Exercícios: Poliedros

Um arquiteto está projetando um novo modelo de vitral para um shopping center com a forma de prisma pentagonal reto. Observe o desenho e responda às seguintes perguntas para ajudá-lo com o inventário de materiais:

1. a) Quantas faces tem o prisma no total?
2. b) Quantos vértices tem a figura?
3. c) Quantas arestas há no total?

Na aula de Tecnologia, os alunos estão construindo uma estrutura para uma maquete. Projetaram um poliedro que tem $7$ faces e $10$ vértices. Utilize o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para calcular quantas varetas (arestas) precisarão para montar a estrutura completa.

Os dados que são utilizados nos jogos de RPG costumam ter a forma de poliedros regulares. Se você está jogando com um dado que tem forma de octaedro (observe a figura, em que as arestas ocultas aparecem tracejadas):

1. a) Que forma têm as suas faces?

1. b) Quantas faces tem este dado?

1. c) Quantas arestas se encontram em cada um dos seus vértices?

Classifique as seguintes pirâmides segundo o polígono de sua base e determine se são regulares ou irregulares, justificando sua resposta:

1. a) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de $5\text{ cm}$ de lado e suas faces laterais são triângulos isósceles iguais.
2. b) Uma pirâmide cuja base é um retângulo de $4\text{ cm}$ por $6\text{ cm}$.

Marta quer fabricar uma caixa de papelão para um presente com a forma de cubo. Para isso, desenha diferentes moldes em seu caderno. Indique de forma fundamentada qual dos dois seguintes planificações permite formar um cubo perfeito e qual não.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Observe ao seu redor na sala de aula ou no seu quarto e nomeie:

1. a) Um objeto que tenha a forma de ortoedro.
2. b) Quantas faces tem esse objeto?
3. c) São todas as suas faces iguais ou há faces diferentes? Descreva como elas são.

Assinale qual das seguintes afirmações sobre os poliedros é FALSA e explique o porquê:

1. Um poliedro convexo é aquele que, ao ser apoiado sobre qualquer face, não "afunda".

2. O tetraedro regular é o poliedro que tem o menor número de faces possível.

3. Em um poliedro regular, em cada vértice pode concorrer um número diferente de arestas.

4. O cubo é um tipo especial de prisma quadrangular.

Calcule a área total de um cubo de Rubik sabendo que o comprimento de cada uma de suas arestas é de $6\text{ cm}$. Lembre-se de que o cubo tem $6$ faces quadradas idênticas.

O Lucas está desenhando em Tecnologia uma maquete com a forma de uma pirâmide octogonal regular. No seu caderno escreveu: «Como a base é um octógono, a pirâmide tem $8$ faces no total, $8$ vértices e $8 \cdot 2 = 16$ arestas. Além disso, vale a fórmula de Euler porque $8 + 8 = 16$». Identifique os três erros conceituais que o Lucas cometeu, explique de forma fundamentada como se contam na realidade os elementos de uma pirâmide a partir dos lados da sua base e obtenha os valores corretos de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$), verificando com eles o Teorema de Euler.

Para uma exposição de geometria na escola, você tem de classificar várias peças de madeira de acordo com as suas propriedades. Você tem uma peça que é um poliedro e sabe que ela tem exatamente $18$ arestas e $8$ faces, mas está em dúvida se se trata de um prisma ou de uma pirâmide. Determine, fundamentadamente, que tipo de corpo geométrico é e qual polígono forma a sua base. Em seguida, responda de forma justificada: seria possível construir uma pirâmide que tivesse exatamente $15$ arestas no total?

Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces que um octaedro regular e o mesmo número de vértices que o número de arestas de um cubo. Utilize o Teorema de Euler para determinar quantas arestas tem esse sólido geométrico. Represente esquematicamente um poliedro que cumpra essas características (por exemplo, um prisma hexagonal).

Uma conhecida marca de chocolates vende seus produtos em caixas com a forma de um prisma triangular regular. Se o lado do triângulo da base mede $6 \text{ cm}$ e a altura do prisma é de $20 \text{ cm}$, calcule a área total de papelão necessária para fabricar uma caixa. (Lembre-se de que primeiro você deve encontrar a altura do triângulo da base usando o Teorema de Pitágoras).

Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede $10 \text{ cm}$ e cuja aresta lateral mede $13 \text{ cm}$. Para resolvê-lo, você deverá calcular primeiro a apótema da pirâmide e depois a sua altura utilizando o Teorema de Pitágoras.

Um escultor quer criar uma peça esculpindo um cubo de madeira de $10 \text{ cm}$ de aresta. Se retirar as quatro esquinas superiores cortando pelos pontos médios das arestas que concorrem em cada vértice (na figura, os cortes aparecem em laranja), conte cuidadosamente quantas faces, vértices e arestas terá a figura resultante. Verifique se ela continua cumprindo o Teorema de Euler.

Em uma exposição de arte moderna, há uma vitrine com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões são $80 \text{ cm}$ de comprimento, $60 \text{ cm}$ de largura e $1 \text{ m}$ de altura. O artista quer colocar uma haste metálica que atravesse a vitrine desde um vértice inferior até o vértice oposto superior. Qual deve ser o comprimento exato da haste?

Deseja-se pintar o exterior de uma barraca publicitária que tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular. O lado do hexágono da base mede $4 \text{ m}$ e o apótema da face lateral mede $7 \text{ m}$. Se a lata de tinta cobre $10 \text{ m}^2$ e o chão da barraca não é pintado, quantas latas de tinta devem ser compradas no mínimo?

Calcule o volume de um prisma de base trapezoidal (um reservatório de água). As bases do trapézio medem $2 \text{ m}$ e $3 \text{ m}$, sua altura é de $1,5 \text{ m}$ e o comprimento total do reservatório (altura do prisma) é de $5 \text{ m}$. Se o reservatório está cheio até a metade, quantos litros de água contém?

É possível construir um poliedro regular cujas faces sejam hexágonos regulares? Justifique sua resposta analisando quantos graus somariam os ângulos das faces que concorrem em um mesmo vértice. Repita o raciocínio para explicar por que só existem cinco poliedros regulares convexos.

Para as festas da cidade de um município de Minas Gerais, a prefeitura vai encomendar uma tenda para bancas de artesanato com a forma de um prisma decagonal regular (base de $10$ lados). A estrutura é montada com barras de alumínio para as arestas e peças de fixação esféricas nos vértices. Antes de consultar o catálogo técnico, o vereador afirma a olho: «Para essa tenda vamos precisar de cerca de $40$ fixações e perto de $50$ barras de alumínio». Primeiro, faça uma estimativa mental rápida e explique se os valores do vereador lhe parecem coerentes ou desproporcionados. Depois, calcule com exatidão quantas faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$) tem o referido prisma, verifique que se cumpre o Teorema de Euler e avalie o erro da estimativa inicial do vereador.

Um escritório de arquitetura de Salvador projeta um pavilhão bioclimático para um parque público. O edifício tem a forma de um prisma hexagonal reto encimado na sua parte superior por um telhado em forma de pirâmide hexagonal, cuja base coincide exatamente com a base superior do prisma (de modo que essa superfície fica no interior e não conta como face exterior). Modele matematicamente este edifício como um único poliedro e responda:

1. a) Quantas faces exteriores tem no total e que forma geométrica tem cada uma?
2. b) Quantos vértices e quantas arestas compõem a estrutura exterior completa?
3. c) Verifique se este poliedro composto cumpre o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) e explique por quê.

Um estúdio de design de videogames está criando um novo "power-up" com forma de poliedro convexo. Os artistas decidiram que o objeto tenha exatamente $14$ faces e $24$ arestas.

1. a) Segundo o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), quantos vértices deve ter o modelo 3D para que seja geometricamente possível?

1. b) Se o poliedro final for um cuboctaedro (um poliedro formado por quadrados e triângulos equiláteros) e sabemos que em cada um dos seus vértices concorrem exatamente $4$ arestas, verifique se o seu resultado do item a) coincide com a estrutura real deste corpo. Para isso, conte as arestas a partir do número de vértices e das arestas que chegam a cada um.

Você está montando um computador por peças e quer instalar uma placa de vídeo de última geração. O gabinete do computador (a torre) é um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões $45\text{ cm}$ de altura, $20\text{ cm}$ de largura e $40\text{ cm}$ de comprimento. A placa de vídeo é muito longa e você quer saber se ela caberia colocando-a de forma diagonal, unindo um vértice inferior da parte dianteira com o vértice superior oposto da parte traseira. Calcule o comprimento da diagonal do paralelepípedo e determine se uma placa de $62\text{ cm}$ de comprimento caberia no interior dele.

Uma empresa de joalheria artesanal quer fabricar um pingente de prata com a forma de um octaedro regular. Se cada aresta do octaedro mede $12\text{ mm}$, calcule a superfície total de prata de que precisarão para cobrir o pingente (a área total). Dica: Lembre-se de que um octaedro regular é formado por oito triângulos equiláteros iguais. Você precisará calcular primeiro a altura de um desses triângulos usando o Teorema de Pitágoras.

Um arquiteto projetou uma claraboia para um shopping center com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A base é um quadrado de $6\text{ m}$ de lado. Se a área da superfície de vidro (a área lateral da pirâmide) é de $60\text{ m}^2$, calcule a altura real da pirâmide desde o centro da base até o topo. Nota: Tenha cuidado, primeiro você deverá encontrar o apótema da pirâmide por meio da área lateral e depois aplicar Pitágoras para encontrar a altura.

Imagine um tetraedro regular e um octaedro regular, ambos com o mesmo comprimento de aresta $a$. Um cientista afirma que, se unirmos dois desses poliedros por uma de suas faces, o número de faces expostas ao exterior do novo corpo será sempre a soma das faces de ambos menos duas.

1. a) Calcule o número de faces, vértices e arestas do corpo resultante de unir dois tetraedros por uma face.
2. b) O Teorema de Euler continua sendo válido neste novo poliedro resultante? Justifique sua resposta.

Para um projeto de tecnologia, você tem que construir um alto-falante com a forma de um prisma hexagonal regular. O perímetro da base hexagonal é de $42\text{ cm}$ e a altura do alto-falante é de $30\text{ cm}$. Para que o som seja o ideal, você deve revestir as paredes laterais com um tecido especial que custa $15\text{ \text{R\$}\ /m}^2$. Calcule o custo total do tecido necessário para revestir a superfície lateral de cinco alto-falantes iguais. (Lembre-se de fazer as conversões de unidades de $\text{cm}^2$ para $\text{m}^2$).

Um cristalógrafo está estudando uma pedra preciosa que tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. A base inferior é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado, a base superior é um quadrado de $4\text{ cm}$ de lado, e a altura do tronco (distância entre as bases) é de $4\text{ cm}$.

1. a) Calcule o comprimento da apótema das faces laterais (que são trapézios).
2. b) Calcule a área total da pedra preciosa.

Deseja-se fabricar uma caixa metálica sem tampa que tenha a forma de um cubo e cuja diagonal meça exatamente $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcule quanto deve medir a aresta dessa caixa.
2. b) Se o metal utilizado pesa $2,5\text{ gramos}$ por cada $\text{cm}^2$, qual será a massa total da caixa depois de fabricada? (Lembre-se de que a caixa não tem tampa superior).

O Museu de las Ciencias de Granada encomenda uma escultura poliédrica oca formada por $32$ faces: $12$ pentágonos regulares e $20$ hexágonos regulares. Em cada vértice do poliedro concorrem exatamente $3$ arestas. Para calcular a quantidade de barras (arestas) e conectores (vértices) que é preciso encomendar da fábrica, dois estudantes propõem métodos diferentes:

• Método A (Sofia): Calcular primeiro as arestas multiplicando o número de faces pelos seus lados e dividindo por $2$ porque cada aresta pertence a duas faces: $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Depois, isolar os vértices usando a relação de Euler ($C + V = A + 2$).

• Método B (Marcos): Calcular primeiro os vértices levando em conta que cada pentágono contribui com $5$ cantos e cada hexágono com $6$, mas cada vértice é compartilhado entre $3$ faces: $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Depois, calcular as arestas multiplicando $V$ por $3$ e dividindo por $2$.

Avalie a validade de ambos os métodos e explique qual lhe parece mais seguro se você não se lembrasse da fórmula de Euler. Por fim, calcule o número exato de faces, arestas e vértices da escultura e verifique que ambos os procedimentos levam ao mesmo resultado.

Num concurso escolar de robótica em São Paulo, uma equipe apresenta o relatório técnico de uma carcaça protetora. Afirmam ter projetado um poliedro convexo fechado composto exclusivamente por $7$ faces triangulares.

1. a) Sabendo que cada triângulo tem $3$ lados e que cada aresta do poliedro é compartilhada por exatamente duas faces contíguas, calcule quantas arestas deveria ter esse suposto corpo. Que problema matemático você encontra no resultado obtido?
2. b) Se a carcaça for redesenhada para ter $8$ faces triangulares, quantas arestas terá? Calcule quantos vértices deve ter obrigatoriamente aplicando o Teorema de Euler.
3. c) Generalize o raciocínio: demonstre por que é geometricamente impossível construir um poliedro fechado cujas faces sejam exclusivamente um número ímpar de triângulos.