Exercícios: Gráfico de uma função

No mapa de coordenadas a seguir, foram marcados os pontos onde se encontram vários objetos em um jogo de aventura. Indique as coordenadas cartesianas de cada um dos elementos: o Baú ($C$), a Chave ($L$), a Poção ($P$) e o Escudo ($E$).

Para que um gráfico represente uma função, a cada valor da variável independente $x$ deve corresponder um único valor da variável dependente $y$. Observe os seguintes gráficos e justifique qual deles não é uma função.

Uma plataforma de streaming cobra uma taxa fixa de $\text{R\$}\ 5$ por mês mais $\text{R\$}\ 2$ por cada filme de lançamento que você alugar.

1. a) Indique qual é a variável independente e qual é a dependente.
2. b) Se chamarmos $x$ de número de filmes e $y$ de custo total, complete a seguinte tabela de valores:

Filmes ($x$)	0	1	2	3
Custo ($y$)

Represente em um sistema de eixos coordenados os pontos da seguinte tabela, que relaciona o tempo decorrido (em segundos) e a distância percorrida (em metros) por um patinete elétrico que se desloca com velocidade constante. Faz sentido unir os pontos com uma linha contínua?

Tempo ($s$)	1	2	3	4	5
Distância ($m$)	4	8	12	16	20

O gráfico a seguir mostra a temperatura de uma lata de refrigerante a partir do momento em que é retirada da geladeira e deixada sobre a mesa da cozinha.

1. a) Qual era a temperatura do refrigerante no momento de retirá-lo ($t = 0$)?
2. b) Qual é a temperatura após $20$ minutos?
3. c) A função é crescente ou decrescente? O que isso significa no contexto do problema?

Um drone decola do chão, sobe até uma altura determinada, mantém-se estável para tirar algumas fotos e depois desce até pousar novamente. Observe o gráfico e responda:

1. a) A que altura máxima o drone chegou?
2. b) Quanto tempo o drone ficou voando a essa altura máxima?
3. c) Em que intervalo de tempo o drone estava descendo?

Decida se as seguintes funções são contínuas ou descontínuas justificando brevemente sua resposta:

1. a) A profundidade de uma piscina de acordo com a distância em que nos encontramos da borda (supondo que o fundo é inclinado).
2. b) O número de espectadores em um show de música de acordo com a hora do dia.
3. c) O custo de uma chamada telefônica cobrada por minutos completos iniciados.

Observe o gráfico que representa a velocidade de um ciclista durante os primeiros $10$ minutos do seu treinamento.

1. a) Identifique os intervalos de tempo em que a função é crescente, decrescente ou constante.
2. b) Qual foi a velocidade máxima atingida?
3. c) Em que minuto ele começou a frear até parar?

O gráfico seguinte mostra a evolução da bateria do celular da Júlia desde que sai de casa de manhã até que volta à tarde. Observe o gráfico e responda às seguintes perguntas:

1. a) Que porcentagem de bateria tinha ao sair de casa? E 6 horas depois de ter saído?

1. b) Indique os intervalos de tempo em que a função é crescente e explique o que você acha que aconteceu nesse período.

1. c) Em que momento atinge pela primeira vez o seu valor mínimo e durante quanto tempo se mantém nesse valor?

1. d) Qual é o valor máximo e o valor mínimo que a função atinge?

Analise os três gráficos a seguir. Indique justificadamente qual deles não representa uma função e explique o porquê com base na definição de função que você estudou.

A função $f(t)$ representa a profundidade (em metros) em que se encontra um drone submarino de exploração em função do tempo (em minutos) desde que mergulha. O seu gráfico é o seguinte:

1. a) Determine o domínio e o conjunto imagem da função a partir do gráfico.

1. b) Durante quanto tempo o drone ficou a uma profundidade constante de $4$ metros?

1. c) Em que instantes de tempo o drone se encontra a $2$ metros de profundidade?

Um técnico de som mede o nível de ruído (em decibéis, dB) durante o ensaio de uma banda de música. O gráfico mostra os níveis registrados em um período de $10$ minutos.

1. a) Indique os intervalos de tempo nos quais o ruído aumenta (função crescente).
2. b) Indique os máximos relativos e os mínimos relativos da função. O que significam esses pontos no contexto do ensaio?
3. c) Essa é uma função contínua? Justifique sua resposta.

A trajetória de uma bola de basquete ao ser arremessada é dada pelo gráfico de uma função que relaciona a altura (em metros) com a distância horizontal a partir do jogador (em metros).

1. a) Encontre os pontos de intersecção da função com os eixos $X$ e $Y$.
2. b) Qual é a altura da bola no momento do arremesso ($x=0$)?
3. c) Se a cesta está situada a uma altura de $3$ metros, a que distância horizontal do jogador se encontra a cesta se a bola entra exatamente nesse ponto?

Uma locadora de filmes online oferece uma tarifa de aluguel na qual os três primeiros dias custam $4$ reais no total, e a partir do quarto dia o preço sobe $1,5$ reais por cada dia adicional de atraso.

1. a) Complete a seguinte tabela de valores:

Dias ($x$)	1	2	3	4	5	6
Preço ($y$)

1. b) Represente graficamente a função.
2. c) É uma função contínua ou descontínua? Explique se faz sentido unir os pontos do gráfico com uma linha contínua neste contexto real.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dois amigos, Marcos e Elena, estão economizando para comprar um console. O gráfico mostra o dinheiro que cada um tem ao final de cada semana.

1. a) Quem começou com mais dinheiro economizado?
2. b) Em qual semana eles igualam suas economias? Quanto dinheiro eles têm nesse momento?
3. c) Indique em quais períodos Elena economiza mais rápido do que Marcos (onde o gráfico dela seja mais "inclinado").
4. d) Qual é o domínio de ambas as funções de acordo com o gráfico?

Aquece-se um recipiente com água e registra-se a temperatura dela a cada minuto. Ao chegar aos $100^{\circ}C$, a chama é mantida constante durante $3$ minutos e depois é apagada, deixando a água esfriar lentamente.

1. a) Desenhe um gráfico qualitativo que represente esta situação (tempo no eixo $X$, temperatura no eixo $Y$).

1. b) No seu gráfico, identifique a zona de crescimento, a zona de função constante e a zona de decrescimento.

1. c) Se a temperatura ambiente for de $20^{\circ}C$, para que valor tenderá a temperatura da água quando passar muito tempo?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um criador de conteúdo da Twitch analisa a evolução dos seus inscritos durante um evento especial de 10 horas. A função que descreve o número de inscritos $S$ em função do tempo $t$ (em horas) segue este comportamento:

• Durante as 2 primeiras horas, o crescimento é constante e linear, passando de 100 a 500 inscritos.

• Entre a hora 2 e a hora 5, o número de inscritos se mantém estável.

• A partir da hora 5, devido a um "raid" de outro canal, os inscritos aumentam seguindo a expressão $S(t) = 100t$ até a hora 8.

• Nas últimas 2 horas, o canal perde inscritos de forma constante até terminar com 600.

Represente o gráfico da função (coloque o tempo $t$ no eixo horizontal, de 0 a 10 horas, e o número de inscritos $S$ no eixo vertical), determine o domínio e o conjunto imagem neste contexto, e identifique os intervalos de crescimento e decrescimento.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma empresa de aluguel de patinetes elétricos oferece uma tarifa para turistas. O custo $y$ em reais depende do tempo $x$ em minutos. O gráfico da função é descontínuo porque a empresa cobra por períodos de 30 minutos completos ou fração. Cada tempo $x$ pertence a um único período, e o extremo direito de cada período está incluído nele:

• Se $0 < x \le 30$ minutos: 5 reais (tarifa fixa de desbloqueio e uso inicial).

• Se $30 < x \le 60$ minutos: 8 reais.

• Se $60 < x \le 90$ minutos: 11 reais.

• E assim sucessivamente, subindo 3 reais em cada período, até um máximo de 3 horas (180 min).

Por exemplo, 30 minutos exatos custam 5 reais, mas 31 minutos custam 8 reais.

1. a) Desenhe o gráfico "em escada" da função para $0 < x \le 180$. Use pontos fechados e abertos nos saltos para indicar que valor se toma em cada extremo.

1. b) Indique os valores de $x$ em que o gráfico é descontínuo.

1. c) Calcule quanto pagaria uma pessoa que utiliza o patinete durante 105 minutos.

1. d) Esta relação é uma função? Justifique se a um valor de tempo podem corresponder dois preços diferentes.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um drone de vigilância realiza um voo de reconhecimento. O gráfico mostra sua altura $h$ (em metros) em relação ao tempo $t$ (em minutos). O drone decola, sobe até 40 m, desloca-se horizontalmente durante um tempo, sobe novamente até 60 m para evitar um obstáculo, desce rapidamente para 20 m para observar algo em detalhes e finalmente pousa.

A partir do gráfico que você mesmo deve esboçar com esses dados:

1. a) Qual é a taxa de variação (coeficiente angular) no trecho de descida rápida se esta ocorre entre o minuto 10 e o 12?
2. b) Indique o intervalo de tempo onde a função é constante.
3. c) Se o drone tem uma autonomia de 15 minutos, qual é o domínio real da função se o pouso termina exatamente nesse limite?

Estuda-se a temperatura de uma reação química em um laboratório. A temperatura $T$ (em $^\circ C$) segue a função $T(x) = |x - 5| + 10$, onde $x$ é o tempo em minutos a partir do momento em que se adiciona um reagente.

1. a) Construa uma tabela de valores para $x$ de 0 até 10 minutos.
2. b) Represente o gráfico. Você notará que ele tem formato de "V".
3. c) Em que minuto se atinge a temperatura mínima? Qual é esse valor?
4. d) Determine o intervalo em que a função é decrescente e explique o que isso significa fisicamente no experimento.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O gráfico a seguir representa a distância em que um corredor de obstáculos se encontra em relação à linha de chegada durante uma corrida de 400 metros.

Analise o gráfico e responda:

1. a) Em quais momentos o corredor para ou cai? Como isso se reflete no gráfico?
2. b) A velocidade do corredor é constante durante toda a corrida? Compare os coeficientes angulares dos trechos retos.
3. c) Qual é o significado do ponto de intersecção com o eixo $Y$ e do ponto de intersecção com o eixo $X$?

Um reservatório cilíndrico de 1000 litros é preenchido com uma mangueira que fornece uma vazão constante de 50 litros por minuto. No entanto, o reservatório tem um vazamento na base que perde 10 litros por minuto.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o volume de água $V$ (em litros) com o tempo $t$ (em minutos), supondo que no início há 100 litros.
2. b) Represente o gráfico. Que tipo de função é (linear ou afim)?
3. c) Quanto tempo levará para encher completamente? Indique este valor como o limite do domínio da função nesta situação prática.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Observe os seguintes quatro gráficos. Um deles representa a altura de uma bola que é solta de certa altura e quica no chão, outro o enchimento com água, a vazão constante, de um copo em forma de cone (com o vértice embaixo), outro a velocidade de um carro que freia diante de um semáforo até parar, e o último não é uma função. Nas situações reais, $x$ é o tempo.

1. a) Identifique cada um deles justificando a sua resposta com base na forma da curva (crescimento, curvatura, continuidade).

1. b) Explique por que um dos gráficos não pode ser considerado uma função.

Dois irmãos, Larissa e Mateus, saem de casa para ir à escola que fica a 1 km.

• Mateus sai às 8:00 e caminha a velocidade constante, levando 20 minutos para chegar.

• Larissa sai 5 minutos mais tarde, corre durante os primeiros 500 metros (leva 4 minutos) e depois caminha o restante à mesma velocidade que Mateus.

1. a) Represente em um mesmo gráfico a distância em relação à casa de ambos em função do tempo decorrido desde as 8:00.
2. b) A que horas e a que distância de casa Larissa ultrapassa Mateus? Encontre o ponto de interseção dos dois gráficos.
3. c) Quem chega primeiro à escola e por qual diferença de tempo?