Exercícios: Estudo das retas

Um grupo de amigos está projetando um novo logotipo para seu clube de videogames em um papel quadriculado. Escreva as coordenadas dos pontos destacados no gráfico que formam os vértices do projeto.

Para que um gráfico represente uma função, a cada valor da variável independente $x$ deve corresponder um único valor da variável dependente $y$. Observe os seguintes gráficos e indique, justificando, qual deles não é uma função. Para justificar, imagine retas verticais percorrendo cada gráfico e repare em quantos pontos elas o intersectam.

Um novo serviço de streaming de música oferece uma assinatura que custa $\text{R\$}\ 3$ por mês contratado.

• a) Complete a seguinte tabela de valores que relaciona o tempo em meses ($x$) com o custo total ($y$):

Meses ($x$)	1	2	3	4	5
Custo ( reais) ($y$)	$3$

• b) Escreva a equação da função de proporcionalidade direta que representa esta situação.

Dada a função linear $y = -2x$, indique de forma justificada:

• a) Qual é o valor do seu coeficiente angular ($m$)?

• b) A função é crescente ou decrescente?

• c) O gráfico passa pela origem do sistema de coordenadas $(0, 0)$?

Encontre o coeficiente angular ($m$) e o coeficiente linear ($n$) da reta representada no gráfico a seguir. Em seguida, escreva sua equação na forma $y = mx + n$.

Um estacionamento de bicicletas no centro da cidade cobra uma tarifa fixa de $\text{R\$}\ 2$ por dia, sem importar quantas horas você deixe a bicicleta estacionada.

• a) Represente esta situação por meio de uma tabela de valores (horas × custo).

• b) Que tipo de função é: linear, afim ou constante?

• c) Qual seria a sua equação?

O aluguel de um patinete elétrico tem um custo de $\text{R\$}\ 1$ pelo desbloqueio inicial e $\text{R\$}\ 0,5$ por minuto de uso. A função que relaciona o custo ($y$) com o tempo em minutos ($x$) é $y = 0,5x + 1$.

Calcule quanto custará uma viagem que dure $10$ minutos.

Observe o gráfico a seguir que mostra o percurso de uma pessoa que caminha a velocidade constante. Indique se a relação entre a distância percorrida e o tempo é de proporcionalidade direta e calcule sua constante de proporcionalidade (o coeficiente angular).

Duas empresas de aluguel de patinetes elétricos têm tarifas diferentes. A empresa EcoRolling cobra $\text{R\$}\ 0,20$ por cada minuto de utilização sem taxa fixa. A empresa FastGlide cobra uma taxa fixa de $\text{R\$}\ 2$ para desbloquear o patinete e depois $\text{R\$}\ 0,10$ por cada minuto. No gráfico estão representadas as duas tarifas.

1. a) Escreva a função que relaciona o custo total ($y$) com o tempo de utilização em minutos ($x$) para cada uma das empresas.

1. b) Indique qual das duas é uma função de proporcionalidade direta (linear) e qual é uma função afim.

1. c) A partir de quantos minutos de percurso começa a ser mais barata a opção da FastGlide?

Observe o gráfico de uma função afim. Cada quadrado da quadrícula mede 1 unidade em cada eixo.

Realize os seguintes passos:

1. a) Identifique visualmente o coeficiente linear ($n$), isto é, o valor de $y$ no ponto onde a reta corta o eixo vertical.

1. b) Calcule o coeficiente angular ($m$) utilizando dois pontos da reta que estejam exatamente sobre cruzamentos da quadrícula (os pontos marcados em laranja podem ajudar você).

1. c) Escreva a equação explícita da reta na forma $y = mx + n$.

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$. Para isso:

1. Calcule primeiro o coeficiente angular $m$ por meio da fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Substitua o coeficiente angular e um dos pontos na equação $y = mx + n$ para encontrar o valor de $n$.

3. Escreva a equação final e diga se a função é crescente ou decrescente, justificando sua resposta de acordo com o valor do coeficiente angular.

Um drone encontra-se inicialmente a uma altura de $40$ metros. Ao apertar o botão de "retorno à base", o drone começa a descer de forma constante a uma velocidade de $4$ metros por segundo. A figura mostra apenas o início da descida.

1. a) Defina as variáveis independente e dependente deste problema.

1. b) Escreva a equação da função que relaciona a altura do drone ($y$) com o tempo decorrido ($x$) desde que o botão foi apertado.

1. c) Qual é a altura do drone após $6$ segundos? Quanto tempo ele demora para pousar totalmente (altura $0$)?

Determine a equação da reta que cumpre as seguintes duas condições:

• É paralela à reta $y = -3x + 5$.

• Passa pelo ponto $P(0, 4)$.

Explique qual característica duas retas devem compartilhar para serem paralelas e como você utilizou o ponto $P$ para encontrar o coeficiente linear.

Associe cada uma das seguintes equações de retas com sua descrição correspondente:

1. $y = 3$

2. $x = -2$

3. $y = 3x$

4. $y = -x + 3$

A) Reta que passa pela origem e tem coeficiente angular positivo.

B) Função constante que representa uma linha horizontal.

C) Reta com coeficiente angular negativo e coeficiente linear igual a $3$.

D) Linha vertical que não representa uma função.

A Kenia está economizando dinheiro em um cofrinho. Inicialmente ela tem $\text{R\$}\ 15$ e, a cada semana, decide colocar $\text{R\$}\ 2,50$ da sua mesada.

1. a) Complete a seguinte tabela de valores:

Semanas ($x$)	$0$	$1$	$2$	$4$	$10$
Dinheiro economizado ($y$)	$15$

1. b) Escreva a equação da função.
2. c) Se a Kenia quer comprar um videogame que custa $\text{R\$}\ 55$, quantas semanas ela terá de esperar de acordo com esta função?

Desenhe nos mesmos eixos coordenados os gráficos das funções $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$.

1. a) Que relação geométrica você observa entre as duas retas?

1. b) Justifique a sua resposta anterior comparando as equações delas.

1. c) Essas duas retas se cortarão em algum ponto? Justifique a sua resposta.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um criador de conteúdo digital analisou o crescimento de seus seguidores. Durante o primeiro mês, o crescimento seguiu uma função linear que passava pelos pontos $A(2, 500)$ e $B(5, 1250)$, onde $x$ é o dia do mês e $y$ o número de seguidores. No entanto, a partir do dia 15, devido a um vídeo viral, o crescimento passou a ser outra função linear paralela à anterior, mas que no dia $x = 16$ já alcançava $5000$ seguidores.

a) Encontre a equação da função linear do primeiro trecho (dias 1 ao 15).

b) Encontre a equação da nova função a partir do dia 15.

c) Quantos seguidores ele tinha no dia 20 segundo essa segunda função?

Em uma competição de drones, o "Drone A" segue uma trajetória retilínea representada pela função $y = \frac{3}{2}x + 2$. Quer-se lançar um "Drone B" cuja trajetória seja uma linha reta paralela à do "Drone A", mas que passe obrigatoriamente pelo ponto onde se encontra um sinalizador situado nas coordenadas $P(-4, -1)$.

a) Determine a equação da função afim que descreve a trajetória do "Drone B".

b) Em que ponto a trajetória do "Drone B" cortará o eixo das ordenadas (eixo $Y$)?

c) Represente graficamente ambas as trajetórias e indique se alguma delas é uma função de proporcionalidade direta.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas empresas de fibra óptica oferecem as seguintes tarifas mensais:

• NetRápido: $20$ reais fixos por mês mais $0,50$ reais por cada GB de download extra.

• FibraTotal: Sem custo fixo, mas cobra $1,30$ reais por cada GB de download.

a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo mensal ($y$) com os GB extras ($x$) para cada empresa.

b) A partir de quantos GB de download extra a empresa NetRápido começa a ser mais vantajosa? (Encontre o ponto de interseção das duas retas).

c) Se em um mês você consumir $30$ GB extras, qual é a diferença de preço entre as duas?

Determine a equação da reta $r$ que cumpre simultaneamente as seguintes condições:

1. É decrescente.

2. O seu coeficiente angular é o dobro (em valor absoluto) do coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $C(0, 1)$ e $D(2, 2)$.

3. Passa pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 5$ e $y = 3$.

a) Calcule primeiro o coeficiente angular da reta que passa por $C$ e $D$.

b) Determine o ponto de interseção mencionado na condição 3.

c) Escreva a equação final da reta $r$.

A bateria de um notebook descarrega de forma linear. Às 10:00 da manhã, a bateria estava em $90\%$. Às 12:30 da manhã, o nível tinha caído para $45\%$.

a) Se chamarmos de $x$ o tempo decorrido em horas desde as 10:00, encontre a equação da função que nos dá a porcentagem de bateria restante.

b) Qual é o coeficiente angular da função? Explique seu significado neste contexto realista.

c) A que horas exatas a bateria se esgotará por completo se o consumo continuar o mesmo?

Sabe-se que uma função afim tem como representação gráfica uma reta que passa pelo ponto $A(3, -2)$. Além disso, sabemos que essa reta forma um triângulo com os eixos coordenados cuja área é de $4$ unidades quadradas, e seu coeficiente linear é um número inteiro positivo.

a) Determine o valor do coeficiente linear ($n$).

b) Calcule o coeficiente angular ($m$) da reta.

c) Escreva a equação da reta e verifique que o ponto $A$ pertence a ela.

Dadas as funções $f(x) = ax + 3$ e $g(x) = -2x + b$:

a) Se ambas as retas são paralelas e a reta $g(x)$ passa pelo ponto $P(1, 4)$, calcule os valores de $a$ e $b$.

b) Uma vez encontrados $a$ e $b$, calcule o ponto onde a reta $f(x)$ corta o eixo das abscissas (eixo $X$).

c) Alguma dessas funções é uma função constante? Justifique sua resposta.

Um reservatório de água de $1000$ litros tem um vazamento. A cada hora que passa, o volume de água diminui em uma quantidade constante. Às $3$ horas de detectar o vazamento, restam $850$ litros.

a) Encontre a equação da função afim que relaciona o tempo decorrido ($x$) com o volume de água no reservatório ($y$).

b) Se o vazamento não for consertado, quanta água restará após $10$ horas?

c) Represente a função em eixos como os da figura e indique o domínio e o conjunto imagem da função, levando em conta o contexto físico do problema (o tempo não pode ser negativo e o volume não pode ser menor que zero).

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.