Exercícios: Permutações

Simplifique a seguinte expressão com fatoriais sem usar calculadora: $\frac{12! \cdot 5!}{10! \cdot 7!}$.

Em uma competição de atletismo participam $8$ corredores na final dos $100$ metros rasos. Assumindo que não pode haver empates, de quantas formas distintas eles podem chegar à linha de chegada e se classificar?

Em uma galeria de arte contemporânea serão expostos em linha $6$ quadros de um mesmo pintor ao longo de uma parede. De quantas formas diferentes as obras podem ser ordenadas visualmente?

Calcule quantas palavras distintas, tenham ou não sentido em português, podem ser formadas ordenando todas as letras da palavra $BIOLOGIA$.

Um grupo de $5$ amigos vai a uma pizzaria jantar e decide se sentar ao redor de uma mesa circular. De quantas maneiras diferentes eles podem se acomodar nos assentos?

Uma senha de segurança é formada pelos dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ e $7$, sem repetir nenhum deles. Se a senha deve começar obrigatoriamente pelo dígito $7$, quantas senhas distintas podem ser configuradas no sistema?

No mastro de um barco a vela deseja-se hastear $7$ bandeiras para transmitir um sinal à costa. Dispõe-se de $3$ bandeiras vermelhas, $2$ azuis e $2$ amarelas, todas do mesmo tamanho. Quantos sinais diferentes podem ser enviados combinando todas as bandeiras?

Um locutor de rádio local deve programar exatamente $5$ músicas diferentes durante a próxima hora de transmissão. De quantas formas ele pode estabelecer a ordem em que as músicas tocarão?

No jantar de formatura do 4.º de ESO, cinco amigos vão sentar-se para jantar ao redor de uma mesa redonda de cinco lugares. Querem saber quantas formas distintas existem de se posicionarem, tendo em conta unicamente quem se senta à esquerda e à direita de cada um (ou seja, a ordem relativa). Marcos calcula as possibilidades assim: «Por serem $5$ pessoas para $5$ lugares, são permutações ordinárias: $P_5 = 5! = 120$ formas distintas». Explica por que o raciocínio de Marcos não está correto para uma mesa redonda, que fenómeno geométrico ele não teve em conta e calcula a resposta correta.

Na estação de esqui de Sierra Nevada (Granada), os funcionários das pistas publicam toda manhã o boletim de neve de um setor sinalizado com $6$ balizas consecutivas ao longo do percurso. Em um dia específico de fevereiro, colocam exatamente: $3$ balizas que indicam «neve em pó», $2$ balizas de «neve dura» e $1$ baliza de «neve úmida».

1. a) Modele matematicamente a situação e calcule quantas sequências visuais diferentes de balizas podem ser formadas ao longo dessa descida.
2. b) Explique por que, na fórmula, é necessário dividir por $3! \cdot 2! \cdot 1!$ em vez de calcular simplesmente $6!$.

Quatro amigos e três amigas vão ao cinema e compram ingressos para sete poltronas consecutivas na mesma fileira. De quantas formas eles podem se sentar se os quatro meninos querem ficar juntos e as três garotas também querem ficar juntas?

Uma formiga robótica se move por uma malha quadriculada do nó $A$ até o nó $B$. Ela só pode se deslocar para a direita ou para cima seguindo as linhas da malha. Se para ir de $A$ a $B$ deve dar exatamente $5$ passos para a direita e $4$ passos para cima, quantos caminhos distintos ela pode percorrer no total?

Em uma festa de fim de ano letivo, $6$ amigos se sentam ao redor de uma mesa redonda. Dois deles, Lucas e Bruno, estão desentendidos e pediram expressamente para não se sentarem juntos. De quantas formas distintas os $6$ convidados podem se distribuir cumprindo essa condição?

Determine o valor numérico da incógnita $x$ na seguinte equação algébrica com fatoriais: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 72$.

Um hospital deve organizar os turnos de plantão de uma médica durante uma semana completa ($7$ dias). Devem ser atribuídos a ela exatamente $3$ turnos da manhã, $2$ turnos da tarde e $2$ dias de folga. De quantas maneiras diferentes se pode planejar o horário semanal dela?

Deseja-se formar números de $6$ algarismos utilizando exclusivamente os dígitos $3, 5$ e $8$. Se o dígito $3$ deve aparecer exatamente três vezes, o dígito $5$ duas vezes e o dígito $8$ uma vez, quantos dos números formados são pares?

Em uma prateleira da biblioteca serão colocados $4$ livros de Matemática, $3$ de Física e $2$ de Biologia. De quantas formas eles podem ser ordenados se os livros de cada matéria devem ficar obrigatoriamente agrupados entre si?

Quantos anagramas (tenham ou não sentido) podem ser formados com todas as letras da palavra $PARALELOGRAMO$ nos quais as três letras $A$ apareçam de forma consecutiva formando um único bloco?

Na última etapa da Volta do Brasil de ciclismo, disputa-se um contrarrelógio individual decisivo no qual largam os $8$ primeiros colocados da classificação geral. A organização deve decidir em que ordem sairão para a estrada estes $8$ ciclistas.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo matemático, faça uma estimativa intuitiva: você acha que o número total de ordens de largada possíveis será inferior a $5\,000$, ficará entre $5\,000$ e $20\,000$, ou superará amplamente as $20\,000$ opções? Escreva e justifique brevemente a sua intuição prévia.
2. b) Modele a situação por meio de permutações para calcular o valor exato das possíveis sequências de largada e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.
3. c) Diante do resultado numérico obtido, reflita: por que a intuição cotidiana costuma subestimar tanto o valor dos fatoriais à medida que o número de elementos aumenta?

Num estúdio de design gráfico de Salvador estão criando um logotipo linear formado por uma fila de $6$ faixas de cor idênticas em tamanho: algumas são de cor azul-mediterrâneo e as restantes são de cor laranja-valenciano. A equipe criativa verifica que, variando a ordem das faixas, é possível desenhar exatamente $15$ logotipos visualmente diferentes.

1. a) Apresente uma igualdade ou equação combinatória que relacione o número total de faixas ($6$) e os fatoriais do número de faixas azuis ($a$) e laranja ($n$) com o resultado final de $15$ combinações.
2. b) Deduza quantas faixas de cada cor compõem o design (encontre todos os pares de valores possíveis para $a$ e $n$, considerando que $a + n = 6$) e justifique o resultado por meio do desenvolvimento dos fatoriais correspondentes.

Um drone de entrega automatizado deve ir do armazém $A$ até o cliente $B$ em uma cidade com ruas em malha quadriculada, movendo-se apenas para o Norte (para cima) e para o Leste (para a direita). No centro há um parque retangular que o drone é proibido de atravessar ou sobrevoar; também não pode percorrer nenhum trecho de rua da borda do parque (tocar um de seus cantos é permitido). Calcule o número total de trajetórias válidas de $A$ até $B$ evitando o parque.

Deseja-se fabricar um colar montando $8$ contas esféricas de diferentes pedras preciosas. Como o colar pode ser afivelado, girar livremente pelo pescoço e inclusive ser virado do avesso, quantos designs distintos de colares podem ser criados?

Em uma urna há $4$ bolas vermelhas, $3$ bolas verdes e $2$ bolas azuis. Retiram-se todas as bolas uma a uma e elas são alinhadas sobre uma mesa. De quantas formas distintas podem ficar alinhadas se as duas bolas azuis não puderem estar em posições adjacentes?

Encontre o valor de $n$ resolvendo a seguinte equação algébrica que envolve permutações simples: $P_{n} - 30 \cdot P_{n-2} = 0$.

Uma professora propõe aos seus estudantes o seguinte desafio de probabilidade e combinatória: "Tenho $5$ cartas dirigidas a $5$ alunos diferentes e $5$ envelopes com seus nomes impresso. Se eu colocar as cartas nos envelopes totalmente ao acaso, uma em cada envelope, de quantas formas possíveis pode ocorrer de exatamente $4$ alunos receberem a carta errada e apenas $1$ receber a correta?".

Quantos números de oito algarismos podem ser formados utilizando os dígitos $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ de maneira que todos os dígitos ímpares apareçam no número antes de qualquer dígito par?

Com as letras da palavra $MURCIELAGO$, quantas palavras diferentes de $10$ letras podem ser formadas de modo que as vogais mantenham sempre sua ordem alfabética original (ou seja, o $A$ antes do $E$, o $E$ antes do $I$, etc.), mesmo que não apareçam necessariamente em posições consecutivas?

Um torneio de xadrez é disputado em um máximo de $10$ partidas. O jogador que alcançar primeiro $6$ vitórias ganha o torneio (não há empates possíveis). Se o jogador $X$ termina ganhando o torneio exatamente na décima partida, de quantas formas distintas pode ter se desenvolvido a sequência de vitórias e derrotas ao longo das $10$ partidas?

Em um estúdio de televisão será gravado um programa de debate com $6$ convidados sentados na mesma fila de $6$ cadeiras: $3$ jornalistas e $3$ cientistas. A produção do programa estabelece uma condição imprescindível: os $3$ jornalistas não podem se sentar juntos consecutivamente (os três em um bloco contínuo). Para calcular quantas ordenações válidas existem, dois membros da equipe propõem estratégias distintas:

• Método 1 (direto): Contar separadamente as configurações nas quais os três jornalistas estão completamente separados entre si e aquelas nas quais apenas dois deles ficam juntos.

• Método 2 (pelo complementar): Calcular primeiro todas as ordenações possíveis dos $6$ convidados sem qualquer restrição e subtrair aquelas nas quais os $3$ jornalistas se sentam juntos formando um único bloco.

Compare ambos os métodos justificando qual dos dois é mais vantajoso e seguro de aplicar neste caso. Em seguida, calcule passo a passo o resultado final utilizando o método que você selecionou como preferível e justifique por que, ao contar o bloco de jornalistas, é necessário multiplicar por $3!$.

Na estação de Atocha (Madri), um trem de Cercanías da Renfe é composto por $8$ vagões acoplados em linha. Em uma campanha especial de transporte sustentável, a Renfe dispõe de $4$ vagões padrão de passageiros, $2$ vagões adaptados para pessoas com mobilidade reduzida (PMR) e $2$ vagões com suporte para bicicletas. Os vagões do mesmo tipo são indistinguíveis entre si.

1. a) Modele a situação e calcule quantas composições distintas podem ser formadas unindo os $8$ vagões em fila.
2. b) Por motivos de operacionalidade nas plataformas, os técnicos da Renfe decidem que os dois vagões com suporte para bicicletas devem ser colocados obrigatoriamente um na primeira posição (frente do trem) e o outro na última posição (parte de trás do trem). Calcule quantas formações distintas de trem podem ser montadas com essa restrição.
3. c) Suponha agora que o regulamento muda e exige que os dois vagões com suporte para bicicletas sejam acoplados sempre juntos, um imediatamente atrás do outro, em qualquer posição da formação. Raciocine, antes de calcular, se haverá mais ou menos possibilidades do que no item b) e determine depois o número exato de formações válidas sob essa nova condição.