Exercícios: Representação no plano cartesiano

No plano cartesiano a seguir, foram marcadas as posições de quatro objetos em um cômodo. Escreva as coordenadas $(x, y)$ de cada um dos pontos representados: o controle remoto ($A$), o livro ($B$), as chaves ($C$) e a mochila ($D$).

Desenhe um sistema de eixos coordenados no seu caderno e identifique em qual quadrante (primeiro, segundo, terceiro ou quarto) estão os seguintes pontos, sem a necessidade de representá-los:

• $P(4, 7)$

• $Q(-3, 5)$

• $R(-2, -8)$

• $S(6, -1)$

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Estamos desenhando uma fase para um videogame em uma malha quadriculada. Três dos vértices de uma sala retangular são os pontos $A(1, 2)$, $B(6, 2)$ e $C(6, 5)$.

1. a) Represente os pontos em um plano cartesiano.

1. b) Quais devem ser as coordenadas do quarto vértice $D$ para que a sala seja um retângulo perfeito?

1. c) Una os pontos em ordem ($A$, $B$, $C$ e $D$) e verifique a sua resposta.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Complete as seguintes frases sobre o sistema de coordenadas cartesianas:

1. a) O eixo horizontal recebe o nome de eixo das ________ e é representado pela letra $X$.
2. b) O eixo vertical recebe o nome de eixo das ________ e é representado pela letra $Y$.
3. c) O ponto de interseção de ambos os eixos se chama ________ e as coordenadas dele são $(0, 0)$.

Um drone de entregas parte do centro logístico, situado no ponto $(0, 0)$. Realiza duas entregas: a primeira no ponto $A(0, 4)$ e a segunda no ponto $B(5, 0)$.

1. a) Indique em que eixo se encontra cada um dos pontos de entrega.

1. b) Se o drone voa em linha reta desde o ponto $A$ até o ponto $B$, represente a trajetória em um sistema de eixos coordenados (em papel quadriculado, com uma unidade por quadrado). Marque também os pontos $A$ e $B$.

Represente em uma malha quadriculada os seguintes pontos e una-os seguindo a ordem alfabética. Ao finalizar, una o último ponto com o primeiro. Qual figura geométrica é obtida?

• $A(-2, 2)$

• $B(2, 2)$

• $C(2, -2)$

• $D(-2, -2)$

Dados os pontos $M(3, 2)$ e $N(3, -4)$:

1. a) Represente-os no plano cartesiano.

1. b) O que as coordenadas deles têm em comum?

1. c) Se você desenhar a reta que passa pelos dois, ela é horizontal ou vertical?

Desenhe o ponto $A(-4, 3)$ em seu caderno.

1. a) Escreva as coordenadas de um ponto $B$ que tenha a mesma abscissa que $A$, mas sua ordenada seja a oposta.
2. b) Escreva as coordenadas de um ponto $C$ que tenha a mesma ordenada que $A$, mas sua abscissa seja a oposta.
3. c) Represente os três pontos e observe a simetria criada em relação aos eixos.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um grupo de arqueólogos está mapeando as ruínas de uma antiga cidade romana. Situaram o centro de um anfiteatro na origem das coordenadas $O(0,0)$. Represente em um plano cartesiano (no seu caderno, com papel quadriculado) os seguintes pontos de interesse e determine em que quadrante se encontra cada um:

• Templo de Júpiter: $A(-4, 3)$

• Termas públicas: $B(5, -2)$

• Porta Norte: $C(0, 6)$

• Fórum: $D(-3, -5)$

• Mercado: $E(6, 4)$

Se decidissem construir uma cerca que unisse os pontos $E$, $B$ e $A$, que tipo de figura geométrica se formaria?

Observe os pontos representados no radar de navegação marítima a seguir. Escreva as coordenadas dos navios identificados com as letras $P$, $Q$, $R$ e $S$. Indique também quais navios têm a mesma abscissa e quais estão situados sobre um dos eixos coordenados.

Desenhe um sistema de eixos cartesianos e represente os pontos $A(2, 1)$ e $B(2, 5)$.

• Encontre as coordenadas de um ponto $C$ de forma que o triângulo $ABC$ seja um triângulo retângulo e isósceles (que tenha dois lados iguais e um ângulo de $90^\circ$).

• Existe mais de uma solução possível? Escreva as coordenadas de todas as que encontrar.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Em um jogo eletrônico de estratégia, a base de operações está no ponto $M(-3, 2)$. O programador quer colocar três postos de vigilância em posições simétricas:

• O posto $P_1$ é o simétrico de $M$ em relação ao eixo X.

• O posto $P_2$ é o simétrico de $M$ em relação ao eixo Y.

• O posto $P_3$ é o simétrico de $M$ em relação à origem das coordenadas.

Represente os quatro pontos no plano cartesiano e escreva suas coordenadas.

Um drone de entregas segue uma rota linear. Decola do armazém no ponto $S(-5, -2)$ e deve passar pelos pontos $T(-2, 1)$ e $U(1, 4)$ antes de chegar ao seu destino.

1. a) Represente os pontos $S$, $T$ e $U$ em um plano cartesiano (em papel quadriculado). Estão alinhados?

1. b) Se o drone continuar sua trajetória seguindo a mesma direção, passará pelo ponto $V(4, 7)$? Justifique sua resposta graficamente: represente também $V$ e a reta que une os pontos.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Desenhe um plano cartesiano e localize os seguintes pontos que formam os vértices de um retângulo: $A(-4, -1)$, $B(3, -1)$ e $C(3, 4)$.

• Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para fechar o retângulo.

• Calcule o perímetro e a área desse retângulo contando as unidades da malha quadriculada.

• Em qual quadrante se encontra a maior parte da superfície do retângulo?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Identifique quais dos seguintes pontos cumprem a condição de que sua ordenada é o dobro de sua abscissa ($y = 2x$):

• $A(1, 2)$

• $B(-2, -4)$

• $C(3; 1,5)$

• $D(-1, 2)$

• $E(0, 0)$

Represente-os em um plano cartesiano. O que você observa ao unir esses pontos?

Numa estação meteorológica registrou-se a variação da temperatura ao longo de uma manhã. Os dados obtidos são:

• Às $0$ horas (meia-noite): $-2\,^\circ C$

• Às $2$ horas: $-1\,^\circ C$

• Às $4$ horas: $2\,^\circ C$

• Às $6$ horas: $4\,^\circ C$

Na figura você tem os eixos com a sua escala (no eixo $X$, cada unidade é $1$ hora; no eixo $Y$, cada unidade é $1\,^\circ C$). Copie-a no seu caderno, de preferência em papel quadriculado, e resolva:

1. a) Represente estes dados como pontos $(x, y)$ no plano cartesiano, onde o eixo $X$ representa o tempo e o eixo $Y$ a temperatura.

1. b) Una os pontos com segmentos para traçar o gráfico.

1. c) Que significado tem o ponto onde o gráfico corta o eixo das abscissas? Indique as suas coordenadas de forma aproximada.

1. d) Que significado tem o ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas? Indique as suas coordenadas.

O desenho de um novo logotipo para uma marca de roupa esportiva baseia-se em um losango $ABCD$ (com os vértices nessa ordem). Conhecem-se três dos seus vértices: $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ e $C(4, 1)$, que aparecem na figura.

a) Determine as coordenadas do quarto vértice, $D$, para que a figura $ABCD$ seja um losango, e represente-o no plano cartesiano.

b) Calcule as coordenadas do centro do losango (o ponto onde se cortam as suas diagonais).

c) Se quiséssemos dobrar o tamanho do logotipo mantendo o vértice $A$ no seu lugar (isto é, multiplicando por 2 as distâncias de $A$ a cada vértice), quais seriam as novas coordenadas dos pontos $B$ e $C$?

Uma empresa de aluguel de patinetes elétricos usa uma tarifa "por trechos" para evitar trajetos muito curtos. O custo $y$ (em reais) depende do tempo $x$ (em minutos) segundo estas regras:

• Se o trajeto durar entre $0$ e $10$ minutos (inclusive), o custo é de $2$ reais.

• Se durar mais de $10$ e até $20$ minutos, o custo é de $4$ reais.

• A partir dos $20$ minutos, o custo é de $4$ reais fixos mais $0,10$ reais por cada minuto adicional que passar dos $20$.

a) Represente graficamente essa função no plano cartesiano para um tempo de $0$ a $40$ minutos.

b) Indique se a função é contínua ou descontínua. Se for descontínua, indique os pontos de descontinuidade.

c) Quanto pagará uma pessoa que usar o patinete durante $25$ minutos? E uma que usá-lo durante $10$ minutos e um segundo?

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um drone de vigilância realiza um trajeto de ida e volta a partir de sua base. Sua distância até a base (em metros) com relação ao tempo (em segundos) é dada pelo gráfico a seguir:

a) Determine o domínio e o conjunto imagem desta função de acordo com o gráfico.

b) Identifique os intervalos de tempo nos quais o drone se afasta da base, se aproxima ou permanece parado.

c) Qual é a velocidade do drone (em m/s) durante os primeiros $10$ segundos? Lembre-se de que $v = \frac{distancia}{tiempo}$.

Em um jogo eletrônico de estratégia, a área de influência de uma torre de defesa está limitada pelos pontos $(x, y)$ que cumprem a seguinte condição: o valor absoluto de sua abscissa mais o valor absoluto de sua ordenada deve ser menor ou igual a $4$, ou seja, $|x| + |y| \leq 4$.

a) Represente no plano cartesiano todos os pontos que formam a fronteira dessa região (onde $|x| + |y| = 4$). Qual figura geométrica é obtida?

b) Verifique se os pontos $P(2, 2)$, $Q(-3, 2)$ e $R(0, -4)$ estão dentro, fora ou na borda da área de influência.

c) Calcule a área dessa região em unidades quadradas.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um biólogo mede a profundidade de um lago em diferentes pontos ao longo de uma linha reta que atravessa de uma margem à outra. A margem inicial está em $x=0$ e a margem final em $x=10$. A profundidade $y$ (em metros, expressa em valores negativos para indicar profundidade) segue a função $y = x^2 - 10x$.

a) Construa uma tabela de valores para $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Represente os pontos no plano cartesiano e una-os com uma curva suave.

c) Em que ponto se atinge a profundidade máxima do lago e qual é esse valor?

d) O que representa o fato de em $x=0$ e $x=10$ o valor de $y$ ser $0$?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma aula de design artístico, os alunos devem criar figuras por meio de simetrias. Desenha-se um triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(2, 5)$.

a) Represente o triângulo original.

b) Desenhe o triângulo simétrico em relação ao eixo $Y$. Escreva as coordenadas dos novos vértices $A'$, $B'$ e $C'$.

c) Desenhe o triângulo simétrico do original em relação à origem das coordenadas $O(0,0)$. Escreva as coordenadas destes novos vértices $A''$, $B''$ e $C''$.

d) Como mudaram os sinais das coordenadas em cada caso?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dois barcos, o Alfa e o Beta, deslocam-se pelo oceano. Suas posições no plano cartesiano (onde cada unidade do eixo vertical representa $1$ milha náutica) são dadas pelas seguintes funções em relação ao tempo $t$ (em horas):

• Barco Alfa: $y = 2t - 4$

• Barco Beta: $y = -t + 5$

Use os eixos da figura (copie-os para o seu caderno) para resolver os itens.

a) Represente ambas as trajetórias nos mesmos eixos de coordenadas para valores de $t$ entre $0$ e $6$.

b) Em que ponto do mapa os dois barcos vão se cruzar? Determine as coordenadas $(t, y)$ desse ponto visualmente no gráfico.

c) A que horas ($t$) acontecerá esse encontro?

Analise os seguintes dois gráficos, $G_1$ e $G_2$, representados no mesmo sistema de eixos, e responda de forma fundamentada. O gráfico $G_1$ é a reta $y=0{,}5x+4$ e o gráfico $G_2$ é uma circunferência com centro na origem e raio $3$.

a) Quais deles representam uma função? Justifique a sua resposta usando o conceito de "unicidade de imagem".

b) Para os que forem funções, indique se são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio.

c) Observe os pontos de $G_2$ com $x=0$: que valores de $y$ correspondem a eles? O que você conclui sobre $G_2$ cumprir ou não a unicidade de imagem? Indique também outro valor de $x$ diferente de $0$ para o qual aconteça o mesmo.