Exercícios: Volume

Para um projeto da turma, é preciso estimar quanta água cabe em uma mochila escolar. Supondo que a mochila tenha uma capacidade de $18.500 \text{ cm}^3$, quantos litros de água ela poderia conter se fosse totalmente impermeável?

Lembre-se de que $1 \text{ dm}^3$ é equivalente a $1 \text{ litro}$.

Foi comprado um novo smartphone e deseja-se calcular o volume de sua caixa para saber quanto espaço ocupará na prateleira. A caixa é um paralelepípedo reto-retângulo (prisma retangular) com as seguintes dimensões: $16 \text{ cm}$ de comprimento, $9 \text{ cm}$ de largura e $5 \text{ cm}$ de altura. Calcule seu volume em $\text{cm}^3$.

Uma famosa marca de refrigerantes utiliza latas cilíndricas para suas bebidas. Se o raio da base da lata é de $3 \text{ cm}$ e sua altura é de $12 \text{ cm}$, calcule o volume de refrigerante que a lata pode conter. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Em um acampamento com amigos, há uma barraca com a forma de um prisma triangular reto. A base da barraca (o chão) é um triângulo de $2 \text{ m}$ de base e $1,5 \text{ m}$ de altura. Se a barraca tem um comprimento (profundidade) de $3 \text{ m}$, qual é o volume de ar dentro da barraca?

Há um peso de papel de vidro com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A área de sua base quadrada é de $25 \text{ cm}^2$ e a altura da pirâmide é de $9 \text{ cm}$. Calcule o volume de vidro necessário para fabricar esse peso de papel.

Para uma festa de aniversário, foram fabricados chapéus de cartolina em forma de cone. Se cada chapéu tem um raio de $8 \text{ cm}$ e uma altura de $15 \text{ cm}$, que volume de ar fica "preso" dentro do chapéu quando alguém o usa? (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Uma bola de pingue-pongue tem raio de $2 \text{ cm}$. Calcule o volume da bola de pingue-pongue em $\text{cm}^3$. (Utilize a fórmula do volume da esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ e considere $\pi \approx 3,14$).

No laboratório de ciências há um pequeno aquário com forma de paralelepípedo reto-retângulo. Suas medidas são $40 \text{ cm}$ de comprimento, $20 \text{ cm}$ de largura e $25 \text{ cm}$ de altura. Se o enchermos de água até uma altura de $20 \text{ cm}$, quantos litros de água teremos colocado?

A Júlia quer calcular o volume de uma vela aromática com forma cilíndrica. A vela mede $10\text{ cm}$ de diâmetro e $12\text{ cm}$ de altura. No caderno dela, escreveu a seguinte resolução:

1. a) Localize e explique detalhadamente que erro conceitual a Júlia cometeu no raciocínio dela.
2. b) Corrija o desenvolvimento e calcule o volume real correto de cera que a vela contém (use $\pi \approx 3,14$).
3. c) Se a Júlia usasse o resultado errado para encomendar a cera da fábrica, quantas vezes mais material do que o necessário ela teria pedido? Justifique a sua resposta a partir da fórmula do volume, sem precisar refazer operações com decimais.

Um fabricante de bolas produz bolas de basquete do tamanho 7, que têm forma esférica com um raio de $12\text{ cm}$. Para a distribuição, cada bola cheia é embalada em uma caixa cúbica individual na qual cabe de forma exata (com arestas de $24\text{ cm}$).

1. a) Antes de calcular o volume da esfera, estime mentalmente o volume da caixa cúbica em litros (lembre-se de que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro} = 1.000\text{ cm}^3$). A partir desse valor, faça uma estimativa fundamentada: você acha que a bola ocupará mais ou menos da metade do volume da caixa?
2. b) Calcule o volume exato da bola esférica aplicando a fórmula correspondente (use $\pi \approx 3,14$) e expresse-o em litros, arredondando para os centésimos.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta calculando que porcentagem exata do volume da caixa a bola realmente ocupa. O que você pensa sobre o espaço de ar que fica desperdiçado no transporte?

Uma conhecida marca de milk-shakes projetou uma nova embalagem cilíndrica para sua edição limitada de verão. A lata tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma altura de $15\text{ cm}$. Se o fabricante indica que o milk-shake ocupa $90\%$ da capacidade total da embalagem para deixar espaço para o ar, calcule quantos mililitros ($ml$) de produto contém cada lata.

Decidiu-se construir um formigueiro de gel para um projeto de ciências. O recipiente tem a forma de um paralelepípedo retangular (prisma retangular) com dimensões de $25\text{ cm}$ de comprimento, $10\text{ cm}$ de largura e $18\text{ cm}$ de altura. Se o gel é vendido em potes de $0,5\text{ litros}$, quantos potes completos será necessário comprar para encher o formigueiro até uma altura de $15\text{ cm}$?

Uma empresa de perfumes lança uma fragrância em um frasco com a forma de um cone reto. O raio da base é de $3\text{ cm}$ e a geratriz mede $5\text{ cm}$. Calcule o volume de perfume que cabe no frasco expresso em centímetros cúbicos. Ajuda: primeiro encontre a altura do cone usando o teorema de Pitágoras.

Em um museu de ciências, há uma exposição interativa com uma esfera de vidro cheia de um gás nobre. Se o diâmetro da esfera é de $60\text{ cm}$, qual é o volume de gás em seu interior? Expresse o resultado em metros cúbicos ($m^3$).

Um silo de armazenamento de grãos tem uma forma composta: um corpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura e uma cúpula semiesférica na parte superior. Se o raio da base é de $4\text{ m}$, calcule a capacidade total do silo em hectolitros ($hl$).

Para um evento de videogames, foi projetado um troféu que consiste em uma pirâmide quadrangular regular de bronze. O lado da base quadrada mede $12\text{ cm}$ e a aresta lateral (a que une o vértice a um canto da base) mede $10\text{ cm}$. Calcule o volume de bronze necessário para fabricar um troféu.

O princípio de Cavalieri afirma que dois corpos com a mesma altura e cujas seções a uma mesma distância da base têm a mesma área possuem o mesmo volume. Compare um prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura e $30\text{ cm}^2$ de área da base com um cilindro da mesma altura e a mesma área da base. Se despejarmos $0,5\text{ litros}$ de água em cada um, qual encherá primeiro? Justifique sua resposta calculando o volume de ambos.

Uma piscina municipal com forma de prisma retangular tem capacidade de $1200\text{ m}^3$. Sabendo que o comprimento da piscina é de $50\text{ metros}$ e a largura é de $12\text{ metros}$, calcule a profundidade (altura) da piscina. Se a prefeitura decidir enchê-la apenas até $4/5$ de sua capacidade por segurança, quantos litros de água haverá na piscina?

Um sorveteiro artesanal de Maceió quer encomendar o desenho de um novo molde cônico para servir sorvete. Estabeleceu que o molde deve ter uma capacidade exata de $200\text{ ml}$ quando estiver completamente cheio até a borda (lembre-se de que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Por motivos de estabilidade na mesa, decidiu também que a altura do cone deve ser exatamente quatro vezes o raio da sua base circular ($h = 4r$).

1. a) Escreva a fórmula do volume do cone substituindo a altura $h$ pela expressão $4r$ e simplifique-a para que dependa unicamente do raio $r$.
2. b) Formule a equação correspondente igualando a fórmula anterior ao volume pretendido ($200\text{ cm}^3$) e determine o valor do raio $r$ e da altura $h$. Arredonde as dimensões às décimas de centímetro (use $\pi \approx 3,14$).
3. c) Faça a verificação: calcule o volume do cone com as medidas que você obteve e confirme que se obtém um valor próximo dos $200\text{ ml}$ pretendidos (a pequena diferença deve-se ao arredondamento).

De acordo com os registros de uma estação meteorológica da AEMET na província de Alicante, durante um episódio de chuvas torrenciais acumulou-se uma precipitação de $75\text{ l/m}^2$ (litros por metro quadrado). Um viveiro agrícola da região dispõe de uma cobertura plana de policarbonato de $20\text{ m}$ de comprimento por $8\text{ m}$ de largura que recolhe toda a água da chuva e a canaliza integralmente para uma cisterna cilíndrica de $3\text{ m}$ de diâmetro interno e $4\text{ m}$ de profundidade, a qual se encontrava totalmente vazia antes da tempestade.

1. a) Modele a situação e calcule o volume total de água da chuva (tanto em litros como em metros cúbicos) recolhido pela cobertura da estufa.
2. b) Determine a altura, em metros, que a água atingirá dentro da cisterna após o término do episódio (use $\pi \approx 3,14$ e arredonde para duas casas decimais).
3. c) Interprete o resultado obtido: existe risco de a cisterna transbordar? Se não houver, quantos litros adicionais teriam sido necessários para enchê-la por completo?

Um designer criou um troféu para um torneio de eSports com uma forma geométrica complexa. O troféu consiste em um prisma quadrangular regular de madeira sobre o qual se apoia uma pirâmide quadrangular regular de metal. A aresta da base comum mede $12\text{ cm}$. A altura do prisma é de $20\text{ cm}$, e sabemos que a aresta lateral da pirâmide mede $10\text{ cm}$. Calcule o volume total do troféu em decímetros cúbicos ($dm^3$).

Uma peça industrial de aço tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aliviar seu peso, foi feito um orifício cilíndrico que atravessa a peça de cima a baixo pela sua face maior. O raio do cilindro é de $2\text{ cm}$. Sabendo que a densidade do aço é de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcule a massa total da peça em quilogramas. (Considere $\pi \approx 3,14$).

No laboratório de física, os alunos submergem completamente uma esfera de chumbo em um recipiente cilíndrico cheio de água até a metade. O raio do recipiente é de $10\text{ cm}$. Ao introduzir a esfera, o nível da água sobe exatamente $4,5\text{ cm}$ sem transbordar. Qual é o raio da esfera de chumbo? Expresse o resultado em centímetros com duas casas decimais.

Um reservatório de água tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As arestas das bases medem $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$, respectivamente. A altura do reservatório é de $3\text{ m}$. Se o reservatório está cheio até três quartos de sua altura (ou seja, a água atinge $2,25\text{ m}$ a partir da base), quantos litros de água ele contém? (Nota: Você terá que usar a semelhança para encontrar o lado da superfície da água).

Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta lateral mede $13\text{ cm}$ e o lado da sua base mede $10\text{ cm}$. Lembre-se de que, em um hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado. Expresse o resultado em $cm^3$, arredondando para as unidades.

Um fabricante de sorvetes quer comparar dois recipientes. O primeiro tem a forma de um cone com $6\text{ cm}$ de raio e $15\text{ cm}$ de altura. O segundo é um cilindro com o mesmo raio e a mesma altura, mas dentro contém uma semiesfera de chocolate que ocupa a parte inferior. Se o raio da semiesfera também é de $6\text{ cm}$, qual dos dois recipientes tem maior volume disponível para o sorvete de baunilha? Justifique a resposta realizando os cálculos.

Deseja-se construir uma rampa de concreto para uma pista de skate. A rampa tem a forma de um prisma reto cuja base é um trapézio retângulo. As bases do trapézio medem $3\text{ m}$ e $1\text{ m}$, e sua altura (comprimento da base da rampa no solo) é de $5\text{ m}$. Se a largura da rampa é de $4\text{ m}$, calcule quantos metros cúbicos de concreto são necessários e o custo total se o preço for de $95\text{ \text{R\$}\ /m}^3$.

Uma empresa de perfumes vende sua fragrância principal em um frasco que consiste em um cilindro de vidro de $4\text{ cm}$ de diâmetro e $10\text{ cm}$ de altura, coberto por uma tampa em forma de cone com a mesma base e $3\text{ cm}$ de altura. Se o frasco é preenchido apenas até $85\%$ de sua capacidade total para deixar espaço para o ar, quantos mililitros ($ml$) de perfume contém cada frasco? (Considere $\pi \approx 3,1416$).

Uma oficina mecânica precisa fabricar peças maciças de bronze com a forma de um prisma reto de base hexagonal regular. A altura da peça é de $15\text{ cm}$, o lado do hexágono da base mede $8\text{ cm}$ e o apótema da base mede aproximadamente $6,93\text{ cm}$. Dois estagiários propõem dois métodos para calcular o volume de metal:

• Método 1 (Marcos): Calcula a área do hexágono com a fórmula habitual do polígono regular ($A = \frac{perímetro \cdot apótema}{2}$) e a multiplica pela altura do prisma.

• Método 2 (Sara): Divide mentalmente o prisma hexagonal em $6$ prismas triangulares retos idênticos cuja base é um triângulo de base $8\text{ cm}$ e altura $6,93\text{ cm}$, calcula o volume de um deles e o multiplica por $6$.

1. a) Aplique numericamente ambos os métodos e verifique se levam exatamente ao mesmo resultado.
2. b) Justifique algebricamente por que ambos os métodos são matematicamente equivalentes, analisando as suas fórmulas gerais.
3. c) No desenho final, decide-se perfurar a peça de cima a baixo com um orifício cilíndrico central de $4\text{ cm}$ de diâmetro para aliviar o peso. Qual dos dois métodos se adapta de forma mais direta, conceitualmente, para calcular o volume de metal restante? Explique a sua escolha e calcule o volume final da peça perfurada (use $\pi \approx 3,14$).

Numa cooperativa de Minas Gerais projeta-se um silo metálico para armazenar cereais. O corpo principal é um cilindro vertical de $4\text{ m}$ de raio na sua base e $12\text{ m}$ de altura, arrematado no topo por uma tremonha cônica cujo raio coincide com o do cilindro e cuja geratriz mede $5\text{ m}$.

1. a) Desenhe mentalmente a seção da cobertura cônica, identifique o triângulo retângulo formado pelos seus elementos e utilize o teorema de Pitágoras para deduzir a altura exata do cone superior.
2. b) Sabendo que a densidade aparente do trigo seco é de $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ toneladas por metro cúbico), calcule a massa máxima de trigo em toneladas que o silo pode comportar totalmente cheio (cilindro e cone juntos). Use $\pi \approx 3,14$.
3. c) O responsável pelo silo afirma: «Como a altura do cone é um quarto da altura do cilindro, o cone deve contribuir com aproximadamente $25\%$ do volume total do silo». Analise matematicamente esta afirmação calculando a porcentagem real que o volume do cone representa em relação ao volume total e explique com argumentos geométricos por que razão o raciocínio do responsável está incorreto.