Exercícios: Transformações geométricas

A Elena está desenhando um ícone para um aplicativo de celular e precisa transformar a posição de um ponto de referência $A(-3, 4)$. Primeiro aplica nele uma translação de vetor $\vec{v}(5, -2)$ e, em seguida, no ponto resultante aplica uma simetria axial em relação ao eixo das abscissas (eixo $X$).

A Elena escreve em seu caderno o seguinte desenvolvimento:

1. Translação: $A'(-3 + 5, 4 - 2) = A'(2, 2)$.

2. Simetria em relação ao eixo $X$: «Como é uma simetria em relação ao eixo horizontal $X$, mudo o sinal da primeira coordenada, de modo que o ponto final é $A''(-2, 2)$».

1. a) Aponte o erro conceitual que a Elena cometeu no segundo passo e explique com suas próprias palavras qual coordenada deve realmente mudar de sinal ao refletir em relação ao eixo $X$ e por que isso acontece geometricamente.
2. b) Corrija o cálculo e encontre as coordenadas corretas do ponto final $A''$.
3. c) Se a Elena quisesse ter obtido o ponto $(-2, 2)$ a partir de $A'(2, 2)$ por meio de uma única simetria axial, qual teria de ser a reta que atua como eixo de simetria?

Em um videogame de plataformas 2D, o personagem salta a partir de uma posição $P(2, -3)$. Durante o salto, sofre dois movimentos consecutivos: primeiro uma translação desconhecida de vetor $\vec{u}(u_x, u_y)$ e, logo em seguida, uma segunda translação de vetor conhecido $\vec{v}(-1, 5)$, alcançando a plataforma no ponto final $P''(6, 4)$.

1. a) Formule as equações correspondentes e calcule, de forma fundamentada, as componentes do vetor inicial $\vec{u}$.
2. b) Se os programadores quisessem programar o salto em um único movimento direto de $P$ para $P''$, qual seria o vetor $\vec{w}$ dessa translação única? Justifique a relação algébrica que existe entre $\vec{w}$, $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Ao chegar a $P''(6, 4)$, o personagem ativa um espelho mágico que reflete a sua posição em relação a um eixo vertical de equação desconhecida $x = k$, projetando a sua sombra no ponto $P'''(0, 4)$. Deduza o valor numérico da constante $k$, justificando o procedimento geométrico que você empregou.

Uma oficina de artesanato de Cunha, no estado de São Paulo, está criando uma cercadura decorativa tradicional para o rodapé de uma parede. O motivo básico do friso é uma peça triangular cujos vértices sobre a malha quadriculada de trabalho (em centímetros) são $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 3)$. Para construir o friso ao longo de uma parede de $2\text{ m}$ ($200\text{ cm}$), repete-se este triângulo aplicando consecutivamente uma translação de vetor $\vec{v}(6, 0)$.

1. a) Determine as coordenadas dos vértices do segundo triângulo ($A_2, B_2, C_2$) e do terceiro triângulo ($A_3, B_3, C_3$). A partir das coordenadas das bases, explique de forma fundamentada se as peças contíguas ficam encostadas, sobrepostas ou se fica um espaço vazio entre elas sobre o eixo horizontal.
2. b) Considerando a largura da base de cada motivo ($4\text{ cm}$) e o avanço da translação, calcule quantos motivos triangulares completos cabem na cercadura horizontal de $200\text{ cm}$ sem que o último ultrapasse esse comprimento.
3. c) Para desenhar uma variante do friso, o artesão decide aplicar ao triângulo inicial $ABC$ uma simetria axial em relação à reta $y = 0$ (eixo $X$) antes de transladá-lo. Escreva as coordenadas dos vértices do motivo refletido e justifique se este novo motivo conserva a orientação original dos seus vértices (movimento direto) ou se a inverte (movimento inverso).

Num estúdio de design gráfico, está sendo criado um logotipo baseado na composição de simetrias. Considere duas retas paralelas $r$ e $s$. A reta $r$ tem por equação $x = 2$ e a reta $s$ tem por equação $x = 5$. Se aplicarmos primeiro uma simetria axial em relação a $r$ e, ao resultado, uma simetria axial em relação a $s$ sobre um ponto $P(1, 4)$:

1. a) Determine as coordenadas do ponto final $P''$ depois de ambas as transformações.

1. b) Identifique de forma fundamentada qual é o movimento único equivalente a esta composição de simetrias, indicando seus elementos característicos (vetor, ângulo ou centro, conforme corresponda).

1. c) O resultado seria o mesmo se aplicássemos primeiro a simetria em relação a $s$ e depois em relação a $r$? Justifique sua resposta calculando as coordenadas nesta nova ordem.

Um caleidoscópio artesanal utiliza dois espelhos que se cortam em um ponto $O(0, 0)$. O primeiro espelho coincide com o eixo das abscissas ($X$) e o segundo espelho forma um ângulo de $30^\circ$ com o primeiro. Um pequeno cristal colorido está situado no ponto $A(4, 2)$, como indica a figura.

1. a) Se um raio de luz se refletir primeiro no eixo $X$ e depois no segundo espelho, que transformação única descreve a passagem do cristal original $A$ para a sua segunda imagem $A''$?

1. b) Calcule o ângulo de rotação e o centro dessa transformação.

1. c) Se quisermos que a composição das duas simetrias resulte numa rotação de $180^\circ$ (simetria central), que ângulo deveriam formar os dois espelhos entre si?

Aplica-se a um triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 2)$ e $C(2, 4)$ uma translação de vetor $\vec{u}(4, -1)$ seguida de uma rotação de centro $O(0, 0)$ e ângulo $90^\circ$ no sentido anti-horário.

1. a) Obtenha as coordenadas dos vértices do triângulo final $A''B''C''$.
2. b) A composição de movimentos é comutativa neste caso? Verifique calculando a posição do vértice $A$ se fosse aplicada primeiro a rotação e depois a translação.
3. c) Descreva uma reta que seja invariante (que se transforme em si mesma) sob a translação de vetor $\vec{u}$.

Em um videogame, um personagem se encontra no ponto $M(-2, 3)$. O programador precisa que o personagem realize uma "reflexão com deslizamento". Para isso, deve aplicar uma reflexão em relação à reta $y = 1$ e, em seguida, uma translação de vetor $\vec{v}(5, 0)$.

1. a) Encontre as coordenadas finais do personagem depois do movimento.
2. b) Explique por que este movimento não deixa nenhum ponto invariante no plano.
3. c) Se a translação fosse de vetor $\vec{w}(0, 5)$ em vez de $\vec{v}(5, 0)$, continuaria sendo uma reflexão com deslizamento? Fundamente sua resposta com base na relação entre o vetor e o eixo de simetria.

Um mosaico do Pelourinho é formado por peças obtidas mediante a composição de rotações. Uma peça básica tem um centro de rotação no ponto $C(2, 2)$. Aplica-se a ela uma rotação de $120^\circ$ e, em seguida, outra rotação de $240^\circ$ com o mesmo centro $C$.

1. a) Qual é a posição final de um ponto $P(4, 2)$ após ambas as rotações?
2. b) Generalize o resultado: A qual transformação equivale a composição de duas rotações com o mesmo centro e ângulos $\alpha$ e $\beta$?
3. c) Se aplicarmos duas rotações de $90^\circ$ mas com centros diferentes, $C_1(0, 0)$ e $C_2(4, 0)$, o resultado é outra rotação ou uma translação? Justifique sua resposta analisando o ângulo total.

Em um teatro, o palco circular pode girar em torno do seu centro $O(0, 0)$, e um dos refletores está instalado no ponto $A(3, 1)$. Durante uma coreografia, são aplicados dois movimentos seguidos: primeiro uma rotação de centro $O$ e ângulo $90^\circ$ no sentido anti-horário e, em seguida, uma simetria axial em relação à reta $y = x$. Na figura são mostrados o refletor $A$ e a reta $y = x$.

1. a) Calcule as coordenadas da posição do refletor após a rotação ($A'$) e da sua posição final após a simetria ($A''$).
2. b) A composição de uma rotação com uma simetria axial é uma isometria direta ou inversa? Justifique a sua resposta.
3. c) Essa composição é comutativa? Verifique calculando a posição final do refletor se fosse aplicada primeiro a simetria e depois a rotação.

Duas aldeias, $A$ e $B$, estão situadas do mesmo lado de uma estrada retilínea $r$. Um técnico de telecomunicações deve instalar uma antena em um ponto $P$ da estrada de modo que a soma das distâncias das aldeias à antena ($AP + PB$) seja mínima.

1. a) Descreva como utilizar a simetria axial para encontrar a localização exata do ponto $P$.

1. b) Se em um sistema de coordenadas as aldeias estão em $A(2, 5)$ e $B(10, 3)$, e a estrada é o eixo $X$ (como na figura), calcule as coordenadas do ponto $P$.

1. c) Demonstre, com base nas propriedades da simetria, que para qualquer outro ponto $Q$ da estrada, $AQ + QB > AP + PB$.

Considere um quadrado de vértices $V_1(0, 2)$, $V_2(2, 2)$, $V_3(2, 0)$ e $V_4(0, 0)$. Aplica-se a ele uma transformação que consiste em uma simetria central em relação ao ponto $(1, 1)$ seguida de uma rotação de $180^\circ$ com centro no mesmo ponto $(1, 1)$.

1. a) Determine a posição dos vértices após a primeira transformação.
2. b) Determine a posição dos vértices após a segunda transformação.
3. c) Qual é o movimento resultante da composição de duas simetrias centrais de centros diferentes $C_1$ e $C_2$? Investigue este caso testando com $C_1(1, 1)$ e $C_2(3, 1)$ sobre o vértice $V_4$. Qual vetor de translação se obtém?

A grande rosácea de uma catedral gótica em Minas Gerais possui simetria radial. Para uma restauração virtual, situa-se a rosácea num plano cartesiano fixando o seu centro geométrico no ponto $C(2, 3)$. Um detalhe decorativo chave tem um dos seus vértices no ponto $P(5, 7)$ (as medidas estão em metros).

1. a) A rosácea apresenta uma ordem de simetria de rotação $n = 8$ (o seu aspecto é idêntico após girar múltiplos inteiros de $360^\circ / 8$). Qual é o menor ângulo de rotação positivo (diferente de $0^\circ$) que transforma o detalhe decorativo em outra parte idêntica da rosácea?
2. b) O restaurador precisa localizar a posição do vértice $P'$ que resulta de aplicar ao ponto $P(5, 7)$ uma rotação de $90^\circ$ no sentido horário com centro no ponto $C(2, 3)$. Como o centro não é a origem das coordenadas $(0, 0)$, deduza de forma fundamentada as coordenadas de $P'$. (Você pode se ajudar calculando as distâncias horizontal e vertical de $P$ em relação a $C$ e analisando como elas se orientam após a rotação.)
3. c) Um historiador afirma que realizar uma rotação de $180^\circ$ com centro em $C(2, 3)$ produz exatamente o mesmo resultado que aplicar sucessivamente duas simetrias axiais em relação a duas retas perpendiculares que se intersectem em $C$. Proponha a equação de uma reta horizontal e de uma reta vertical que cumpram essa condição, calcule analiticamente a imagem de $P(5, 7)$ após aplicar ambas as simetrias e demonstre se a afirmação do historiador está correta.

Desafio do tema. Você já reparou na matemática que decora o chão da sua cozinha, o hall do prédio ou uma praça do seu bairro? Você vai se transformar em um designer digital analisando e reconstruindo um padrão geométrico real.

1. Coleta de dados reais: Escolha um ladrilho, azulejo ou mosaico do seu entorno que apresente figuras repetidas. Com uma régua ou fita métrica, meça as dimensões reais (por exemplo, lados de $15,5\text{ cm}$ ou distâncias entre vértices) e anote os valores numéricos.

2. Construção no GeoGebra: Abra o GeoGebra e fixe os vértices do motivo básico gerador usando as medidas reais obtidas como coordenadas. A partir dessa peça inicial, reproduza o mosaico aplicando pelo menos três transformações geométricas distintas: uma translação por meio de um vetor $\vec{u}$, uma rotação indicando centro e ângulo $\alpha$, e uma simetria (axial ou central).

3. Relatório de design: Elabore um relatório de uma página que inclua a imagem real, a captura da sua construção com a malha visível e uma tabela em que você relacione as coordenadas originais de três vértices-chave com suas coordenadas transformadas, indicando algebricamente cada operação realizada.

Será valorizado:

• Precisão na coleta de medidas reais e na sua transposição coerente para o plano cartesiano.

• Identificação e aplicação correta de translações, rotações e simetrias com seus elementos determinantes (vetores, centros, eixos).

• Qualidade da modelagem no GeoGebra e clareza no relatório analítico apresentado.