Exercícios: Frações. Frações equivalentes.

Em uma barra de chocolate como a da imagem, consumimos os pedaços que estão coloridos em laranja.

1. a) Escreva a fração que representa os pedaços consumidos em relação ao total da barra.
2. b) Simplifique a fração anterior até chegar à sua fração irredutível.

Um grupo de amigos está comparando o sucesso de suas publicações nas redes sociais. Júlia diz que $2$ de cada $5$ seguidores deram "curtida" em sua última foto.

1. a) Escreva a fração de "curtidas" de Júlia.
2. b) Obtenha uma fração equivalente por ampliação multiplicando ambos os termos por $3$.
3. c) Obtenha outra fração equivalente se Júlia tivesse um total de $50$ seguidores.

Em um videogame, você conseguiu $45$ moedas de um total de $60$ que havia no nível. Por outro lado, seu irmão conseguiu $15$ de um total de $20$ em sua partida.

Utilize a regra dos produtos cruzados para verificar se as duas frações de moedas conseguidas são equivalentes.

Observe os seguintes retângulos de mesmo tamanho. O primeiro está dividido em $4$ partes iguais e o segundo em $8$ partes iguais.

1. a) Escreva a fração sombreada da Figura A.
2. b) Escreva a fração sombreada da Figura B.
3. c) São equivalentes? Justifique sua resposta observando o desenho e realizando o cálculo.

Para preparar uma vitamina de frutas, a receita indica que devemos usar $\frac{3}{4}$ de litro de leite. Se queremos preparar uma quantidade maior mantendo a proporção e o novo recipiente graduado marca oitavos de litro ($8$ partes):

Encontre o valor de $x$ para que as frações sejam equivalentes:

Na biblioteca da escola, o responsável nos diz que $\frac{12}{30}$ dos livros são de aventura. Ajude-o a simplificar esta fração para colocá-la em um cartaz:

1. a) Divida o numerador e o denominador por $2$.
2. b) Divida o resultado anterior por $3$.
3. c) A fração obtida no item b é uma fração irredutível? Por quê?

Copie em seu caderno e complete o termo que falta em cada caso para que os pares de frações sejam equivalentes:

1. a) $\frac{1}{3} = \frac{\Box}{12}$

1. b) $\frac{10}{15} = \frac{2}{\Box}$

1. c) $\frac{\Box}{7} = \frac{20}{28}$

Identifique, na seguinte lista, quais das frações são equivalentes a $\frac{2}{3}$:

Em uma prova de Matemática, a Júlia precisa encontrar uma fração equivalente a $\frac{4}{9}$ cujo numerador seja $12$. A Júlia escreve na folha dela:

«Como para passar de $4$ a $12$ preciso somar $8$, faço o mesmo no denominador: $\frac{4}{9} = \frac{4+8}{9+8} = \frac{12}{17}$. Portanto, $\frac{12}{17}$ é equivalente a $\frac{4}{9}$».

1. a) Explique detalhadamente por que o procedimento da Júlia está incorreto, apoiando-se na definição de amplificação de frações e verificando o produto cruzado de ambas as frações.
2. b) Corrija o exercício dela calculando a verdadeira fração equivalente a $\frac{4}{9}$ com numerador $12$.

Observe as frações $\frac{12}{24}$ e $\frac{21}{40}$.

1. a) Estime: Sem fazer produtos cruzados nem simplificações por escrito, compare mentalmente cada uma delas com o valor de referência $\frac{1}{2}$ e deduza se podem ser equivalentes ou não. Explique com suas palavras o seu raciocínio inicial.
2. b) Verifique: Faça a verificação matemática rigorosa por meio da regra dos produtos cruzados para confirmar se a sua estimativa estava correta.

Dois designers gráficos estão trabalhando com quadriculados para criar um logotipo. O primeiro designer sombreou $\frac{12}{20}$ do seu quadriculado, enquanto o segundo sombreou $\frac{18}{30}$ do seu. Observe as seguintes representações gráficas e raciocine se ambos sombrearam a mesma proporção de superfície, verificando se as frações são equivalentes.

Em uma competição de e-sports, um jogador completou $42$ dos $60$ níveis de um videogame. Outro jogador completou a mesma proporção de níveis, mas o jogo que ele está jogando tem um total de $90$ níveis. Quantos níveis o segundo jogador superou? Resolva procurando o termo desconhecido $x$ na igualdade de frações equivalentes.

Simplifique as seguintes frações até obter a sua fração irredutível. Para isso, utilize o método de dividir o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum (MDC):

1. a) $\dfrac{126}{180}$

1. b) $\dfrac{210}{315}$

1. c) $\dfrac{154}{198}$

Um influencer analisa o impacto de seus vídeos. No primeiro, obteve $36$ "curtidas" para cada $80$ visualizações. No segundo, obteve $45$ "curtidas" para cada $100$ visualizações. Utilize a regra do produto cruzado para determinar se a proporção de sucesso é equivalente em ambos os vídeos.

Encontre o valor da incógnita $n$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes:

1. a) $\dfrac{n}{15} = \dfrac{12}{45}$

1. b) $\dfrac{7}{n} = \dfrac{28}{36}$

1. c) $\dfrac{10}{18} = \dfrac{25}{n}$

Das seguintes frações, identifique qual é a que não pertence ao grupo de frações equivalentes. Justifique sua resposta simplificando todas até a sua fração irredutível.

Para realizar um experimento de química, um laboratório precisa misturar líquidos em uma proporção de $\frac{3}{8}$. Se dispõem de um recipiente com $120$ ml de capacidade total para a mistura, que quantidade de líquido ativo devem despejar se querem manter a mesma proporção? Represente a situação por meio de duas frações equivalentes em que o denominador da segunda seja $120$.

Desenhe no seu caderno uma reta numérica (marque o 0 e o 1, e use uma unidade suficientemente grande, por exemplo 8 quadradinhos) e represente nela as seguintes frações. Demonstre graficamente que são equivalentes observando que todas se situam no mesmo ponto da reta:

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Na linha C-5 do metrô de superfície de São Paulo, a empresa de transporte realiza uma auditoria de pontualidade durante uma semana:

• No trecho Estação Norte - Estação Central, chegaram pontuais $72$ dos $90$ trens programados.

• No trecho Estação Central - Estação Sul, programaram-se $150$ trens no total, e a empresa garante que a taxa de pontualidade foi exatamente equivalente à do primeiro trecho.

1. a) Modele a proporção de pontualidade do primeiro trecho por meio de uma fração e simplifique-a passo a passo até obter a sua fração irredutível.
2. b) Formule uma igualdade de frações equivalentes para descobrir quantos trens tiveram de chegar pontuais no segundo trecho para que a afirmação da empresa seja verdadeira. Utilize os produtos cruzados para resolvê-la.

Para verificar se as frações $\frac{84}{126}$ e $\frac{140}{210}$ são equivalentes, dois alunos do 2.º de ESO propõem caminhos diferentes:

• O Sergio propõe usar diretamente o critério do produto cruzado calculando $84 \cdot 210$ e $126 \cdot 140$.

• A Laura propõe simplificar previamente ambas as frações até à sua fração irredutível dividindo o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum ($\text{m.d.c.}\,$).

1. a) Analisa as vantagens e desvantagens de cada método tendo em conta a dimensão dos números e o risco de cometer erros de cálculo sem calculadora. Justifica qual dos dois métodos é mais conveniente neste caso.
2. b) Aplica o método da Laura para verificar se as frações são equivalentes, indicando o $\text{m.d.c.}\,$ dos termos de cada fração e a fração irredutível obtida em cada caso.

Em uma competição de robótica, dois robôs devem percorrer a mesma distância, desde a Partida até a Chegada. O primeiro robô completou $\frac{42}{105}$ do trajeto. O segundo robô percorreu uma fração equivalente à anterior, mas o numerador e o denominador dela são números naturais cuja soma é exatamente $112$.

Que fração do trajeto o segundo robô percorreu? Justifique se os dois robôs se encontram no mesmo ponto da pista e calcule a fração irredutível que representa a posição de ambos.

Procure uma fração equivalente a $\frac{126}{198}$ que cumpra as seguintes condições de forma simultânea:

1. Seu denominador é um número compreendido entre $50$ e $100$.

2. A soma dos algarismos do numerador e a soma dos algarismos do denominador são, cada uma separadamente, múltiplos de $9$.

3. É uma fração própria.

Explique passo a passo o processo de simplificação e amplificação que você seguiu para encontrá-la.

Um designer de interfaces está trabalhando na resolução de uma nova tela. A proporção de tela é de $16:9$ (o que significa que para cada $16$ unidades de largura há $9$ de altura). Desenhe o esquema em seu caderno. Se a largura da tela é definida por um número $x$ e a altura por um número $y$, encontre os valores de $x$ e $y$ sabendo que:

• $\frac{x}{y}$ é equivalente a $\frac{16}{9}$.

• A área do retângulo formado ($x \cdot y$) é de $576$ unidades quadradas.

• $x$ e $y$ devem ser números naturais.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dada a fração $\frac{A}{B}$, sabemos que é equivalente a $\frac{4}{7}$. Se somarmos $12$ unidades ao numerador, para que a nova fração seja equivalente à original, o denominador deve aumentar $21$ unidades.

Demonstre se esta afirmação é verdadeira para qualquer valor inicial de $A$ e $B$ que mantenha a proporção $\frac{4}{7}$. Em seguida, encontre uma fração equivalente a $\frac{4}{7}$ tal que o produto de seus termos ($A \cdot B$) seja $700$.

Em um videogame de estratégia, a vida de um personagem é representada por uma barra. Atualmente, o personagem tem $\frac{15}{24}$ de sua vida total. O jogador consome uma poção que aumenta a vida atual em uma quantidade tal que a nova fração de vida é equivalente a $\frac{11}{12}$ da vida total.

Se o denominador da vida total (a capacidade máxima) é de $120$ pontos, quantos pontos de vida exatos o personagem recuperou com a poção? Expresse todas as frações do problema com denominador $120$ antes de resolvê-lo.

Três irmãos dividem o prêmio em dinheiro de um concurso de matemática da seguinte maneira: o mais velho recebe $\frac{24}{60}$ do total, o do meio recebe uma fração equivalente a $\frac{18}{45}$ e o mais novo o restante.

1. Calcule a fração irredutível do que cada um dos dois irmãos mais velhos recebe.

2. Quem recebe mais dinheiro, o mais velho ou o do meio?

3. Que fração do total recebe o irmão mais novo? É maior ou menor que as partes de seus irmãos?

Determine o valor da incógnita $n$ para que as seguintes frações sejam equivalentes:

Depois de determinar $n$, encontre outra fração equivalente às anteriores cujo denominador seja o quadrado de $n$. É possível que o numerador desta última fração seja um número primo? Justifique a sua resposta.

Considere a dízima periódica simples $1,\widehat{36}$ e a dízima periódica mista $1,3\widehat{6}$.

1. Determine as frações geratrizes de ambos os números e simplifique-as até serem irredutíveis.

2. Alguma dessas frações é equivalente a $\frac{60}{44}$?

3. Existe algum número natural pelo qual você deva multiplicar o denominador da fração geratriz de $1,\widehat{36}$ para obter como resultado o denominador da fração geratriz de $1,3\widehat{6}$? Justifique a sua resposta.

Determine duas frações positivas $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ sabendo que ambas têm como fração irredutível comum $\frac{5}{8}$ e que cumprem os seguintes requisitos independentes:

1. a) Na fração $\frac{a}{b}$, o produto do seu numerador pelo seu denominador é exatamente $1000$. Deduza o fator natural pelo qual se amplificou a fração irredutível e escreva a fração $\frac{a}{b}$.
2. b) Na fração $\frac{c}{d}$, a soma do seu numerador e do seu denominador é igual ao menor múltiplo comum de $13$ e $3$ compreendido estritamente entre $100$ e $200$. Determine o fator de amplificação correspondente e escreva a fração $\frac{c}{d}$.
3. c) Verifique que as frações $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ obtidas são equivalentes entre si aplicando a regra dos produtos cruzados.

O Ministério da Transição Ecológica (MITECO) publica os seguintes dados sobre dois reservatórios de uma mesma bacia hidrográfica:

• O reservatório de Valdecañas tem uma capacidade máxima de $160\text{ hm}^3$ e contém atualmente $64\text{ hm}^3$ de água.

• O reservatório de Alarcón tem uma capacidade total desconhecida $C$, mas sabe-se que, se recebesse $15\text{ hm}^3$ adicionais, atingiria um volume armazenado de $55\text{ hm}^3$. Além disso, os técnicos confirmam que a proporção atual de água em relação à sua capacidade total é exatamente a mesma que em Valdecañas (suas frações de enchimento são equivalentes).

1. a) Modele a situação formulando a igualdade de frações entre os dois reservatórios e calcule, com fundamentação, a capacidade total $C$ de Alarcón por meio de produtos cruzados.
2. b) Durante o mês seguinte, as chuvas adicionam exatamente $20\text{ hm}^3$ de água a cada um dos dois reservatórios. Um porta-voz afirma: «Como entrou exatamente o mesmo volume de água nos dois reservatórios, suas proporções de enchimento em relação às suas capacidades totais continuam equivalentes». Demonstre matematicamente se a afirmação do porta-voz é verdadeira ou falsa, calculando a fração irredutível do novo enchimento de cada reservatório.