Exercícios: Representação dos dados

Classifique as seguintes variáveis estatísticas obtidas de uma pesquisa realizada em uma escola, indicando se são qualitativas ou quantitativas (neste último caso, especifique se são discretas ou contínuas):

1. a) O nome da rede social favorita de cada estudante.
2. b) O número de horas semanais que dedicam a jogar videogames.
3. c) A altura, medida em metros, dos jogadores do time de basquete.
4. d) O número de irmãos que cada aluno de uma turma tem.

Um grupo de $20$ adolescentes respondeu sobre qual é o seu gênero cinematográfico favorito. Os resultados são:

Ação, Comédia, Terror, Ação, Comédia, Ficção Científica, Terror, Ação, Ação, Comédia, Terror, Ficção Científica, Ação, Comédia, Terror, Ação, Ação, Ficção Científica, Comédia, Ação.

Crie uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) e faça um gráfico de barras para representar esses dados de forma clara.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Complete a seguinte tabela de frequências parcial sobre o número de vezes que um grupo de amigos foi ao cinema no último mês:

Filmes ($x_i$)	Frequência absoluta ($n_i$)	Frequência relativa ($h_i$)	Porcentagem ($\%$)
$0$	$4$	$0,20$	$20\%$
$1$	$8$
$2$	$5$	$0,25$
$3$		$0,15$	$15\%$
Total	$20$	$1,00$	$100\%$

O gráfico de setores a seguir mostra a distribuição dos $400$ alunos de uma escola segundo o idioma extracurricular que escolheram estudar. Observe o gráfico e responda:

1. a) Qual porcentagem de alunos estuda Alemão?
2. b) Quantos alunos no total estudam Inglês?
3. c) Qual é o idioma menos procurado?

Foi registrado o tempo (em minutos) que $15$ alunos levam para ir de casa até a escola. Os dados são os seguintes:

$12, 15, 8, 22, 10, 14, 18, 25, 11, 13, 20, 9, 15, 12, 17$.

Agrupe estes dados em uma tabela de frequências utilizando intervalos de classe de amplitude $5$, começando em $5$. Ou seja: $[5, 10), [10, 15), \dots$

A partir da seguinte tabela de intervalos, desenhe o histograma de frequências correspondente. Garanta que as barras fiquem encostadas umas nas outras para indicar que a variável é contínua.

Intervalo	Frequência ($f_i$)
$[5, 10)$	2
$[10, 15)$	5
$[15, 20)$	8
$[20, 25)$	6
$[25, 30)$	3

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um "influencer" registrou o número de novos seguidores que ganhou em cada dia durante uma semana:

Segunda-feira: $120$, Terça-feira: $150$, Quarta-feira: $130$, Quinta-feira: $180$, Sexta-feira: $210$, Sábado: $250$, Domingo: $230$.

Represente essa evolução por meio de um polígono de frequências. Para isso, coloque os pontos em um sistema de eixos coordenados (Dia, Seguidores) e una-os com segmentos de reta.

Indique qual é o tipo de gráfico estatístico mais adequado (Gráfico de barras, Histograma ou Gráfico de setores) para representar as seguintes situações:

1. a) Queremos comparar a porcentagem de reciclagem de vidro, papel e plástico em um bairro.
2. b) Queremos mostrar o número de faltas de cada aluno de uma turma (de $0$ a $5$ faltas).
3. c) Queremos representar o peso dos recém-nascidos em um hospital durante um mês (dados agrupados em intervalos).
4. d) Queremos comparar as preferências de $4$ marcas diferentes de refrigerantes entre os jovens de uma cidade.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Numa turma do 3.º de ESO estais a organizar os resultados de um projeto sobre hábitos dos alunos. Recolhestes informação sobre duas variáveis estatísticas diferentes:

• Variável A: O meio de transporte que cada estudante utiliza para ir para a escola (a pé, autocarro, bicicleta, carro da família).

• Variável B: A temperatura média exterior (em graus Celsius) registada no recreio às 11:30 h de cada dia letivo ao longo de três meses.

1. a) Para a Variável A, um colega propõe desenhar um histograma com barras contínuas unidas, enquanto tu propões um gráfico de barras separadas. Justifica fundamentadamente qual é a opção correta consoante a natureza da variável.
2. b) Para a Variável B, debate-se entre utilizar um gráfico circular ou um gráfico de linhas. Compara ambos os tipos de gráficos e argumenta qual é o mais adequado para analisar a tendência e evolução das temperaturas ao longo do tempo.

Num inquérito realizado aos $80$ alunos do 3.º de ESO de uma escola sobre o seu tipo de música preferido, $20$ deles escolheram «Música urbana». A Sofia quer representar estes dados num gráfico circular e realiza a seguinte operação no quadro para calcular a amplitude do setor correspondente:

$$\text{Ângulo} = \frac{20}{80} \cdot 100 = 25^\circ$$

A Sofia conclui que o setor de «Música urbana» deve ser desenhado com um ângulo de $25^\circ$.

1. a) Localiza e explica fundamentadamente o erro conceptual cometido pela Sofia. Que grandeza calculou ela na realidade ao multiplicar por $100$?
2. b) Corrige o seu procedimento aplicando a fórmula matemática adequada e calcula o ângulo central correto (em graus) que deve ter o setor correspondente à «Música urbana».

Um grupo de 30 adolescentes anotou quantas horas por semana dedica a ver séries em plataformas de streaming. Os dados obtidos são:

$4, 7, 5, 8, 10, 4, 6, 7, 5, 9, 12, 6, 8, 7, 5, 4, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 11, 4, 7, 6, 5, 8, 7, 6$.

1. a) Classifique a variável estatística.

1. b) Elabore uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($f_i$) e a frequência relativa ($h_i$).

1. c) Represente os dados por meio de um diagrama de barras.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizado um estudo sobre o tipo de transporte utilizado pelos alunos de uma escola para chegar à aula. Os resultados são mostrados no seguinte gráfico de setores, mas alguns dados foram apagados:

• O setor "A pé" ocupa um ângulo de $144^\circ$.

• O setor "Ônibus" representa $25\%$ dos alunos.

• O restante dos alunos vem de "Bicicleta".

1. a) Calcule a porcentagem de alunos que vêm a pé.
2. b) Determine o ângulo em graus correspondente ao setor "Ônibus" e ao setor "Bicicleta".
3. c) Se na escola há 600 alunos, quantos vêm em cada meio de transporte?

Um clube de atletismo registrou os tempos (em segundos) de seus integrantes em uma corrida de 400 metros rasos. Por ser uma variável contínua, eles foram agrupados nos seguintes intervalos: $[50, 55), [55, 60), [60, 65), [65, 70)$. As frequências absolutas são $4, 12, 18$ e $6$, respectivamente.

1. a) Construa a tabela de frequências incluindo a marca de classe de cada intervalo.
2. b) Desenhe o histograma de frequências.
3. c) Qual porcentagem de atletas levou menos de um minuto ($60$ segundos) para completar a corrida?

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

No teste de Língua, as notas obtidas por uma turma do 3.º ESO foram as seguintes:

Notas: $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.

1. a) Crie uma tabela de frequências com as frequências absolutas ($f_i$) e as frequências absolutas acumuladas ($F_i$).

1. b) Represente o diagrama de barras das notas e, a partir dele, o polígono de frequências absolutas (una com segmentos os pontos mais altos das barras).

1. c) Observando o polígono, entre quais notas a frequência cresce e quanto aumenta em cada trecho?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um influencer analisa o crescimento de seus seguidores em duas redes sociais distintas durante os últimos 5 meses. Os dados (em milhares de novos seguidores por mês) são:

• Rede A: $2, 5, 8, 12, 15$

• Rede B: $6, 7, 6, 8, 7$

1. a) Represente ambas as séries de dados em um mesmo gráfico de linhas (polígono de frequências). Utilize uma cor diferente para cada rede ou linha tracejada para uma delas.
2. b) Explique, com base na forma dos gráficos, qual das duas redes sociais tem um crescimento mais estável e qual tem uma tendência de alta mais clara.

Pesou-se a mochila de 40 estudantes na entrada da escola para um estudo de saúde. Os resultados foram organizados na seguinte tabela:

Peso (kg)	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
Estudantes ($f_i$)	$3$	$8$	$15$	$10$	$4$

1. a) Desenhe o histograma de frequências.

1. b) Trace, no mesmo gráfico, o polígono de frequências.

1. c) Quantos alunos levam uma mochila que pesa $6$ kg ou mais? Calcule a frequência relativa deste grupo (a fração do total que representa), expressa em decimal.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas inteligentes, foi medida a vida útil (em milhares de horas) de uma amostra de $100$ unidades. Sabe-se que:

• $20\%$ durou entre $10$ e $15$ mil horas.

• $50\%$ durou entre $15$ e $20$ mil horas.

• O restante durou entre $20$ e $25$ mil horas.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas e relativas.
2. b) Represente o histograma de frequências relativas. O que representa a área de cada retângulo neste caso?
3. c) Se uma lâmpada é considerada "excelente" se durar mais de $20$ mil horas, quantas lâmpadas da amostra o são?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

O departamento de meio ambiente de uma prefeitura quer representar o gasto de água mensal das famílias de um bairro. Coletaram os dados da última conta e os classificaram em metros cúbicos ($\text{m}^3$):

Consumo ($\text{m}^3$)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
Famílias ($f_i$)	$15$	$45$	$30$	$10$

1. a) Calcule a frequência relativa acumulada ($H_i$) para cada intervalo.

1. b) Represente os dados em um gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva).

1. c) Se a prefeitura decidir dar um desconto às famílias que consomem menos de $20\ \text{m}^3$, qual porcentagem da população do bairro essa medida beneficia?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Num estudo sobre mobilidade sustentável em um município espanhol, coletam-se os dados de $720$ deslocamentos diários de estudantes: $360$ são feitos a pé, $180$ em transporte público, $120$ em bicicleta ou patinete elétrico e $60$ em carro particular. Esses dados serão representados em um gráfico de setores.

1. a) Antes de calcular qualquer ângulo exato, estime de forma fundamentada a fração do círculo e a porcentagem que o deslocamento «a pé» ocupará e deduza se o seu ângulo será agudo, reto ou raso. Estime também se o setor dos «transportes públicos» ocupará um quadrante exato da circunferência ($90^\circ$).
2. b) Utilizando a fórmula $\text{Ângulo} = h_i \cdot 360^\circ$ (em que $h_i$ é a frequência relativa), calcule com exatidão o ângulo central, em graus, de cada uma das quatro modalidades de transporte.
3. c) Verifique se os seus cálculos confirmam as estimativas feitas no item a) e comprove matematicamente que a soma de todos os ângulos obtidos coincide com a medida de uma circunferência completa.

A equipe diretiva de uma biblioteca municipal analisou os empréstimos de livros juvenis realizados durante o último mês por meio de um gráfico de setores. No relatório final não incluíram o número total de empréstimos, mas sim os ângulos centrais das categorias registradas:

• História em quadrinhos e mangá: $144^\circ$

• Romance de aventuras: $108^\circ$

• Ficção científica: $72^\circ$

• Poesia e teatro: o setor restante.

Além disso, o registro no sistema indica que foram emprestados exatamente $54$ livros de «Romance de aventuras».

1. a) Calcule a medida em graus do ângulo central correspondente à categoria «Poesia e teatro».
2. b) Determine a frequência relativa ($h_i$) e a porcentagem que cada uma das quatro categorias de livros representa sobre o total de empréstimos.
3. c) A partir dos dados anteriores, descubra quantos livros juvenis foram emprestados no total durante o mês e reconstrua a frequência absoluta ($f_i$) de cada uma das quatro categorias.

Dois grupos do 3º ano do Ensino Médio registraram o tempo diário (em minutos) que dedicam a jogar videogames. Os resultados foram representados nos seguintes diagramas de caixa.

Analise os gráficos e responda justificadamente:

1. a) Qual é o tempo máximo de jogo no Grupo B? E o valor do terceiro quartil ($Q_3$) no Grupo A?
2. b) Em qual grupo os dados estão mais dispersos? Utilize a amplitude e a amplitude interquartil para justificar.
3. c) Se um aluno afirma que $75\%$ dos estudantes do Grupo B jogam mais tempo do que a mediana do Grupo A, ele está correto? Por quê?

Uma marca de refrigerantes realizou um estudo sobre quantas latas um grupo de adolescentes consome por semana. No entanto, a tabela de frequências ficou manchada e só é possível ler alguns dados das frequências relativas acumuladas ($H_i$):

Latas ($x_i$)	Freq. Absoluta ($f_i$)	Freq. Relativa Acum. ($H_i$)
0		$0,15$
1	$12$
2		$0,65$
3		$0,85$
4	$6$	$1,00$

Sabendo que o tamanho da amostra é de $40$ indivíduos:

1. a) Reconstrua a tabela de frequências completa (calculando $f_i$, $F_i$, $n_i$ e $H_i$).
2. b) Represente os dados por meio de um polígono de frequências acumuladas.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma prefeitura quer conhecer a opinião dos jovens sobre as novas pistas de skate. A população total é de $12.000$ jovens, distribuídos em três bairros: Centro ($5.000$), Norte ($4.000$) e Sul ($3.000$). Eles decidem obter uma amostra representativa de $600$ indivíduos por meio de uma amostragem aleatória estratificada.

1. a) Quantos jovens de cada bairro devem ser selecionados para que a amostra seja representativa?
2. b) Após realizar a pesquisa, obtém-se que $40\%$ no Centro, $60\%$ no Norte e $30\%$ no Sul estão "Muito satisfeitos". Represente estes resultados de satisfação por meio de um gráfico de barras comparativo (barras lado a lado).

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Observe o seguinte histograma que representa os batimentos cardíacos em repouso de um grupo de atletas. Tenha em mente que os intervalos não têm a mesma amplitude.

Neste tipo de gráfico, a frequência é proporcional à área da barra, não à sua altura. Se no intervalo $[40, 50)$ há $10$ atletas:

1. a) Quantos atletas há no total no estudo?
2. b) Construa a tabela de frequências agrupadas nos intervalos mostrados, indicando a marca de classe de cada um.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um criador de conteúdo nas redes sociais analisa a duração (em segundos) de seus últimos vídeos. Os dados obtidos são: $15, 42, 55, 12, 18, 30, 45, 95, 110, 20, 35, 48$.

1. a) Calcule a amplitude interquartil e identifique se existe algum valor atípico (aqueles que estão a uma distância maior que $1,5 \cdot \text{IQR}$ dos quartis).
2. b) Represente o diagrama de caixa (boxplot) marcando claramente, se houver, os valores atípicos com um ponto destacado.

Em um gráfico de setores mostra-se a distribuição dos tipos de resíduos coletados em uma campanha escolar de reciclagem (papel, plástico e vidro), em que o setor do papel mede $120^\circ$ e o do vidro mede $60^\circ$. Sabe-se que foi coletado um total de $180$ kg de resíduos.

1. a) Calcule o ângulo correspondente ao setor "Plástico".
2. b) Calcule quantos quilogramas de cada tipo de resíduo foram coletados.
3. c) Se no próximo ano se espera dobrar a quantidade de vidro à custa de reduzir o papel, mantendo o total de resíduos constante, como mudariam os graus do setor papel?

Foi publicado um gráfico em uma notícia sobre o aumento do preço do aluguel em uma cidade. Alguns críticos dizem que o gráfico é enganoso porque o eixo das ordenadas não começa em zero.

1. a) Segundo o gráfico, que porcentagem de aumento parece haver visualmente comparando a altura das barras (medida a partir do eixo horizontal)?

1. b) Calcule o aumento percentual real do preço do aluguel entre o ano 2022 ($800$ reais) e o de 2024 ($900$ reais).

1. c) Redesenhe mentalmente (ou descreva) como mudaria a percepção do aumento se o eixo $Y$ começasse em $0$ reais.

Uma estação meteorológica registrou as temperaturas máximas durante o mês de novembro. Ao agrupar os dados em intervalos, obteve-se o seguinte polígono de frequências:

Os valores do eixo $X$ são os pontos médios (marcas de classe) dos intervalos de amplitude $4^\circ\text{C}$.

1. a) Determine os intervalos de temperatura que foram utilizados.
2. b) Sabendo que os pontos representam a frequência absoluta ($f_i$), quantos dias o mês de novembro teve segundo este registro? O total de dias está correto?
3. c) Em qual intervalo de temperatura se encontra a moda?

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou a quantidade de chuva acumulada (em litros por metro quadrado, $\text{l/m}^2$) durante $50$ dias de tempestade em uma região agrícola. Por se tratar de uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos semiabertos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$ e $[40, 50]$. O número de dias registrado em cada intervalo foi $18$, $15$, $10$, $5$ e $2$, respectivamente.

1. a) Explique por que, para modelar estes dados, é necessário utilizar um histograma com retângulos adjacentes (unidos) e não um gráfico de barras separadas. Especifique com precisão que grandeza se representa no eixo horizontal ($X$) e qual no eixo vertical ($Y$).
2. b) Para construir o polígono de frequências associado, é necessário um ponto representativo de cada intervalo. Defina o conceito matemático de «ponto médio da classe», calcule o seu valor para cada um dos cinco intervalos e determine as coordenadas cartesianas $(x, y)$ dos pontos que seriam unidos para traçar o polígono.
3. c) Analise a forma do polígono de frequências resultante: a distribuição é simétrica em relação ao centro ou apresenta assimetria? Calcule que porcentagem acumulada dos dias de tempestade registrou menos de $20\text{ l/m}^2$ e interprete que implicação essa concentração de precipitação tem para o aproveitamento agrícola da região.

Um técnico municipal de esporte deve apresentar as estatísticas anuais de um complexo esportivo e propôs três gráficos preliminares para o relatório de gestão:

• Gráfico 1: Um histograma para representar o esporte principal praticado pelos usuários (futsal, natação, tênis, padel, ginástica).

• Gráfico 2: Um gráfico de barras separadas para mostrar a evolução do número de usuários diários que acessaram a academia ao longo das $52$ semanas do ano.

• Gráfico 3: Um gráfico de setores para representar a distribuição dos $1\,200$ sócios segundo o seu grupo etário: infantil ($180$ sócios), juvenil ($360$ sócios), adultos ($480$ sócios) e maiores de 65 anos ($180$ sócios).

1. a) Detecte e explique o erro metodológico cometido na escolha do Gráfico 1. Justifique por que é conceitualmente incorreto usar um histograma com essa variável e que tipo de gráfico se deve utilizar em substituição.
2. b) Compare a adequação do Gráfico 2 com a de um gráfico de linhas para mostrar os dados das $52$ semanas. Justifique qual das duas opções reflete melhor a continuidade temporal e permite identificar picos de afluência ou sazonalidade com maior clareza.
3. c) No Gráfico 3, calcule o ângulo central correspondente a cada um dos quatro grupos etários. Argumente se seria possível substituir esse gráfico de setores por um histograma de frequências, explicando que dificuldade técnica o grupo «maiores de 65 anos» apresenta no momento de definir a amplitude dos intervalos.