Exercícios: Expressão algébrica de uma função

Relacione cada uma das seguintes frases com a expressão algébrica correspondente, em que $x$ representa um número qualquer e $y$ o resultado da função:

• a) O resultado é o triplo de um número.

• b) O resultado é o dobro de um número mais cinco unidades.

• c) O resultado é a metade de um número.

• d) O resultado é dez subtraído de um número.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

Em um videogame de celular, cada "baú de diamantes" custa $1,50$ reais. Se quisermos comprar $x$ baús, a função que nos dá o preço total a pagar é $y = 1,5x$. A figura mostra o seu gráfico.

Calcule quanto dinheiro gastaríamos se decidíssemos comprar:

1. a) $2$ baús.

1. b) $5$ baús.

1. c) $10$ baús.

Determine o valor da variável dependente $y$ para os valores da variável independente $x$ indicados na seguinte função:

$y = 4x - 3$

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

• c) Para $x = 2$

• d) Para $x = 5$

Queremos cercar com uma corda elástica vários cartazes quadrados para uma feira escolar. A relação entre o comprimento do lado do quadrado ($x$) e o perímetro total de corda necessário ($y$) é dada por uma função.

• a) Escreva a expressão algébrica dessa função.

• b) Se o lado do quadrado medir $12$ cm, quanta corda precisaremos?

Copie e complete em seu caderno a seguinte tabela de valores para a função cuja expressão algébrica é $y = -2x + 1$:

Um técnico de manutenção de computadores cobra $20$ reais pela taxa de deslocamento até a casa do cliente e $15$ reais por hora de trabalho.

• a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo total da fatura ($y$) com o número de horas trabalhadas ($x$).

• b) Quanto custará um conserto que durou $3$ horas?

Observe a seguinte tabela de valores que relaciona o número de ingressos para um show e o preço total. Encontre a expressão algébrica que representa essa função:

Dada a função $f(x) = x^2 + 1$:

• a) Calcule a imagem de $x = 3$. Ou seja, calcule $f(3)$.

• b) Calcule a imagem de $x = -2$. Ou seja, calcule $f(-2)$.

• c) Calcule a imagem de $x = 0$. Ou seja, calcule $f(0)$.

Uma plataforma de música em streaming oferece um plano mensal que custa $\text{R\$}\ 12$ de taxa fixa e, além disso, cobra $\text{R\$}\ 0,50$ por cada canção que o usuário decida baixar para ouvir sem conexão. Na figura você pode ver o gráfico desta situação.

a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o número de canções baixadas, $x$, com o custo total mensal, $y$.

b) Indique que tipo de função é (linear, afim ou de proporcionalidade inversa).

c) Se em um mês um usuário paga um total de $\text{R\$}\ 24,50$, quantas canções ele baixou?

Determine a expressão algébrica da função afim cujo gráfico passa pelos pontos $A(1, 4)$ e $B(3, 10)$. Explique passo a passo como você calcula o coeficiente angular ($m$) e o coeficiente linear ($n$).

Em um laboratório de física, está-se observando como varia a temperatura de um líquido à medida que é aquecido. No início do experimento, o líquido está a $15^\circ C$ e sua temperatura aumenta a uma taxa constante de $3^\circ C$ a cada minuto que passa.

a) Determine a expressão algébrica que permite calcular a temperatura $T$ em função do tempo $t$ (em minutos).

b) Que temperatura o líquido atingirá após um quarto de hora de aquecimento?

c) Quanto tempo deve passar para que o líquido atinja $60^\circ C$?

Observe a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas, $x$ e $y$:

a) Verifique se é uma função de proporcionalidade inversa.

b) Escreva sua expressão algébrica.

c) Calcule o valor da imagem para $x = 10$.

Um jardineiro cobra uma quantia fixa de $\text{R\$}\ 20$ pela taxa de deslocamento e $\text{R\$}\ 15$ por cada hora de trabalho. Seu concorrente não cobra taxa de deslocamento, mas sua tarifa é de $\text{R\$}\ 22$ por hora.

a) Escreva a expressão algébrica do custo do serviço de cada jardineiro ($y_1$ e $y_2$) em função das horas trabalhadas ($x$).

b) Se precisarmos de um trabalho que durará exatamente $4$ horas, qual dos dois jardineiros sai mais barato?

c) Existe algum número de horas de trabalho para o qual ambos cobram o mesmo valor?

Dada a função cuja expressão algébrica é $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$:

a) Calcule os valores de $f(0)$, $f(3)$ e $f(-3)$.

b) Determine o ponto de interseção da função com o eixo das abscissas (eixo $X$).

c) Represente os pontos obtidos em um sistema de coordenadas como o da figura (cada marca é uma unidade) e una-os para desenhar a função.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Deseja-se construir uma moldura retangular para um pôster utilizando uma ripa de madeira de $120 cm$ de comprimento total. Se chamarmos $x$ o comprimento da base do retângulo:

a) Escreva a expressão algébrica que relaciona a altura do retângulo ($y$) com sua base ($x$). Dica: lembre-se de que o perímetro é a soma de todos os lados.

b) Escreva a expressão algébrica que permite calcular a área ($A$) do retângulo em função de sua base ($x$).

c) Se a base medir $25 cm$, qual será a área da moldura?

Identifique qual das seguintes expressões corresponde a cada um dos gráficos descritos a seguir:

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Uma reta horizontal que passa pelo ponto $(0, 5)$.

b) Uma função de proporcionalidade direta que passa pelo ponto $(2, 6)$.

c) Uma função afim decrescente que intercepta o eixo $Y$ no ponto $(0, 4)$.

d) Uma hipérbole que passa pelo ponto $(1, 4)$.

Uma plataforma de streaming de videogames oferece dois planos mensais para os criadores de conteúdo. Com o Plano Pro, o criador recebe uma quantia fixa de $\text{R\$}\ 15$ por mês e, além disso, $\text{R\$}\ 0,20$ por cada novo assinante. Com o Plano Partner não há quantia fixa; pelo contrário, a plataforma desconta $\text{R\$}\ 5$ por mês por despesas de gestão e o criador recebe $\text{R\$}\ 0,35$ por cada novo assinante.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que representa os rendimentos líquidos mensais para cada plano, sendo $x$ o número de assinantes e $y$ o dinheiro total recebido (em reais).

1. b) Se um streamer estima que conseguirá entre $60$ e $70$ assinantes este mês, qual plano é mais vantajoso para ele? Justifique sua resposta calculando os valores de $y$ de cada plano para $x=60$ e para $x=70$ e comparando-os.

Deseja-se projetar um cartaz retangular cuja área total seja sempre de $36\ m^2$.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que permite calcular a altura ($y$) do cartaz em função do comprimento de sua base ($x$).
2. b) Se, por norma, o cartaz não pode ter uma base menor que $2\ metros$ nem maior que $12\ metros$, qual é o domínio dessa função neste contexto real?
3. c) Que tipo de função é? Explique o que acontece com a altura à medida que a base se torna extremamente grande.

Um drone de vigilância decola da cobertura de um edifício que está a uma certa altura acima do nível do mar. Após $4\ segundos$ de voo vertical constante, o drone está a $52\ metros$ de altura. Aos $10\ segundos$ de voo, atinge os $88\ metros$.

1. a) Determine a expressão algébrica da função que relaciona o tempo de voo ($x$, em segundos) com a altura do drone ($y$, em metros).
2. b) A que altura está a cobertura do edifício?
3. c) Se o drone tem um teto de voo máximo de $150\ metros$, use a expressão algébrica para calcular por quantos segundos ele pode continuar subindo antes de atingir esse limite.

Uma empresa de entregas cobra pelo envio de pacotes uma quantia fixa pela coleta mais um custo por quilômetro de distância. Sabemos que um envio para uma cidade situada a $120\ km$ custa $\text{R\$}\ 15,40$, e um envio para outra cidade a $200\ km$ custa $\text{R\$}\ 21,80$.

1. a) Determine o coeficiente angular da função e indique o que ele significa neste contexto.
2. b) Encontre a expressão algébrica da função $y = f(x)$.
3. c) Quanto a empresa cobraria por um pacote entregue no mesmo ponto de coleta ($0\ km$)? Como se chama esse valor na função?

Em um laboratório de física, está se estudando como varia a pressão de um gás ao alterar o volume do recipiente que o contém, mantendo a temperatura constante (Lei de Boyle). Observou-se que, quando o volume é de $2\ litros$, a pressão é de $6\ atmósferas$.

1. a) Sabendo que a relação é de proporcionalidade inversa, escreva a expressão algébrica que relaciona a pressão ($y$) com o volume ($x$).
2. b) Calcule por meio da expressão algébrica que volume o recipiente deveria ter para que a pressão fosse reduzida a $1,5\ atmósferas$.
3. c) Represente graficamente a função para valores de volume entre $1$ e $12\ litros$.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Dois reservatórios de água idênticos, com $500$ litros de capacidade, encontram-se em situações diferentes. O reservatório A está cheio e esvazia a um ritmo constante de $8$ litros por minuto. O reservatório B contém $120$ litros e está enchendo a um ritmo constante de $12$ litros por minuto.

Chame de $t$ o tempo em minutos, contado a partir do momento em que começam a esvaziar e a encher, e de $y$ o volume de água em litros.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função volume-tempo de cada reservatório ($y_A$ e $y_B$).

1. b) Utilizando as expressões anteriores, calcule o instante exato em que ambos os reservatórios terão a mesma quantidade de água.

1. c) Que volume de água haverá em cada reservatório nesse instante?

Determine a expressão algébrica de uma função afim cujo gráfico é paralelo à reta que passa pelos pontos $P(1, 5)$ e $Q(3, 1)$, e que também intercepta o eixo das ordenadas ($Y$) no mesmo ponto que a função $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calcule primeiro o coeficiente angular da reta que passa por $P$ e $Q$.
2. b) Identifique o coeficiente linear de $g(x)$.
3. c) Escreva a expressão final da função solicitada.

Um grupo de alunos do 8º ano quer alugar um ônibus para uma excursão de fim de ano que custa $\text{R\$}\ 840$.

1. a) Escreva a expressão algébrica que relaciona o preço que cada aluno deve pagar ($y$) em função do número de alunos que confirmarem a participação ($x$).
2. b) Inicialmente $30$ alunos se inscrevem, mas uma semana antes $5$ cancelam a inscrição. Utilize a expressão algébrica para calcular quanto aumenta o preço para os alunos que de fato vão à excursão.
3. c) Se os alunos decidirem que não podem pagar mais de $\text{R\$}\ 35$ cada um, qual é o número mínimo de pessoas que devem ir para que a viagem seja realizada? Explique como obteve a resposta a partir da expressão algébrica.