Exercícios: O espaço

No mundo do design de videogames, os objetos são definidos por suas dimensões. Indique quantas dimensões ($0$, $1$, $2$ ou $3$) têm os seguintes elementos que encontramos em um quarto:

1. a) O cabo de um fone de ouvido esticado.

1. b) A tela plana de um monitor (sem contar a espessura).

1. c) Uma caixa onde você guarda os jogos do console.

1. d) Um ponto de luz no teto.

Observe as arestas deste cubo e determine a posição relativa (paralelas, concorrentes ou reversas) dos seguintes pares de retas que contêm as arestas:

1. a) A reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ em relação à que passa por $C$ e $D$.
2. b) A reta que passa por $A$ e $B$ em relação à que passa por $B$ e $C$.
3. c) A reta que passa por $A$ e $B$ em relação à que passa por $G$ e $H$.

Imagine que as paredes, o chão e o teto da sua sala de aula são planos. Indique a posição relativa de:

1. a) O plano do chão e o plano do teto.
2. b) O plano da parede do quadro e o plano da parede da janela (que está ao seu lado).
3. c) Uma reta formada pelo canto entre duas paredes e o plano do chão.

Sabemos que por dois pontos do espaço passa uma única reta.

1. a) Quantas retas podem passar por um único ponto do espaço?
2. b) Quantos planos podem conter uma única reta?
3. c) Quantos pontos não alinhados são necessários no mínimo para definir um único plano?

No espaço existem retas que não são paralelas, mas que nunca se interceptam. Essas retas são chamadas de retas reversas. Observe o desenho da rampa de skate e diga qual posição relativa têm:

1. a) A borda superior da rampa ($r$) e a linha da base no chão ($s$).
2. b) A borda vertical do corrimão ($t$) e a reta $s$.

Desenhe no caderno (ou descreva) a situação de uma reta e um plano nos seguintes casos:

1. a) A reta é paralela ao plano (pense em uma lâmpada fluorescente no teto e no chão).
2. b) A reta está contida no plano (pense em uma linha pintada no chão).
3. c) A reta é secante ao plano (pense em um lápis que atravessa uma folha de papel).

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Muitos corpos geométricos são gerados ao girar uma figura plana em torno de um eixo. Estes são chamados de corpos de revolução. No desenho você vê três objetos com o seu eixo de rotação. Identifique qual figura (retângulo, triângulo retângulo ou semicírculo) gerou cada um deles ao girar em torno desse eixo:

1. a) Uma lata de refrigerante cilíndrica.
2. b) Um cone de sinalização de trânsito.
3. c) Uma bola de bocha.

Os corpos geométricos cujas faces são todas polígonos são chamados de poliedros. Em qualquer poliedro simples, vale uma relação famosa chamada Fórmula de Euler: $Faces + Vértices = Arestas + 2$.

Verifique se essa fórmula é satisfeita para um cubo, sabendo que ele tem $6$ faces, $8$ vértices e $12$ arestas. Escreva a operação matemática.

A Ana está observando a estrutura de uma estante metálica na sua sala de aula e afirma o seguinte: «A barra vertical dianteira esquerda e a barra horizontal traseira da prateleira superior não se tocam em lugar nenhum; portanto, têm de ser obrigatoriamente retas paralelas, exatamente igual ao que acontece com as linhas que desenho no meu caderno». Identifique e explique o erro de raciocínio cometido pela Ana, indique a posição relativa real que essas duas barras têm no espaço tridimensional e esclareça por que razão a dedução dela teria sido correta numa folha de papel bidimensional.

Um ginásio poliesportivo tem uma cobertura com a forma de um prisma hexagonal regular, cujas bases superior e inferior são hexágonos e as suas faces laterais são retângulos.

1. a) Antes de contar arestas ou aplicar qualquer fórmula, estime de forma fundamentada, a olho nu, se este sólido terá mais arestas do que a soma das suas faces e vértices juntos, ou se ocorrerá o contrário.
2. b) Conte de forma ordenada o número de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$) do prisma e verifique se a sua estimativa inicial estava correta por meio da fórmula de Euler ($C + V = A + 2$).
3. c) Justifique por que o número total de arestas obtido é razoável, considerando quantas arestas cada base contribui e quantas arestas verticais unem as duas bases.

Considere um cubo ou hexaedro regular com base inferior $ABCD$ e base superior $EFGH$, onde as arestas verticais são $AE$, $BF$, $CG$ e $DH$. Identifique as posições relativas das arestas indicadas:

1. a) A aresta $AB$ em relação à aresta $EF$.
2. b) A aresta $AD$ em relação à aresta $CG$.
3. c) A aresta $GH$ em relação à aresta $AB$.

No projeto de uma tenda publicitária com forma de prisma triangular reto, interessa-nos analisar a relação entre seus planos. Se considerarmos o plano $\pi$ que contém a base inferior do prisma:

1. a) Indique quais faces do prisma geram planos secantes ao plano $\pi$.
2. b) Indique quais arestas do prisma são paralelas ao plano $\pi$.
3. c) Qual figura geométrica se forma na interseção de uma face lateral com o plano da base?

Um arquiteto está projetando um monumento vanguardista que é um poliedro convexo. Para verificar sua estrutura, precisa comprovar o Teorema de Euler. O monumento tem $8$ faces hexagonais e $6$ faces quadradas.

1. a) Calcule o número total de arestas ($A$) do poliedro.
2. b) Utilizando o Teorema de Euler, determine o número de vértices ($V$) que o monumento terá.

Imagine que você tem uma peça metálica plana com a forma de um trapézio retângulo, como a mostrada na figura. Se girarmos esta figura $360^{\circ}$ ao redor do lado que mede $8$ cm (o eixo vertical):

1. a) Qual corpo de revolução é gerado?
2. b) Desenhe de forma esquemática o corpo resultante indicando seus elementos básicos (raios e altura).

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um cômodo de paredes perpendiculares, consideramos um dos cantos do teto como a origem de pontos. Se traçarmos uma linha imaginária que cruze o cômodo a partir desse canto até o canto oposto do chão (diagonal do cômodo):

1. a) Qual posição relativa essa linha tem em relação ao plano do chão?
2. b) Essa linha se intersecta com a reta que forma a união de duas paredes laterais? Justifique sua resposta.
3. c) Quantos pontos em comum a diagonal tem com o plano de uma das paredes?

É feito um corte em um cilindro reto de raio $r = 4$ cm e altura $h = 10$ cm por meio de um plano. Descreva qual figura plana é obtida se:

1. a) O plano for paralelo às bases do cilindro.
2. b) O plano for perpendicular às bases e passar pelo centro das mesmas.
3. c) O plano for oblíquo às bases e não chegar a cortá-las.

Dada uma pirâmide quadrangular regular, nomeamos suas arestas da base como $b_1, b_2, b_3, b_4$ e suas arestas laterais como $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando o porquê:

1. a) Qualquer par de arestas laterais são retas que se cruzam.
2. b) Uma aresta da base e a aresta lateral que sai de uma de suas extremidades são retas secantes.
3. c) Duas arestas da base opostas são paralelas entre si.

Observe a planificação deste sólido geométrico. Sem fazer cálculos, responda:

1. a) Qual poliedro será obtido ao dobrá-lo? Classifique-o de forma completa.
2. b) Quantos ângulos diedros o sólido terá depois de montado?
3. c) Qual é a ordem de cada um de seus vértices (quantas faces concorrem neles)?

No centro de controle aéreo da ENAIRE em Madrid é supervisionada a trajetória de duas aeronaves que sobrevoam uma zona plana, cujo solo consideramos como um plano horizontal $\pi$. As trajetórias de ambos os aviões são retilíneas:

• O voo A voa estabilizado a uma altitude constante de $9\,500\text{ m}$ seguindo um rumo fixo para norte.

• O voo B realiza uma manobra de subida contínua desde os $3\,000\text{ m}$ até os $11\,000\text{ m}$ com rumo para leste, atravessando esse mesmo setor geográfico.

1. a) Modele a trajetória do voo A como uma reta $r$. Qual é a posição relativa da reta $r$ em relação ao plano do solo $\pi$? Justifique a sua resposta.
2. b) Ao projetar as duas rotas na tela plana do radar (duas dimensões), os traços se cruzam em um ponto comum na tela. No entanto, na vertical desse ponto o voo B passa a $7\,000\text{ m}$ de altitude, de modo que os aviões nunca chegam a colidir no ar. Modele ambas as rotas como duas retas $r$ e $s$ no espaço e determine a sua posição relativa real, justificando se existe ou não algum plano comum que possa conter ambas simultaneamente.

Uma oficina de design artesanal recebe a encomenda de fabricar um poliedro fechado para uma luminária. O cliente exige que a estrutura tenha exatamente $15$ arestas ($A = 15$) e que seja um poliedro clássico (um prisma reto ou uma pirâmide regular).

1. a) Aplicando a fórmula de Euler ($C + V = A + 2$), estabeleça a igualdade numérica e determine quanto deve valer exatamente a soma do número de faces e vértices ($C + V$).
2. b) Se a estrutura fosse uma pirâmide cuja base tem $n$ lados, deduza quantas arestas teria no total em função de $n$. A partir dessa dedução, explique por que é matematicamente impossível construir uma pirâmide que cumpra a exigência de ter exatamente $15$ arestas.
3. c) Faça a mesma dedução para um prisma cuja base tem $n$ lados. Determine que tipo de prisma cumpre as condições, indicando quantas faces e quantos vértices terá finalmente a luminária.

Imagine que você está projetando uma estrutura para um parque de aventuras. Há um cubo gigante cujos vértices estão nomeados como $A, B, C, D$ (base inferior) e $E, F, G, H$ (base superior, de modo que $E$ está acima de $A$, $F$ acima de $B$, etc.).

Se traçarmos uma linha reta que passa pelos pontos médios das arestas $AE$ e $CG$, e outra linha reta que une os vértices $B$ e $H$:

1. a) Indique qual é a posição relativa destas duas retas no espaço. Justifique se elas se intersectam, são paralelas ou se cruzam.
2. b) Se traçarmos um plano que passe pelos pontos $B$, $D$ e $H$, que tipo de seção (figura plana) se forma ao cortar o cubo?
3. c) Quantas arestas do cubo são secantes ao plano definido pela face $ADHE$?

Um arqueólogo encontrou uma peça de cristal com forma de octaedro regular perfeito. Para protegê-la, decide construir uma caixa de madeira com forma de cubo que se ajuste exatamente aos vértices do octaedro.

1. a) Se cada aresta do octaedro mede $10 \text{ cm}$, calcule o número de faces, vértices e arestas da figura e verifique se o Teorema de Euler é satisfeito.
2. b) Explique fundamentadamente que relação existe entre os centros das faces do cubo de madeira e os vértices do octaedro.
3. c) Se cortarmos o octaedro por um plano paralelo a uma de suas faces que passe exatamente pelo centro do corpo, qual polígono obteremos na seção?

Em uma aula de tecnologia, alunos estão construindo uma maquete de um edifício moderno. A peça central é um prisma hexagonal regular reto. Para dar um toque artístico, querem realizar cortes planos com uma serra elétrica.

1. a) Se o plano de corte passa por três vértices não consecutivos da base superior, descreva a forma da seção obtida.
2. b) É possível realizar um corte de tal maneira que a seção resultante seja um retângulo? E um quadrado? Descreva como deveria ser o plano em cada caso.
3. c) Se o prisma tem $12$ arestas da base e $6$ arestas laterais, quantas diagonais totais (que não passem pelas faces) tem este poliedro?

Um fabricante de caixas de presente quer criar um modelo especial "dual". Primeiro fabrica um tetraedro regular de aresta $L$. Depois, une os pontos médios de todas as arestas do tetraedro entre si.

1. a) Qual poliedro se forma no interior ao unir esses pontos médios?
2. b) Calcule o número de faces, vértices e arestas do novo poliedro resultante.
3. c) Se o tetraedro original satisfaz o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), demonstre se o poliedro interior também o satisfaz.

Um decorador de interiores quer colocar um cabo de luzes LED que cruze um cômodo retangular de $6 \text{ m}$ de comprimento, $4 \text{ m}$ de largura e $3 \text{ m}$ de altura. O cabo deve ir de um canto do chão ($A$) até o canto oposto do teto ($G$).

1. a) Calcule o comprimento mínimo do cabo se ele deve ir esticado pelo interior do cômodo (a diagonal do paralelepípedo reto-retângulo).
2. b) Se o decorador decidir passar o cabo pelas paredes (sem cruzar o ar), qual seria a distância mais curta entre esses mesmos dois pontos? (Dica: pense na planificação do cômodo).
3. c) Indique quantas arestas do cômodo são paralelas à reta que contém a aresta da altura onde se encontra o ponto $A$.

Considere um cubo de queijo de $4 \text{ cm}$ de aresta. Queremos cortá-lo com uma faca muito fina de modo que a seção seja um hexágono regular.

1. a) Descreva com precisão por quais pontos das arestas do cubo o plano deve passar para obter o referido hexágono.
2. b) Quantas diagonais de face o cubo tem no total? E quantas diagonais espaciais (internas)?
3. c) Se chamarmos de $P$ o plano que contém o hexágono, existe alguma aresta do cubo que seja paralela a esse plano ou todas são secantes? Justifique sua resposta.

Uma empresa de logística utiliza contêineres com forma de prisma trapezoidal reto (a base é um trapézio isósceles).

1. a) Determine o número de ângulos diedros retos que este corpo possui.
2. b) Se prolongarmos as duas faces laterais não paralelas, explique o que aconteceria: elas se intersectariam em uma reta? Seriam paralelas? Qual corpo geométrico se formaria se cortássemos essa nova estrutura com um plano paralelo à base?
3. c) Verifique se um prisma trapezoidal com bases de $5$ lados (se fosse um prisma pentagonal irregular) satisfaz sempre o Teorema de Euler.

Estamos estudando as posições relativas no espaço dentro de um poliedro complexo: um dodecaedro regular (12 faces pentagonais).

1. a) Escolha uma face qualquer como plano $\pi$. Quantas faces do dodecaedro são paralelas a $\pi$?
2. b) Quantas arestas do dodecaedro são paralelas a uma aresta dada?
3. c) Se em cada vértice do dodecaedro se unem 3 faces, e cada face tem 5 vértices, justifique por meio de cálculo o número total de vértices do corpo (considerando que cada vértice é compartilhado).

Numa sala de exposições com a forma de um cubo de vértices inferiores $A, B, C, D$ (chão) e vértices superiores $E, F, G, H$ (teto, situados diretamente sobre $A, B, C$ e $D$ respectivamente), instalam-se dois cabos tensores retilíneos:

• Cabo 1: une o vértice $A$ ao vértice oposto superior $G$ (diagonal principal do cubo).

• Cabo 2: une o ponto médio da aresta vertical $BF$ ao ponto médio da aresta vertical $DH$.

Para verificar se ambos os cabos se tocam no centro da sala ou se cruzam a alturas diferentes, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método do Sergio: Procurar se existe um plano diagonal que contenha os quatro pontos extremos ($A, G$, e os pontos médios de $BF$ e $DH$). Se esse plano existir e as retas não forem paralelas, então elas se intersectam.

• Método da Irene: Determinar a posição do ponto médio do Cabo 1 e do Cabo 2 em relação ao chão e às paredes, verificando se ambos os segmentos compartilham exatamente o mesmo ponto central nas três dimensões do espaço.

1. a) Compare ambos os métodos: explique qual dos dois parece mais claro e direto para justificar o resultado sem cometer erros de percepção visual.
2. b) Aplique o método que você considerou melhor para concluir, de forma fundamentada, se os dois cabos são concorrentes (se intersectam num ponto) ou se são reversos no espaço.

As Torres KIO de Madri são conhecidas por serem edifícios com a forma de prisma cujas faces laterais estão inclinadas em relação ao chão horizontal (plano $\pi$). Considere uma das fachadas inclinadas da torre, à qual chamamos plano $\alpha$.

1. a) Determine a posição relativa entre o plano da fachada $\alpha$ e o plano do chão $\pi$. Se prolongássemos ambos os planos indefinidamente no espaço, qual seria a figura geométrica resultante da interseção deles?
2. b) Em uma maquete poliédrica da torre que parte de um prisma quadrangular fechado ($6$ faces, $8$ vértices e $12$ arestas), um maquetista decide truncar (cortar) um dos cantos superiores por meio de um corte plano que passa perto de um vértice sem tocar em nenhum dos outros sete vértices originais, eliminando esse canto e criando no lugar dele uma nova face plana triangular.

Calcule de forma fundamentada o número de faces ($C'$), vértices ($V'$) e arestas ($A'$) que a maquete terá após a realização desse corte.

1. c) Verifique se o novo sólido modificado continua cumprindo a fórmula de Euler ($C' + V' = A' + 2$) e justifique matematicamente por que cortar um canto dessa forma não altera o equilíbrio da fórmula.