Exercícios: Corpos redondos

Imagine que você é um designer gráfico e está criando um logotipo em 3D. Para isso, você faz girar um retângulo de $5 \text{ cm}$ de base e $12 \text{ cm}$ de altura em torno de um dos seus lados mais compridos (o lado de $12 \text{ cm}$), como mostra a figura.

1. a) Desenhe o corpo de revolução que se obtém.

1. b) Identifique como se chamam os seus elementos principais (base e altura) e indique quanto mede cada um.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Para uma festa à fantasia, você quer fazer um chapéu cônico. Você mediu o raio da base, que é de $9 \text{ cm}$, e a altura do chapéu, que será de $12 \text{ cm}$. Utilize o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da geratriz ($g$) de que precisará para traçar a planificação na cartolina.

Uma famosa marca de batatas fritas utiliza tubos cilíndricos. Se o raio da base do tubo é de $4 \text{ cm}$ e a altura dele é de $20 \text{ cm}$, calcule a área do rótulo de papel que envolve lateralmente o tubo (área lateral). Considere $\pi \approx 3,14$.

Uma bola de basquete tem um diâmetro de $24 \text{ cm}$. Qual é a superfície total de couro necessária para fabricá-la? Lembre-se de que o raio é a metade do diâmetro e utilize a fórmula da área da esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Use $\pi \approx 3,14$).

Uma lata de refrigerante tem forma cilíndrica. O raio da base dela mede $3 \text{ cm}$ e a altura é de $12 \text{ cm}$. Calcule o volume de refrigerante que ela pode conter se for preenchida por completo. Expresse o resultado em centímetros cúbicos ($cm^3$).

Observe as três figuras planas A, B e C. Cada uma gira uma volta completa em torno do eixo tracejado que tem desenhado. Identifique qual delas dá origem a um tronco de cone. Explique brevemente por que você escolheu essa opção.

Uma casquinha de sorvete tem forma de cone. Se a área da base é de $25 \text{ cm}^2$ e a altura da casquinha é de $10 \text{ cm}$, calcule o seu volume. Lembre-se de que o volume de um cone é a terça parte do volume de um cilindro com a mesma base e altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

Em uma aula de geografia, observamos um globo terrestre. Se sabemos que o comprimento do equador (circunferência máxima) é de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, qual é o raio dessa esfera? (Utilize $\pi \approx 3,14$).

O Marcos está desenhando um chapéu de festa com a forma de um cone para o aniversário da sua irmã. No caderno, ele anota o seguinte: «O raio da base circular é $r = 5\text{ cm}$ e a altura do chapéu é $h = 12\text{ cm}$. Portanto, para traçar o molde de cartolina preciso que a geratriz meça exatamente $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, já que a geratriz une a borda da base com a ponta do cone somando ambas as distâncias».\n\na) Explique de maneira fundamentada qual erro conceitual o Marcos cometeu sobre a geometria interna do cone. Qual figura geométrica plana relaciona realmente $r$, $h$ e $g$?\nb) Corrija o cálculo dele determinando o comprimento real que a geratriz $g$ do chapéu deve ter.

Uma queijaria artesanal de Minas Gerais produz queijos com a forma de um cilindro reto. Cada peça inteira tem um diâmetro de $20\text{ cm}$ (raio $r = 10\text{ cm}$) e uma altura de $8\text{ cm}$. Para preparar uma degustação, o mestre queijeiro faz um corte plano limpo e vertical que passa de cima a baixo exatamente pelo centro das bases.\n\na) Antes de fazer qualquer cálculo numérico, estime que figura geométrica plana aparecerá na superfície de corte e se a sua área será maior, menor ou igual a $100\text{ cm}^2$. Justifique a sua previsão a olho nu a partir das dimensões dadas.\nb) Calcule com exatidão as medidas dos lados dessa seção plana e a sua área real. Verifique se a sua estimativa estava correta e explique por que um corte perpendicular às bases que passa pelo eixo produz sempre essa figura geométrica.

Uma empresa de refrigerantes quer projetar uma nova lata cilíndrica. O raio da base deve ser de $3,5\text{ cm}$ e a altura da lata de $12\text{ cm}$. Calcule a área total da chapa necessária para fabricar uma lata (sem contar as abas de fechamento) e o volume de refrigerante que ela pode conter em mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Está sendo fabricada uma tenda provisória para um evento com a forma de um cone perfeito. A altura da tenda desde o chão até o vértice superior é de $4\text{ m}$ e o diâmetro da base circular é de $6\text{ m}$. Quantos metros quadrados de lona foram necessários para cobrir apenas a parte lateral da tenda? (Dado: Primeiro você deverá encontrar a geratriz usando o Teorema de Pitágoras).

Uma famosa marca de chocolates vende seus bombons em uma caixa com a forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diâmetro. Se a caixa está cheia até $75\%$ de sua capacidade com chocolate líquido, quantos centímetros cúbicos de chocolate há em seu interior? Expresse o resultado arredondando para as centésimas.

Calcule o volume de uma peça de madeira que foi formada unindo um cilindro e uma semiesfera (meia esfera). O cilindro tem uma altura de $10\text{ cm}$ e o raio da sua base é de $4\text{ cm}$. A semiesfera se apoia exatamente sobre a base superior do cilindro.

Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone. A casquinha tem uma profundidade (altura) de $12\text{ cm}$ e o raio da abertura é de $3\text{ cm}$. Se o sorvete enche o interior da casquinha e além disso sobressai uma bola perfeita na parte superior que tem o mesmo raio do cone, calcule o volume total de sorvete.

Observe a planificação de um cilindro. Sabe-se que a área de uma de suas bases circulares é de $28,26\text{ cm}^2$ e que a altura do retângulo lateral é de $10\text{ cm}$. Calcule:

1. a) O raio da base.
2. b) A área lateral do cilindro.
3. c) A área total.

(Use $\pi \approx 3,14$).

Um reservatório de água tem a forma de um cilindro com uma altura de $5\text{ m}$. Se quisermos que o reservatório tenha uma capacidade de $100.000\text{ litros}$, qual raio deve ter a base do reservatório? (Lembre-se de que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litros}$). Arredonde o raio para duas casas decimais.

Corta-se uma esfera de madeira de $13\text{ cm}$ de raio por um plano horizontal. Se a distância do centro da esfera até o corte é de $5\text{ cm}$, qual é o raio do círculo que se forma na seção do corte? (Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que se forma).

Numa aula de Artes se modelam figuras de revolução com barro. Ao cortar um cone reto com um fio esticado, por meio de um corte plano vertical que passa pelo seu vértice superior e divide a base circular em duas metades simétricas, a superfície de corte que fica à vista é um triângulo isósceles de $120\text{ cm}^2$ de área cuja base mede $16\text{ cm}$.\n\na) Reconstrua as medidas do cone original: deduza de forma fundamentada quanto medem o raio $r$ da sua base e a sua altura $h$, explicando a qual elemento do cone corresponde cada lado e cada dimensão do triângulo observado.\nb) Calcule a medida exata da geratriz $g$ desse cone.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) utiliza em muitas de suas estações pluviômetros com um funil receptor cônico para coletar a água da chuva. A abertura circular superior do funil tem um diâmetro de $24\text{ cm}$ (raio $r = 12\text{ cm}$) e sua geratriz mede $15\text{ cm}$.\n\na) Modele a seção vertical do funil identificando o triângulo retângulo característico e calcule a profundidade total (altura $h$) do cone.\nb) Durante um episódio de chuva, a água acumulada enche o funil até atingir uma altura de $4,5\text{ cm}$ a partir do vértice inferior (ou seja, exatamente a metade de sua altura total). Raciocine geometricamente: que figura forma a superfície livre da água? Argumente por que seu raio deve ser exatamente a metade do raio da abertura superior ($6\text{ cm}$).

Uma empresa de design de interiores fabrica cúpulas para luminárias com a forma de tronco de cone. O raio da base superior é de $12\text{ cm}$, o da base inferior é de $20\text{ cm}$ e a altura da cúpula é de $15\text{ cm}$. Se o material especial de tecido custa $18,50\text{ \text{R\$}\ /m}^2$, calcule o custo do material necessário para fabricar 25 cúpulas iguais (leve em consideração que a cúpula não tem bases, é apenas a superfície lateral).

Um rolo compactador de aço tem a forma de um cilindro com um diâmetro de $1,2\text{ metros}$ e um comprimento de $2,5\text{ metros}$. O aço tem uma densidade de $7850\text{ kg/m}^3$. Se o rolo é oco e a espessura do aço é de $10\text{ cm}$ em todo o seu contorno (exceto nas faces laterais, que são consideradas desprezíveis), calcule a massa total do rolo em toneladas.

Deseja-se construir um reservatório para cereais que consiste em um corpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura e $3\text{ m}$ de raio, finalizado em sua parte inferior por um cone do mesmo raio e uma geratriz de $5\text{ m}$ para facilitar o descarregamento. Calcule o volume total de armazenamento do reservatório e a superfície total de chapa necessária para fabricá-lo (incluindo a tampa superior plana do cilindro).

Uma esfera de vidro de $15\text{ cm}$ de raio é introduzida em um recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diâmetro que contém água. Se a esfera for submersa completamente até o fundo, quantos centímetros o nível da água subirá no recipiente? Expresse o resultado arredondando para as centésimas.

Calcule a área da superfície de uma "casquinha de sorvete" composta por um cone reto de $12\text{ cm}$ de altura e $5\text{ cm}$ de raio da base, coroada por uma semiesfera perfeita que se encaixa exatamente na base do cone. Se quisermos embrulhar o sorvete (cone e semiesfera) com um papel protetor, qual superfície mínima de papel precisaremos?

Uma esfera de madeira de $20\text{ cm}$ de raio foi cortada por um plano situado a $12\text{ cm}$ do centro. Ao separar os dois fragmentos, obtêm-se duas calotas esféricas. Calcule a área total (superfície curva mais a base circular plana do corte) da calota esférica menor.

(Dica: utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar o raio do círculo da seção).

Um frasco de perfume tem a forma de um cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. No seu interior, o vidro tem uma forma cônica invertida que chega exatamente até o fundo e cuja base coincide com a tampa do cilindro. Se o raio do frasco é de $3\text{ cm}$, calcule qual porcentagem do volume total do cilindro está ocupada pelo perfume quando o frasco está cheio. Essa porcentagem depende do raio e da altura escolhidos? Justifique sua resposta.

Gera-se um corpo de revolução fazendo girar um triângulo retângulo de catetos $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$ em torno de sua hipotenusa.

1. a) Descreva o corpo resultante (pode desenhá-lo).
2. b) Calcule a área total da superfície do corpo gerado.

(Ajuda: O corpo é formado por dois cones unidos pela base. Você precisará calcular a altura do triângulo relativa à hipotenusa).

Uma oficina de usinagem de precisão em Belo Horizonte deve fabricar uma peça cônica de aço temperado. A especificação técnica exige que a geratriz meça exatamente $g = 10\text{ cm}$ e que a altura da peça seja exatamente o dobro do raio da sua base ($h = 2\cdot r$). Para calcular o raio $r$ necessário, dois membros da equipe técnica debatem que caminho seguir:\n\n- O Sérgio propõe o método de tentativa e erro numérico: testar valores decimais sucessivos para $r$ ($4,1\text{ cm}$; $4,2\text{ cm}$; $4,3\text{ cm}$...), calcular em cada caso $h = 2\cdot r$ e verificar através do teorema de Pitágoras qual dá um resultado mais próximo de $g = 10\text{ cm}$.\n- A Irene propõe o método algébrico: substituir a condição $h = 2\cdot r$ diretamente na relação pitagórica do cone ($g^2 = r^2 + h^2$), obtendo uma equação com uma única incógnita ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) para isolar $r$ de forma direta.\n\na) Compare fundamentadamente ambos os métodos: qual dos dois é preferível em um ambiente profissional de engenharia e que limitações o outro método apresenta?\nb) Aplique o método algébrico proposto pela Irene: resolva a equação passo a passo, obtenha o raio $r$ arredondado às centésimas e calcule a altura $h$ da peça.

Nas costas galegas utilizam-se boias marítimas esféricas de sinalização cujo raio exterior é de $R = 50\text{ cm}$. Ao flutuar na água em condições de mar calmo, o plano horizontal da superfície marítima corta a esfera formando um círculo que delimita a linha de água. Em condições normais, o centro da boia fica situado a uma distância vertical de $30\text{ cm}$ acima do nível da água.\n\na) Modele a situação por meio de um corte vertical que passe pelo centro da esfera e calcule o raio exato da circunferência da linha de água desenhada pela água sobre a boia.\nb) Com o passar dos meses, o acúmulo de algas e moluscos sobrecarrega a boia, fazendo com que ela afunde mais, de modo que a distância vertical do centro da boia à água passa de $30\text{ cm}$ para apenas $14\text{ cm}$. Um técnico de manutenção afirma: «Como a distância do centro à água se reduziu para menos da metade, o raio do círculo da linha de água na superfície marítima terá ficado mais do que o dobro do tamanho». Demonstre algebricamente se a afirmação dele é verdadeira ou falsa, calculando o novo raio, e fundamente como varia o tamanho de uma seção plana numa esfera à medida que o plano se aproxima do seu centro.