Exercícios: Tabelas

Para conhecer a opinião sobre o uso de celulares na sala de aula, foi realizada uma pesquisa com $45$ estudantes de uma escola que tem um total de $600$ alunos. Indique quais são os elementos fundamentais deste estudo estatístico:

1. a) A população em estudo.

1. b) A amostra selecionada.

1. c) O indivíduo.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas com base nos dados de um aplicativo de música:

1. a) O gênero musical das músicas (Pop, Rock, Trap...).
2. b) O número de "curtidas" que uma playlist tem.
3. c) O tempo de duração de uma música em segundos.
4. d) O nome do artista ou grupo.
5. e) A capacidade de armazenamento ocupada pelo aplicativo no celular (em MB).

Um grupo de amigos anota o número de vezes que foi ao cinema no último mês. Os dados obtidos são:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.

Organize estes dados em uma tabela de frequências que inclua:

• A contagem (usando traços).

• A frequência absoluta ($f_i$).

Em uma turma do 9º ano, perguntou-se pelo esporte favorito dos alunos. Complete os valores que faltam na seguinte tabela de frequências:

Esporte	Frequência absoluta ($f_i$)	Frequência relativa ($h_i$)	Porcentagem (%)
Basquete	$6$	$0,24$	$24\%$
Futebol	$10$
Tênis	$4$	$0,16$
Natação		$0,20$	$20\%$
Total	$25$	$1,00$	$100\%$

Foi realizado um estudo sobre o número de livros lidos pelos alunos de um clube de leitura durante o verão. Observe a tabela e responda às perguntas utilizando as frequências acumuladas:

Livros lidos ($x_i$)	Alunos ($f_i$)	Frequência acumulada ($F_i$)
$0$	$2$	$2$
$1$	$5$	$7$
$2$	$8$	$15$
$3$	$6$	$21$
$4$	$4$	$25$

1. a) Quantos alunos leram exatamente $2$ livros?
2. b) Quantos alunos leram $2$ livros ou menos?
3. c) Qual é o número total de alunos que participam do estudo?

Para um estudo sobre o peso das mochilas dos estudantes, os dados foram agrupados em intervalos de $1$ kg. Calcule a marca de classe ($x_i$) para cada um dos intervalos da tabela:

Peso (kg)	Marca de classe ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
$[2, 3)$		$4$
$[3, 4)$		$12$
$[4, 5)$		$9$
$[5, 6)$		$5$

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de animais de estimação que as famílias de um bairro possuem. Por um erro, alguns dados da tabela foram apagados. Sabendo que foi entrevistado um total de $40$ famílias, calcule os valores que faltam:

Nº de Animais de Estimação	Famílias ($f_i$)	Frequência Relativa ($h_i$)
$0$	$12$	$0,30$
$1$		$0,45$
$2$	$7$
$3$	$3$	$0,075$
Total	$40$	$1,00$

Uma empresa de entregas estuda o peso dos pacotes que envia diariamente. Organizou a informação na seguinte tabela de frequências relativas acumuladas ($H_i$):

Peso (kg)	$f_i$	$h_i$	$H_i$
$[0, 2)$	$20$	$0,40$	$0,40$
$[2, 4)$	$15$	$0,30$	$0,70$
$[4, 6)$	$10$	$0,20$	$0,90$
$[6, 8)$	$5$	$0,10$	$1,00$

Responda às seguintes perguntas com base na tabela:

1. a) Qual porcentagem de pacotes pesa menos de $4$ kg?
2. b) Que frequência relativa representam os pacotes que pesam $6$ kg ou mais?
3. c) Qual é o número total de pacotes analisados neste estudo?

A Júlia realizou uma pesquisa com seus 25 colegas de turma sobre o número de celulares em desuso que guardam em casa. Após contar os dados, elaborou a seguinte tabela de frequências:

• Para $x_1 = 0$: $f_1 = 5$, $F_1 = 5$

• Para $x_2 = 1$: $f_2 = 10$, $F_2 = 15$

• Para $x_3 = 2$: $f_3 = 7$, $F_3 = 22$

• Para $x_4 = 3$: $f_4 = 3$, $F_4 = 25$

Ao apresentar o trabalho, a Júlia acrescenta duas conclusões em seu caderno:

1. «A soma da coluna de frequências acumuladas é $5 + 15 + 22 + 25 = 67$, o que significa que foram analisados 67 celulares no total».

2. «Como a frequência acumulada para 2 celulares é $F_3 = 22$, exatamente 22 alunos têm 2 celulares em desuso».

Identifique o erro conceitual que a Júlia comete em cada uma de suas duas afirmações, explique com clareza por que o raciocínio dela está errado, apoiando-se na definição matemática de frequência acumulada, e redija a interpretação correta que ela deveria ter dado aos números 25 e 22.

Numa turma do 3.º ano do ESO formada por 40 estudantes realiza-se um inquérito sobre o meio principal que utilizam para chegar à escola. Os resultados são: 20 vão a pé, 12 de autocarro, 6 de carro particular e 2 de trotinete elétrica.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo ou operação com decimais, estime de forma fundamentada:

• Que porcentagem exata representa o grupo dos que vão a pé em relação ao total da turma?

• A frequência relativa dos que vão de ônibus será maior, menor ou igual a $0,25$? Justifique comparando o número 12 com a quarta parte de 40.

• O grupo que vai de patinete elétrico superará os $10\,\%$ dos estudantes?

1. b) Construa a tabela de frequências calculando, para cada meio de transporte, a frequência absoluta ($f_i$), a frequência relativa ($h_i$) na forma de fração e decimal, e a porcentagem correspondente.

1. c) Verifique se as suas estimativas iniciais estavam corretas e confira numericamente se a soma de todas as frequências relativas cumpre a propriedade fundamental de totalizar a unidade.

Deseja-se realizar um estudo sobre o tipo de conteúdo mais visto em uma conhecida plataforma de streaming pelos adolescentes de uma cidade. Para isso, pergunta-se a $150$ estudantes de $3^\text{o}$ do Ensino Médio de três escolas diferentes escolhidas ao acaso. Identifique os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) População.

1. b) Amostra.

1. c) Indivíduo.

1. d) Tipo de variável estatística.

Um grupo de $25$ jovens anotou o número de vezes que foi ao cinema no último trimestre, obtendo os seguintes dados:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$

Organize esta informação em uma tabela de frequências que inclua: frequência absoluta ($n_i$), frequência relativa ($h_i$) e frequência percentual ($\%$).

Em uma pesquisa sobre o número de animais de estimação que as famílias de um bairro têm, obtiveram-se os resultados mostrados na seguinte tabela de frequências absolutas:

Nº de animais ($x_i$)	Nº de famílias ($n_i$)
$0$	$12$
$1$	$18$
$2$	$14$
$3$	$6$

Calcule a coluna das frequências absolutas acumuladas ($N_i$) e as frequências relativas acumuladas ($H_i$). Qual porcentagem de famílias tem no máximo $2$ animais de estimação?

Foi medido o tempo, em minutos, que $20$ alunos levam para ir de sua casa até a escola. Os dados são:

$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$

Construa uma tabela de frequências agrupando os dados em $5$ intervalos de mesma amplitude, começando em $5$ e terminando em $30$. Inclua na tabela as marcas de classe ($x_i$) e as frequências absolutas ($n_i$).

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Preencha os espaços da seguinte tabela de frequências de uma variável quantitativa discreta:

Dado ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. percentual ($\%$)
$1$	$8$	$0,20$
$2$		$0,35$
$3$	$12$
$4$			$15\%$
Total	$N=$	$1,00$	$100\%$

Em uma aula de Educação Física, perguntou-se aos alunos sobre seu esporte favorito fora do horário escolar. Os resultados são:

• Futebol: $12$ alunos.

• Basquete: $8$ alunos.

• Natação: $6$ alunos.

• Tênis: $4$ alunos.

Crie uma tabela que reúna as frequências absolutas e calcule os graus necessários para representar estes dados em um gráfico de setores (medida do ângulo central).

Um nutricionista analisa a quantidade de açúcar (em gramas) em cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrigerantes diferentes. Os resultados foram agrupados na seguinte tabela:

Quantidade de açúcar ($g$)	Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)
$[0, 4)$		$5$
$[4, 8)$		$12$
$[8, 12)$		$18$
$[12, 16]$		$5$

1. a) Complete a coluna de marcas de classe.
2. b) Calcule a coluna de frequências relativas ($h_i$).
3. c) Indique quantos refrigerantes têm $8$ gramas de açúcar ou mais.

Foi realizada uma pesquisa com os funcionários de um escritório sobre o número de idiomas que falam. Sabemos que $40\%$ fala apenas um idioma, $35\%$ fala dois idiomas, $20\%$ fala três idiomas e o restante fala quatro idiomas.

Se no escritório trabalha um total de $60$ pessoas, construa a tabela de frequências completa (absoluta, relativa e percentual). Quantas pessoas falam exatamente quatro idiomas?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Numa campanha ambiental organizada em um município, perguntou-se a uma amostra de $N = 50$ famílias quantos baldes ou recipientes de reciclagem seletiva têm em sua casa ($x_i$). No entanto, parte do relatório foi apagada e só se dispõe da seguinte informação:

• Os possíveis valores da variável são $1, 2, 3$ e $4$ baldes.

• A frequência relativa acumulada correspondente a 2 baldes ou menos é $H_2 = 0,64$.

• A porcentagem de famílias que têm 4 baldes é exatamente $12\,\%$.

• O número de famílias que têm 1 balde é o triplo do número de famílias que têm 2 baldes.

1. a) Deduza de forma fundamentada, passo a passo, a frequência absoluta ($f_i$) de cada um dos quatro valores da variável.
2. b) Elabore a tabela de frequências completa, que inclua: variável ($x_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$), porcentagem, frequência absoluta acumulada ($F_i$) e frequência relativa acumulada ($H_i$).
3. c) Utilizando a tabela obtida, determine que porcentagem das famílias da amostra recicla ativamente tendo pelo menos 3 baldes em casa.

A partir dos registros da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET), foram coletadas as temperaturas máximas diárias ($^{\circ}\text{C}$) de uma localidade do sul da Espanha durante os 31 dias do mês de julho. Os dados foram agrupados em quatro intervalos contíguos:

• Intervalo $[28, 32)$: 5 dias.

• Intervalo $[32, 36)$: 11 dias.

• Intervalo $[36, 40)$: 12 dias.

• Intervalo $[40, 44)$: 3 dias.

1. a) Justifique por que razão, neste estudo estatístico, é conveniente agrupar os dados em intervalos semiabertos $[a, b)$ com a sua correspondente marca de classe em vez de elaborar uma tabela com cada valor individual registrado.
2. b) Elabore a tabela de frequências completa do mês, incluindo para cada linha: intervalo, marca de classe ($c_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$) arredondada a três casas decimais, porcentagem e frequência absoluta acumulada ($F_i$).
3. c) Considera-se situação de aviso especial por calor quando a temperatura máxima atinge ou ultrapassa os $36\,^{\circ}\text{C}$. Utilizando as frequências da tabela, calcule quantos dias a localidade esteve em aviso e que porcentagem do mês essa situação representou.

Numa loja de videogames fizeram um estudo sobre o número de periféricos (controles, teclados, mouses) que os clientes compram numa única visita. No entanto, perdeu-se parte da informação da tabela de frequências. Sabemos que o estudo foi realizado sobre um total de $N = 80$ clientes.

Complete os dados que faltam na tabela sabendo que a frequência relativa acumulada de comprar 3 periféricos ou menos é de $0,875$.

Periféricos ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
1	24
2
3	16
4
5	6

Um laboratório de tecnologia está testando a duração em horas de uma nova bateria para drones. Agruparam os resultados em uma tabela de frequências de variável contínua, mas nos forneceram apenas as marcas de classe ($x_i$) e algumas frequências.

Sabe-se que todos os intervalos têm a mesma amplitude e que o limite inferior do primeiro intervalo é de $1,2$ horas. Reconstrua a tabela completa (intervalos, marcas de classe e frequências) sabendo que a frequência absoluta acumulada do terceiro intervalo é $42$ e que o total de drones testados é $N = 50$.

Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)
$1,45$	8
$1,95$	14
$2,45$
$2,95$
$3,45$	3

Para organizar um torneio de e-sports, a organização analisa o número de horas semanais que os jovens de um clube dedicam a treinar. A seguinte tabela de frequências relativas acumuladas ($H_i$) mostra a distribuição, mas faltam os dados das categorias centrais.

Sabendo que há o mesmo número de jovens treinando "De 5 a 10 horas", "De 10 a 15 horas" e "De 15 a 20 horas", e que o clube tem um total de $120$ sócios, calcule quantos sócios treinam exatamente em cada um dos intervalos da tabela.

Horas de treino	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
$[0, 5)$	$0,15$
$[5, 10)$
$[10, 15)$	$0,65$
$[15, 20)$
$[20, 25]$	$1,00$

Em um estudo sobre o consumo de água por residência em um condomínio, foram obtidos os seguintes dados de frequências acumuladas, mas as frequências absolutas individuais foram omitidas.

Consumo ($m^3$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)
$[0, 10)$	$12$
$[10, 20)$	$30$
$[20, 30)$	$65$
$[30, 40)$	$90$
$[40, 50]$	$100$

Foi decidido que as residências que consomem mais de $30 m^3$ paguem uma taxa extra. No entanto, após uma revisão, descobre-se que $10$ residências do intervalo $[20, 30)$ realmente consumiam $32 m^3$. Calcule a nova tabela de frequências relativas percentuais ($\%$) corrigida e determine qual porcentagem do total de residências deverá pagar a taxa extra no final.

Uma escola quer realizar uma pesquisa representativa sobre o uso de livros digitais. A escola tem $400$ alunos no 1º ano da ESO, $350$ no 2º ano da ESO, $300$ no 3º ano da ESO e $250$ no 4º ano da ESO. Querem extrair uma amostra de $130$ alunos por meio de uma amostragem aleatória estratificada com representação proporcional.

Desenhe a tabela da população total e, a partir dela, crie a tabela de frequências da amostra que indique quantos alunos de cada ano devem ser entrevistados. Qual é a frequência relativa dos alunos do 3º ano da ESO na amostra comparada com a da população total?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de animais de estimação em $200$ famílias. Os resultados são apresentados na seguinte tabela incompleta de frequências relativas ($h_i$).

Nº de Animais de Estimação	$h_i$
0	$0,35$
1	$x$
2	$y$
3	$0,12$
4 ou mais	$0,08$

Calcule os valores de $x$ e $y$ sabendo que a média do número de animais de estimação é exatamente $1,25$ (para o intervalo "4 ou mais" utilize o valor $4$ como marca de classe). Uma vez encontrados, construa a tabela de frequências absolutas completa.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma prefeitura analisa a idade dos usuários de um centro esportivo. Os dados dos primeiros $160$ usuários estão resumidos nesta tabela de frequências acumuladas:

Idade	$F_i$
$[0, 18)$	$40$
$[18, 35)$	$95$
$[35, 60)$	$140$
$[60, 85]$	$160$

Se durante a tarde se inscreverem $40$ novos usuários, todos eles pertencentes ao grupo de idade de $[18, 35)$, como varia a tabela de frequências relativas? Calcule a tabela de frequências relativas percentuais ($\%$) resultante após as novas inscrições e comente como essa mudança afetou a importância relativa do grupo de maiores de $60$ anos.

Dispõe-se da seguinte tabela de frequências de uma variável quantitativa discreta $X$ que representa o número de vezes que um grupo de alunos foi ao cinema este mês. No entanto, as frequências absolutas $f_2$ e $f_3$ foram apagadas.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$H_i$
0	5	5	$0,125$
1			$0,400$
2		31
3	9		$1,000$

Calcule o número total de dados ($N$) e as frequências que faltam para completar a tabela. Justifique cada passo utilizando as propriedades das frequências acumuladas e relativas.

Duas escolas de ensino secundário de uma mesma comarca querem comparar o hábito de leitura dos seus estudantes do 3.º de ESO através das horas semanais dedicadas à leitura recreativa. A escola A tem 120 alunos no 3.º de ESO e a escola B tem 200 alunos nesse mesmo ano. Para apresentar os resultados, o corpo docente debate duas decisões metodológicas fundamentais:

1. Decisão sobre o tipo de frequência: O professor da escola A propõe comparar diretamente as frequências absolutas ($f_i$) de ambas as escolas (por exemplo, quantos alunos leem mais de 4 horas por semana). A professora da escola B afirma que essa comparação carece de validade estatística e que é indispensável recorrer às frequências relativas ($h_i$) ou às porcentagens.

2. Decisão sobre o agrupamento: Parte da equipe quer mostrar cada valor inteiro separadamente ($0, 1, 2, \dots, 10$ horas semanais), enquanto outra parte propõe agrupar os dados em intervalos de amplitude 2: $[0, 2), [2, 4), [4, 6), \dots$

1. a) Justifique quem tem razão no debate sobre o tipo de frequência. Para isso, invente um caso numérico realista com os totais de ambas as escolas (120 em comparação com 200 alunos) em que uma escola tenha maior frequência absoluta em um intervalo, mas menor proporção real de leitores, demonstrando por que a frequência absoluta induz ao erro.
2. b) Avalie os dois métodos de organização da variável: que informação matemática exata se perde ao transformar os dados individuais em intervalos agrupados representados pela sua marca de classe, e que vantagem analítica se obtém em troca na hora de interpretar a amostra global?

Uma equipe do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza uma pesquisa sobre o gasto mensal em serviços digitais e conectividade em uma amostra de $N = 200$ famílias de um município. Os valores em reais foram agrupados em quatro intervalos de mesma amplitude: $[10, 30)$, $[30, 50)$, $[50, 70)$ e $[70, 90)$. Devido a uma falha de informática, no relatório final constam apenas as seguintes pistas estatísticas:

• A frequência relativa acumulada do terceiro intervalo é $H_3 = 0,90$.

• A porcentagem de famílias pertencentes ao primeiro intervalo de despesa ($[10, 30)$) supera em 10 pontos percentuais a porcentagem de famílias do intervalo mais elevado ($[70, 90)$).

• A frequência absoluta do segundo intervalo ($[30, 50)$) coincide exatamente com a média aritmética das frequências absolutas do primeiro e do terceiro intervalo.

1. a) Apresente, com fundamentação, as relações matemáticas e equações necessárias para deduzir a frequência absoluta ($f_i$) de cada um dos quatro intervalos.
2. b) Com os valores obtidos, construa a tabela de distribuição de frequências completa: intervalos, pontos médios ($c_i$), frequências absolutas ($f_i$), frequências relativas ($h_i$), frequências absolutas acumuladas ($F_i$) e porcentagens.
3. c) Um porta-voz dos moradores afirma: «Pela tabela, exatamente 60 famílias gastam 40 reais por mês em conectividade». Analise criticamente se essa afirmação é necessariamente verdadeira, falsa ou indeterminável apenas a partir das informações da tabela, explicando com rigor o que representa o ponto médio da classe e que limitação apresenta ao trabalhar com dados agrupados.