Exercícios: Parâmetros estatísticos

Em um estudo sobre o uso de redes sociais, perguntou-se a um grupo de adolescentes quantas horas por dia dedicam a assistir a vídeos no TikTok. Os resultados obtidos são:

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Identifique a população do estudo e calcule a moda das horas de uso.

Sete amigos comparam o número de mensagens não lidas em seu aplicativo de mensagens. Os dados são os seguintes:

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calcule a média aritmética ($\bar{x}$) do número de mensagens pendentes deste grupo.

Durante uma semana de treinamento, uma atleta registrou os quilômetros que correu a cada dia para se preparar para uma corrida:

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Determine a mediana ($Me$) da distância percorrida. Qual é o significado desse valor em relação ao total de dias treinados?

No gráfico a seguir, são mostradas as temperaturas máximas registradas em um abrigo de montanha durante os primeiros 5 dias de janeiro.

Sabendo que as temperaturas foram $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ e $5^\circ C$, calcule a amplitude da temperatura nesses dias.

Um professor organizou em uma tabela de frequências o número de erros de ortografia de seus alunos no último ditado:

Erros ($x_i$)	Nº de alunos ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calcule a média do número de erros da turma utilizando os dados da tabela.

Duas equipes de e-sports anotaram suas pontuações nas últimas 5 partidas.

• Equipe A: $85, 88, 90, 92, 95$

• Equipe B: $60, 75, 90, 105, 120$

Ambas as equipes têm a mesma média, $\bar{x} = 90$. Sem realizar cálculos complexos de desvio padrão, observe os dados e explique qual das duas equipes é mais regular (tem menor dispersão) e por quê.

Foi medida a altura de um grupo de estudantes do 9º ano e os dados foram ordenados do menor para o maior. Os valores dos quartis obtidos são:

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) Qual é o valor da mediana?
2. b) Qual porcentagem de alunos mede $172 \text{ cm}$ ou menos?

Observe a seguinte representação de um conjunto de dados sobre uma reta numérica. Os pontos representam o número de animais de estimação de vários vizinhos:

A partir do gráfico, escreva a lista de dados e calcule a moda ($Mo$) e a amplitude.

O Marcos quer calcular a mediana das notas que obteve em sete testes de Matemática ao longo do ano letivo: $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ e $2$. Na sua prova ele escreve a seguinte justificativa:

«Como são $7$ notas, a mediana é o dado que ocupa a posição central, ou seja, o quarto elemento da lista. Conto da esquerda para a direita e o quarto número é o $9$, logo a mediana é $Me = 9$».

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada que erro conceitual o Marcos cometeu.
2. b) Sem precisar calculá-la ainda, por que é impossível que a mediana desse conjunto de notas seja $9$?
3. c) Corrija o procedimento e calcule o valor real da mediana e da moda das notas dele.

Em uma competição escolar de atletismo, uma atleta de arremesso de peso registrou em suas cinco tentativas as seguintes distâncias (em metros): $8,1$; $8,3$; $8,0$; $8,4$ e $12,2$.

1. a) Estime: sem fazer operações por escrito, estime entre quais dois números inteiros se situará a média aritmética e raciocine se você acha que a mediana será maior, menor ou igual a essa média estimada. Justifique sua resposta observando como os valores se distribuem.
2. b) Verifique: calcule com exatidão a média ($\bar{x}$) e a mediana ($Me$) dos arremessos.
3. c) Avalie: compare os resultados com a sua estimativa inicial. Explique com suas palavras como o último arremesso ($12,2$ m) influenciou a média e por que quase não afetou a mediana.

Um grupo de 20 adolescentes anotou quantas vezes foi ao cinema nos últimos seis meses. Os dados obtidos são os seguintes:

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organize estes dados em uma tabela de frequências e calcule as medidas de tendência central: a média aritmética ($\bar{x}$), a mediana ($Me$) e a moda ($Mo$). Qual delas você considera que representa melhor o grupo?

Dois aplicativos de mensagem, "App A" e "App B", estão competindo para ser os mais estáveis. Foi medido o tempo de resposta (em milissegundos) em 10 tentativas distintas, obtendo-se os seguintes resultados:

• App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms

• App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms

Calcule o coeficiente de variação ($CV$) de ambos os aplicativos e explique de forma justificada qual dos dois é mais "confiável" ou regular em seu funcionamento para um usuário.

Um clube de e-sports registrou o tempo (em minutos) que seus sócios levam para completar um nível difícil de um videogame. Os resultados são mostrados nesta tabela de dados agrupados:

Tempo (min)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
Nº de jogadores	4	12	8	6

Calcule a média aritmética e o desvio padrão da distribuição utilizando as marcas de classe.

As notas de Larissa nas quatro primeiras provas de Matemática foram $6,5$, $4$, $8$ e $7,5$. Se ela ainda tem uma quinta prova para fazer, qual nota deve tirar para que sua média final seja exatamente $7$? Justifique sua resposta elaborando uma equação.

Foi realizado um inquérito sobre o número de horas semanais que os alunos do 3.º ESO dedicam a ler livros por prazer. Os parâmetros de posição obtidos são:

$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$

Desenhe o diagrama de caixa (box-plot) correspondente. Se um aluno lê 6 horas por semana, em que quarto da população ele se encontra (entre 0-25%, 25-50%, 50-75% ou 75-100%)?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma aula de Educação Física, foi medido o tempo de recuperação de dois grupos após uma corrida. Ambos os grupos têm a mesma média de batimentos cardíacos, $\bar{x} = 85$ ppm. No entanto, a variância do Grupo 1 é $S^2 = 16$ e a do Grupo 2 é $S^2 = 100$.

1. a) Calcule o desvio padrão de cada grupo.
2. b) Em qual dos dois grupos os alunos têm um estado físico mais similar entre si? Justifique sua resposta com base na dispersão.

Uma loja de roupas jovens quer analisar a idade de seus clientes. Para isso, seleciona uma amostra de 10 pessoas em um sábado de manhã:

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calcule a amplitude e a média de idade.
2. b) A mediana é $15,5$ anos. Se eliminarmos o cliente de 35 anos (que é considerado um valor discrepante), calcule a nova média e a nova mediana. Qual parâmetro mudou mais? Por que acha que isso acontece?

Observe os seguintes dois conjuntos de dados que representam os pontos obtidos por dois jogadores de basquete nos seus últimos 5 jogos:

• Jogador A: $18, 20, 22, 19, 21$

• Jogador B: $10, 30, 5, 25, 30$

Na figura você tem os mesmos dados representados sobre uma reta numérica (cada ponto é um jogo).

Sem realizar cálculos complexos de variância, observe os dados e responda:

1. Têm a mesma média aritmética?

2. Qual dos dois jogadores é mais "constante" nas suas pontuações?

3. Se você tivesse de escolher um para jogar o último minuto de uma final, qual escolheria e por quê? Use os conceitos de média e dispersão na sua resposta.

Uma equipe de pesquisa sociológica coleta um conjunto de $5$ números inteiros positivos que correspondem ao número de livros lidos por ano por um grupo reduzido de estudantes. Os dados originais foram extraviados, mas no relatório final os seguintes parâmetros se conservam intactos:

• A moda é única e é igual a $4$.

• A mediana é $5$.

• A amplitude ou intervalo de variação é $8$.

• A média aritmética é $7$.

Deduza de forma ordenada e fundamentada quais são os $5$ números originais. Justifique cada passo explicando qual propriedade estatística permite a você fixar ou descartar cada um dos valores.

Uma startup de design tecnológico em Salvador conta com uma equipe de $8$ pessoas. Seus salários mensais líquidos em reais são: $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ e $6\,600$ (este último corresponde à sócia fundadora).

1. a) Calcule a média aritmética, a mediana e a moda dos salários.
2. b) Em uma oferta de emprego, a empresa afirma: «O salário médio da nossa equipe é de $2\,000$ reais por mês». Por sua vez, os representantes dos trabalhadores argumentam que o salário mais representativo gira em torno de $1\,300$ reais–$1\,400$ reais. Compare ambos os métodos de centralização (média em relação à mediana): qual descreve com maior fidelidade a remuneração habitual da equipe? Justifique sua resposta analisando o impacto do salário atípico.
3. c) Para estudar a dispersão desses salários, propõem-se duas alternativas: calcular a amplitude total ou calcular a amplitude interquartil ($IQR = Q_3 - Q_1$). Justifique qual das duas medidas é preferível neste caso.

Em um grupo de $10$ amigos, a média de suas alturas é de $172$ cm. Se uma pessoa que mede $194$ cm entrar no grupo, qual será a nova média? Se depois outra pessoa que media $161$ cm sair, qual será a média final do grupo? Justifique passo a passo como cada mudança afeta a soma total das alturas para realizar o cálculo.

Dois jogadores de eSports, Alex e Bea, registraram suas pontuações nas últimas $8$ partidas de um torneio.

• Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calcule a média e o desvio padrão de ambos os jogadores.
2. b) Utilize o coeficiente de variação ($CV$) para determinar qual dos dois é um jogador mais regular e confiável para a equipe. Explique o que significa neste contexto um jogador ter um desvio padrão muito mais alto que o outro se suas médias fossem parecidas.

Uma empresa de entregas analisa o peso dos pacotes que transporta. Os dados foram agrupados na seguinte tabela de frequências por intervalos:

Peso em kg $[L_i, L_s)$	Nº de pacotes ($f_i$)
$[0, 2)$	$12$
$[2, 4)$	$25$
$[4, 6)$	$38$
$[6, 8)$	$15$
$[8, 10)$	$10$

Calcule a média aritmética, a variância e o desvio padrão da distribuição. Para isso, identifique primeiro as marcas de classe ($x_i$) de cada intervalo.

Observe o seguinte diagrama de caixa (box-plot) que representa as horas de uso semanais de um aplicativo móvel em uma amostra de adolescentes:

Com base no gráfico, responda:

1. a) Qual é o valor da mediana, do primeiro quartil ($Q_1$) e do terceiro quartil ($Q_3$)?
2. b) Calcule a amplitude interquartil ($RIC$).
3. c) Justifique se a distribuição é simétrica ou se apresenta assimetria. Em qual metade dos dados há maior dispersão?

Um professor corrigiu as provas de uma turma de $25$ alunos. A média resultou em $6,4$ e o desvio padrão em $1,2$. Após revisar uma das questões, ele decide aumentar $0,5$ pontos para todos os alunos da turma.

1. a) Qual será a nova média e o novo desvio padrão?
2. b) Se em vez de somar uma quantidade fixa ele decidisse aumentar todas as notas em $10\%$, como ambos os parâmetros seriam afetados? Justifique sua resposta com base nas propriedades dos parâmetros estatísticos.

Invente uma série de $6$ dados estatísticos (números inteiros positivos) que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições:

1. A moda é $4$.

2. A mediana é $5$.

3. A amplitude é $10$.

4. A média é maior que a mediana.

Mostre os cálculos que verifiquem que a sua série cumpre todos os requisitos.

Em uma pequena empresa, os salários dos $5$ funcionários são: $\text{R\$}\ 1100, \text{R\$}\ 1200, \text{R\$}\ 1250, \text{R\$}\ 1300$ e $\text{R\$}\ 1400$. O gerente tem um salário de $\text{R\$}\ 4500$.

1. a) Calcule a média e a mediana dos salários incluindo o gerente.
2. b) Qual das duas medidas representa melhor o salário "típico" da empresa? Explique o efeito que o salário do gerente (valor extremo) produz sobre a média e por que a mediana é um parâmetro mais robusto neste caso.
3. c) Se for desejado transmitir uma imagem de prosperidade na publicidade da empresa, qual parâmetro seria utilizado? Seria enganoso?

A partir de séries históricas da Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), registraram-se as precipitações anuais (em litros por metro quadrado, $\text{l/m}^2$) de duas cidades espanholas durante cinco anos representativos:

• Vigo: $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Almería: $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calcule a média ($\bar{x}$), a variância ($s^2$) e o desvio padrão ($s$) das precipitações de cada cidade.
2. b) Uma pessoa afirma: «O volume de chuva em Vigo é muito mais irregular do que em Almería porque o seu desvio padrão é praticamente o dobro». Utilize o coeficiente de variação ($CV = s / \bar{x}$) expresso em porcentagem para refutar ou defender com rigor matemático esta afirmação.
3. c) Justifique por que razão neste estudo é metodologicamente correto utilizar o coeficiente de variação com as precipitações em $\text{l/m}^2$, enquanto não faria sentido matemático aplicá-lo diretamente às temperaturas médias anuais medidas em graus Celsius ($^\circ\text{C}$).

Uma cooperativa de arroz do Pantanal embala pacotes de arroz cujo peso nominal está estabelecido em $1\,000$ g. Para verificar a calibragem de duas linhas de embalagem, o controle de qualidade coleta uma amostra de $5$ pacotes de cada máquina:

• Máquina A: $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (em gramas).

• Máquina B: foram registrados quatro pacotes com pesos de $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (em gramas), mas o peso do quinto pacote não foi anotado devido a uma falha no sistema.

1. a) Deduza qual deve ser o peso do quinto pacote da Máquina B para que ambas as linhas tenham exatamente a mesma média aritmética de $1\,000$ g.
2. b) Com o valor deduzido, calcule o desvio padrão ($s$) e o coeficiente de variação percentual ($CV_{\%}$) de cada uma das duas máquinas.
3. c) O protocolo de qualidade da fábrica exige que o coeficiente de variação de uma embaladora não ultrapasse $1\%$. Emita um parecer fundamentado sobre se ambas as máquinas cumprem a norma e explique que prejuízos econômicos ou comerciais sofreria a cooperativa se utilizasse a máquina mais dispersa, apesar de a sua média ser exatamente de $1\,000$ g.