo cometeu ao procurar uma equação equivalente e explique por que o procedimento dele viola a regra da balança.
2. b) Verifique, substituindo na equação original $2x + 4y = 12$, se o par $(6, 3)$ obtido pelo Mateo é realmente uma solução válida.
3. c) Escreva a equação simplificada correta e encontre um par $(x, y)$ que seja de fato uma solução real.

Na equação linear $4x - y = 18$, encontre a solução na qual ambas as incógnitas têm exatamente o mesmo valor (ou seja, $x = y$).

Uma prova é composta por perguntas de múltipla escolha que valem 2 pontos cada e problemas dissertativos que valem 5 pontos cada. Formule uma equação linear que relacione o número de perguntas de cada tipo para obter uma pontuação máxima de 30 pontos. Encontre uma solução em que o número de perguntas de múltipla escolha seja exatamente o quíntuplo do de problemas.

Encontre uma equação linear da forma $ax + by = c$ que tenha como soluções os pares de valores $(2, 3)$ e $(4, -1)$.

Observe a reta representada no plano cartesiano a seguir.

Determine a equação linear com duas incógnitas que corresponde a essa reta, expressando-a na forma $ax + by = c$ com coeficientes inteiros. A partir da equação obtida, encontre o valor de $y$ quando $x = 12$.

Uma empresa de aluguel de bicicletas cobra uma taxa fixa pelo seguro mais um valor por cada hora de uso. Se alugar uma bicicleta durante 3 horas custa 14 reais e durante 5 horas custa 22 reais, elabore uma equação linear que relacione o custo total ($y$) com as horas de uso ($x$). Qual é o valor da taxa fixa?

Dada a equação linear com coeficientes fracionários $\frac{x - 1}{2} + \frac{2y + 3}{5} = 1$, expresse-a em sua forma geral $ax + by = c$ eliminando os denominadores. Depois, encontre uma solução na qual $x$ seja um número inteiro negativo.

Calcule a área do triângulo formado pela representação gráfica da equação $8x + 5y = 40$ ao interceptar os eixos coordenados $X$ e $Y$.

Determine o valor dos coeficientes $a$ e $b$ da equação linear $ax + by = 12$ sabendo que a reta passa pelo ponto $(2, -1)$ e que, ao isolar a incógnita $y$, o coeficiente angular da reta resultante é $4$.

Uma reta desenhada em um plano cartesiano contém todas as soluções de uma equação linear com duas incógnitas da forma $ax + by = c$, onde os coeficientes $a$, $b$ e $c$ são números inteiros sem divisores comuns.

1. a) Determine os valores de $a$, $b$ e $c$ sabendo que a reta passa pelo ponto $(2, -1)$ e intersecta o eixo horizontal no ponto $(4, 0)$. Escreva a equação linear obtida.
2. b) A partir da sua equação, encontre uma solução $(x, y)$ diferente das duas anteriores na qual o valor de $y$ seja um número inteiro positivo.
3. c) Justifique quantas soluções esta equação tem no total e explique por que elas correspondem geometricamente aos pontos de uma reta.

Num município espanhol aplica-se um desconto na taxa de lixo para premiar a separação de resíduos. Segundo o programa municipal, cada quilograma de embalagens leves recicladas (lixeira amarela, $x$) gera uma economia de $0,30$ reais, e cada quilograma de papel e papelão (lixeira azul, $y$) representa uma economia de $0,20$ reais. Um condomínio de moradores fixou como objetivo alcançar uma economia total exata de $60$ reais em um mês.

1. a) Escreva a equação linear com duas incógnitas que descreve a relação entre os quilogramas reciclados de cada resíduo e a economia fixada.
2. b) Calcule os dois pontos de interseção com os eixos: quando não se recicla nada de papelão ($y = 0$) e quando não se recicla nada de embalagens ($x = 0$). Explique o significado de cada um desses dois casos no cotidiano do condomínio.
3. c) Um porta-voz dos moradores afirma que, entregando $100\text{ kg}$ de embalagens e $150\text{ kg}$ de papelão, conseguirão exatamente o desconto de $60$ reais. Justifique por meio de cálculos se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Na figura a seguir são mostradas três retas correspondentes a três equações lineares com duas incógnitas da forma $ax + by = c$.

Relacione cada reta (A, B e C) com uma das seguintes condições sobre seus coeficientes, justificando matematicamente sua resposta:

• Condição 1: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

• Condição 2: $a > 0$, $b < 0$, $c = 0$

• Condição 3: $a = 0$, $b > 0$, $c > 0$

Em uma loja de eletrônicos são vendidos pen drives a 14 reais e cartões SD a 9 reais. Uma escola gastou exatamente 195 reais nesses dispositivos. Escreva a equação linear correspondente e encontre TODAS as combinações possíveis de pen drives e cartões que eles puderam comprar, sabendo que adquiriram pelo menos um de cada tipo.

Demonstre fundamentadamente que a equação linear $15x + 21y = 43$ não pode ter nenhuma solução na qual $x$ e $y$ sejam ambos números inteiros. (Dica: observe a divisibilidade dos coeficientes).

Duas bombas de água enchem um reservatório. A primeira despeja $x$ litros por minuto e a segunda $y$ litros por minuto. Se abrirmos a primeira durante 12 minutos e a segunda durante 18 minutos, o reservatório recebe 420 litros. Se abrirmos ambas simultaneamente durante 15 minutos, o reservatório recebe 375 litros. Elabore uma equação linear para cada situação, simplifique-as e determine se representam equações equivalentes.

A relação entre a temperatura em graus Celsius ($C$) e graus Fahrenheit ($F$) é dada por uma equação linear com duas incógnitas. Sabendo que a água congela a $0^\circ \text{C}$ (que equivale a $32^\circ \text{F}$) e ferve a $100^\circ \text{C}$ (que equivale a $212^\circ \text{F}$), encontre a equação geral que as relaciona. Existe alguma temperatura na qual ambas as escalas marquem exatamente o mesmo valor numérico? Se sim, calcule-a.

Dada a equação linear paramétrica $(k-1)x + (k+2)y = 3k$, encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta correspondente seja paralela ao eixo das ordenadas ($Y$). Para esse valor de $k$, qual é a equação resultante e que particularidade têm todas as suas soluções?

Um agricultor quer envasar exatamente 173 litros de azeite de oliva utilizando garrafões de 5 litros e garrafas de 3 litros. Expresse essa situação por meio de uma equação linear com duas incógnitas. Se ele quer utilizar o menor número total de recipientes possível sem que sobre nem falte azeite, quantos recipientes de cada tipo deverá usar?

Considere a equação linear $ax + by = c$ com coeficientes inteiros. Se sabemos que o ponto $(p, q)$ é uma solução inteira da equação (ou seja, $a \cdot p + b \cdot q = c$), demonstre algebricamente que qualquer ponto da forma $(p + n \cdot b, q - n \cdot a)$, onde $n$ é um número inteiro qualquer, também é uma solução da equação.

Para representar numa quadrícula a equação linear $3x - 5y = 30$ e encontrar soluções com números inteiros, duas alunas propõem isolar uma incógnita diferente:

• Método da Ana: isolar $x$ em função de $y$, obtendo $x = \frac{30 + 5y}{3}$.

• Método da Beatriz: isolar $y$ em função de $x$, obtendo $y = \frac{3x - 30}{5}$.

1. a) Analise os denominadores de ambas as expressões e justifique qual dos dois métodos se revela mais simples e rápido para gerar valores inteiros sem que surjam dízimas, apoiando-se nos critérios de divisibilidade do 3 e do 5.
2. b) Utilizando o método que você selecionou como mais eficiente, calcule três pares de soluções com números inteiros (positivos, negativos ou zero) que não sejam os pontos de interseção com os eixos.
3. c) A partir da expressão do método da Beatriz, fundamente matematicamente por que razão cada vez que a variável $x$ aumenta $5$ unidades, a variável $y$ deve aumentar obrigatoriamente $3$ unidades para que a igualdade se mantenha.

Segundo dados do Ministério do Meio Ambiente sobre emissões no transporte urbano, um veículo de passeio a gasolina emite em média $0,12\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ por quilômetro percorrido, enquanto uma van de entrega a diesel emite $0,18\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ por quilômetro. Uma empresa local de entregas quer fixar um limite diário conjunto de exatamente $36\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ entre os quilômetros percorridos pelo seu veículo de passeio ($x$) e os da sua van ($y$).

1. a) Escreva a equação linear com duas incógnitas que traduz esta situação ambiental.
2. b) Transforme a equação anterior em uma equação equivalente com coeficientes inteiros o menores possível. Explique por que as duas equações têm exatamente os mesmos pares de soluções.
3. c) Se durante uma jornada o veículo de passeio tiver percorrido $150\text{ km}$, use a equação equivalente para calcular quantos quilômetros a van pode percorrer para cumprir à risca a cota de emissões fixada.
4. d) A empresa avalia uma jornada de trabalho na qual a van percorre sempre o dobro da distância do veículo de passeio ($y = 2x$). Calcule quantos quilômetros cada veículo deverá percorrer para esgotar a cota fixada e justifique se essas distâncias são razoáveis e viáveis para um dia de entregas urbanas de 8 horas.