Exercícios: Raízes

Calcule mentalmente o valor das seguintes raízes exatas. Lembre-se de prestar atenção ao índice da raiz para saber qual número multiplicado por si mesmo (duas, três ou mais vezes) dá como resultado o radicando.

1. a) $\sqrt{49}$
2. b) $\sqrt[3]{-8}$
3. c) $\sqrt[4]{16}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt[3]{1000}$
6. f) $\sqrt[5]{-1}$

As potências e as raízes são operações inversas, assim como a adição e a subtração. Expresse as seguintes igualdades em forma de raiz, seguindo o exemplo:

Exemplo: Como $5^2 = 25$, então $\sqrt{25} = 5$

1. a) $9^2 = 81$
2. b) $6^3 = 216$
3. c) $(-4)^3 = -64$
4. d) $10^4 = 10000$
5. e) $2^5 = 32$

Queremos colocar um piso de cortiça em um ginásio em um cômodo perfeitamente quadrado. Sabemos que a superfície total (a área) do cômodo é de $144 \text{ m}^2$.

Calcule quanto mede cada lado do cômodo. Apoie-se no seguinte desenho para visualizá-lo.

Qualquer raiz pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário. A regra geral é $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Converta as seguintes expressões:

1. De raiz para potência:

a) $\sqrt{5}$

b) $\sqrt[3]{2}$

c) $\sqrt[5]{x^3}$

1. De potência para raiz:

d) $3^{\frac{1}{2}}$

e) $7^{\frac{2}{3}}$

f) $a^{\frac{1}{4}}$

Nem todas as raízes dão um número inteiro exato. Sem usar calculadora, indique entre quais dois números inteiros consecutivos estão as seguintes raízes.

Exemplo: $\sqrt{10}$ está entre 3 e 4, porque $3^2=9$ e $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{90}$
4. d) $\sqrt[3]{9}$ (Pense em cubos: $1^3=1, 2^3=8, 3^3=27...$)

Em matemática é muito importante não confundir as propriedades das operações. Verifique se a raiz de uma soma é igual à soma das raízes com o seguinte exemplo.

Calcule separadamente:

1. $\sqrt{64 + 36}$ (Primeiro some os números de dentro e depois calcule a raiz).

2. $\sqrt{64} + \sqrt{36}$ (Calcule cada raiz separadamente e depois some os resultados).

Dão o mesmo resultado? Conclua se é verdade que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

O Marcos precisa calcular o valor numérico da expressão $\sqrt{64 + 36}$ em um exercício da aula. No caderno dele, escreveu os seguintes passos:

$$\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$$

1. a) Explique detalhadamente qual é o erro que o Marcos cometeu e qual propriedade dos radicais ele aplicou de forma incorreta.
2. b) Corrija o exercício calculando o resultado correto passo a passo.
3. c) Invente outro exemplo numérico utilizando dois quadrados perfeitos distintos para demonstrar novamente que $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Uma arquiteta paisagista em Salvador está projetando uma pequena praça comunitária de planta quadrada que terá uma superfície exata de $50\text{ m}^2$.

1. a) Sem usar a calculadora, estime entre quais números inteiros consecutivos de metros deve estar o comprimento do lado da praça. Justifique sua resposta indicando os dois quadrados perfeitos mais próximos de 50.
2. b) Depois de fazer um primeiro esboço, a arquiteta propõe que cada lado meça provisoriamente $7{,}1\text{ m}$. Verifique manualmente se essa estimativa fica por falta (é menor do que o valor real) ou por excesso (supera o valor real), calculando o valor exato de $7{,}1^2$.
3. c) Considerando o resultado, você acha que $7{,}1\text{ m}$ é uma aproximação razoável para demarcar a obra na prática? Justifique sua resposta.

Calcule o valor numérico das seguintes raízes exatas. Se a raiz tiver duas soluções possíveis, indique-as. Se não tiver solução no conjunto dos números reais, explique o porquê:

1. a) $\sqrt[3]{-64}$
2. b) $\sqrt[4]{81}$
3. c) $\sqrt[6]{-1}$
4. d) $\sqrt{\frac{121}{144}}$

Às vezes é necessário introduzir fatores dentro de uma raiz para poder comparar números ou realizar certas operações. Introduza os fatores dentro do radical e simplifique o resultado:

1. a) $3 \cdot \sqrt{2}$
2. b) $2 \cdot \sqrt[3]{5}$
3. c) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{20}$

Observe a seguinte reta numérica onde foram marcados três pontos aproximados (A, B e C).

Sem usar calculadora, associe de forma fundamentada cada um dos seguintes radicais ao ponto (A, B ou C) que melhor represente seu valor, estimando entre quais números inteiros eles se encontram:

1. $\sqrt{5}$

2. $\sqrt[3]{2}$

3. $\sqrt{10}$

Simplifique os seguintes radicais até obter uma raiz irredutível. Para isso, lembre-se de que pode dividir o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número (MDC).

1. a) $\sqrt[6]{x^4}$
2. b) $\sqrt[12]{64}$ (Ajuda: primeiro fatore o 64)
3. c) $\sqrt[10]{a^5 \cdot b^{15}}$

Calcule mentalmente ou por meio da decomposição em fatores primos o valor exato das seguintes raízes quadradas. Se o resultado for uma fração ou um decimal, expresse-o corretamente.

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{400}$
3. c) $\sqrt{0,36}$
4. d) $\sqrt{\frac{64}{225}}$

Resolva as seguintes equações simples em que a incógnita está relacionada a uma raiz quadrada ou a um quadrado. Lembre-se de que a operação inversa da raiz é a potência.

1. a) $\sqrt{x} = 9$
2. b) $x^2 = 169$ (Indique as duas soluções possíveis)
3. c) $\sqrt{x + 1} = 5$

O Departamento de Trânsito (Detran) e a Polícia de Trânsito utilizam modelos matemáticos com radicais para estimar a velocidade de um veículo a partir das marcas de frenagem que ele deixa no asfalto seco. Em um determinado trecho urbano, a velocidade estimada $v$ (em quilômetros por hora) é dada pela expressão:

$$v = 14 \cdot \sqrt{d}$$

onde $d$ representa o comprimento da marca de frenagem medido em metros.

1. a) Em uma rua cujo limite é de $50\text{ km/h}$, um carro deixa uma marca de frenagem de $16\text{ m}$. Calcule a que velocidade ele circulava antes de acionar o freio e indique se ultrapassava o limite de velocidade permitido.
2. b) Em uma faixa de pedestres com limite de $80\text{ km/h}$, após um incidente mede-se uma marca de frenagem de $36\text{ m}$. Determine se o motorista cometeu uma infração por excesso de velocidade.
3. c) Se a distância de frenagem de um carro quadruplicar (passar de $d$ para $4d$), a sua velocidade inicial também quadruplica? Use as propriedades dos radicais para justificar matematicamente a sua resposta.

Resolva as seguintes situações de dedução sobre raízes e potências:

1. a) Escreva uma equação da forma $x^n = a$ (especificando os valores numéricos do expoente $n$ e do termo independente $a$, com $n \ge 2$) que tenha exatamente duas soluções inteiras opostas: $x = 5$ e $x = -5$. Justifique que condição o índice $n$ deve cumprir.
2. b) Encontre o valor do número inteiro $k$ para que se cumpra a igualdade $\sqrt[3]{k} = -4$. Em seguida, justifique se existiria algum número real $k$ que cumprisse a igualdade $\sqrt[4]{k} = -4$.
3. c) Sabendo que $a > 0$, escreva o número 8 sob a forma de potência de base 32 com expoente fracionário; ou seja, encontre a fração irredutível $\frac{m}{n}$ que cumpre $32^{\frac{m}{n}} = 8$. Explique como você obteve essa fração a partir da decomposição em fatores primos.

Analise a veracidade das seguintes afirmações matemáticas, justificando sua resposta com exemplos ou contraexemplos. Não basta dizer "verdadeiro" ou "falso", você deve explicar o porquê com base na definição de raiz $n$-ésima:

1. a) A raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções, enquanto a raiz cúbica de um número positivo tem apenas uma.
2. b) Não existe nenhum número real $x$ tal que $\sqrt[4]{x} = -2$.
3. c) A expressão $\sqrt[n]{a}$ existe para qualquer número real $a$, desde que $n$ seja um número ímpar.
4. d) Se elevarmos um número negativo a uma potência par e depois calcularmos a raiz de mesmo índice, obtemos o número original (exemplo: $\sqrt[4]{(-3)^4} = -3$).

Queremos guardar uma haste metálica muito longa dentro de uma caixa com formato de paralelepípedo (uma caixa de sapatos retangular). As dimensões da caixa são $30 \text{ cm}$ de comprimento, $40 \text{ cm}$ de largura e $120 \text{ cm}$ de altura.

Calcule o comprimento máximo exato que a haste pode ter para caber dentro da caixa sem dobrar (colocando-a na diagonal espacial). Expresse o resultado primeiro com uma raiz e depois calcule seu valor exato.

Temos dois reservatórios de água com formato esférico. Sabemos que o volume do reservatório grande é 27 vezes o volume do reservatório pequeno.

Se o raio do reservatório pequeno mede $r = 50 \text{ cm}$, quanto mede o raio do reservatório grande ($R$)?

Nota: Lembre-se de que o volume de uma esfera depende do cubo do raio ($V \propto r^3$). Não é necessária a fórmula exata do volume, raciocine utilizando a relação entre volumes e a raiz cúbica.

Sem usar a calculadora para encontrar o valor decimal, ordene os seguintes números do menor para o maior. Você deve transformar os números para poder compará-los (por exemplo, colocando fatores dentro da raiz ou elevando todos a uma potência comum para eliminar as raízes):

$$ A = \sqrt{10} \quad , \quad B = \sqrt[3]{30} \quad , \quad C = 3 $$

Explique passo a passo o método que você utilizou para compará-los.

Para representar números irracionais de forma exata na reta real, utilizamos o Teorema de Pitágoras. Sabemos que a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1 é $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Seguindo essa lógica:

Explique detalhadamente, passo a passo, como você representaria na reta numérica o número $\sqrt{29}$ utilizando uma régua e um compasso. Você deve indicar quais números inteiros utilizaria como medidas para os catetos do triângulo retângulo auxiliar. Apoie-se no seguinte esquema visual para seu raciocínio.

Estime sem usar calculadora o valor de $\sqrt{60}$ com uma casa decimal. Para isso:

1. Encontre os dois quadrados perfeitos mais próximos de 60.

2. Interpole linearmente ou utilize o método de "tentativa" fundamentada para aproximar o primeiro decimal.

3. Assim que tiver sua estimativa, calcule o erro absoluto cometido sabendo que o valor real aproximado é $7,74$.

Para calcular sem calculadora o valor da potência com expoente fracionário $64^{\frac{2}{3}}$, três estudantes do 3.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (ESO) propõem três caminhos diferentes:

• Método da Lucía: Escreve o radical elevando primeiro o radicando e calcula depois a raiz: $\sqrt[3]{64^2} = \sqrt[3]{4096}$, procurando mentalmente que número ao cubo dá $4096$.

• Método do Sergio: Aplica a propriedade $(\sqrt[3]{64})^2$, extraindo primeiro a raiz cúbica de 64 e elevando depois o resultado ao quadrado.

• Método da Alba: Decompõe a base em fatores primos ($64 = 2^6$) e aplica as propriedades das potências: $(2^6)^{\frac{2}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{2}{3}} = 2^4$.

1. a) Desenvolve numericamente cada um dos três métodos e verifica que os três conduzem exatamente ao mesmo resultado final.
2. b) Compara a dificuldade operatória de cada método quando não se dispõe de calculadora. Justifica qual deles é o mais vantajoso e qual desaconselharias totalmente.
3. c) Escolhe o método que consideraste mais eficiente na alínea anterior para calcular mentalmente o valor exato das seguintes duas expressões: $125^{\frac{4}{3}}$ e $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}}$. Mostra os passos seguidos.

Pretende-se ordenar de menor para maior os seguintes três números reais sem utilizar calculadora nem obter suas casas decimais com aproximações numéricas complexas:

$$A = \sqrt{5}, \quad B = \sqrt[3]{11}, \quad C = \sqrt[6]{120}$$

1. a) Faça uma primeira estimativa limitando cada um deles entre dois números inteiros consecutivos (por exemplo, procurando quais inteiros cumprem que seus quadrados, cubos ou potências sextas compreendem os respectivos radicandos). Explique por que esse procedimento não é suficiente para decidir a ordem exata entre eles.
2. b) Expresse os três números como radicais que tenham o mesmo índice comum (ou como potências com o mesmo expoente fracionário).
3. c) Utilizando a transformação anterior, ordene de forma estrita e justificada os números $A$, $B$ e $C$ de menor para maior.
4. d) Verifique a coerência da sua ordenação elevando os três números originais à sexta potência ($A^6$, $B^6$ e $C^6$) e comparando diretamente os resultados obtidos.