Exercícios: Proporcionalidade inversa

Indique se cada par de grandezas é diretamente proporcional, inversamente proporcional ou nenhuma das duas coisas:

1. a) A velocidade de um ciclista e o tempo que ele leva para chegar.
2. b) Os quilos de morangos comprados e o valor pago.
3. c) O número de pessoas que colhem uma horta e o tempo que levam.
4. d) A idade de uma árvore e a sua altura.

Complete a tabela sabendo que as grandezas são inversamente proporcionais:

Operários	$2$	$4$	$6$	$3$
Dias	$12$	$6$

1. a) Quantos dias levam $6$ operários?
2. b) Quantos dias levam $3$ operários?
3. c) Quantos dias levaria $1$ operário?

Cinco torneiras iguais enchem um tanque em $8$ horas. Vamos calcular passo a passo:

1. a) Se houvesse apenas $1$ torneira, quantas horas levaria? (Pense: uma única torneira trabalha $5$ vezes menos.)
2. b) E se houvesse $10$ torneiras?

Verifique se as grandezas destas tabelas são inversamente proporcionais calculando o produto de cada par de valores:

a)

$x$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$18$	$12$	$9$	$6$

b)

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$30$	$20$	$15$	$10$

Uma equipe de $4$ pedreiros demora $18$ dias para construir o muro perimetral de um ginásio esportivo municipal. Para terminar mais cedo, o encarregado da obra decide incorporar mais $2$ pedreiros com o mesmo ritmo de trabalho, totalizando $6$ pedreiros.

Álvaro, um dos serventes, formula a seguinte regra de três para calcular a duração da obra:

$$4\ \text{pedreiros} \longrightarrow 18\ \text{dias}$$ $$6\ \text{pedreiros} \longrightarrow x\ \text{dias}$$ $$x = \frac{6 \cdot 18}{4} = 27\ \text{dias}$$

1. a) Sem fazer operações numéricas complexas, explique por que a resposta de Álvaro não faz sentido do ponto de vista da realidade.
2. b) Que erro conceitual Álvaro cometeu ao definir a proporção?
3. c) Corrija o cálculo e encontre o número exato de dias que os $6$ pedreiros demorarão, utilizando a constante de proporcionalidade inversa (o produto constante).

O tanque da piscina municipal de uma cidade pequena normalmente enche em $12\ \text{horas}$ usando $3$ torneiras de enchimento idênticas ligadas à rede geral. Devido a trabalhos de manutenção antes do verão, uma das torneiras está com defeito, então o tanque precisa ser enchido usando apenas $2$ torneiras com a mesma vazão.

1. a) Antes de calcular: deduza se o tempo necessário será maior ou menor que $12\ \text{horas}$. Você acha que o tempo chegará a dobrar e vai demorar $24\ \text{horas}$ ou mais? Escreva uma estimativa aproximada e justificada do intervalo de tempo no qual você espera encontrar a solução.
2. b) Faça o cálculo formal aplicando a proporcionalidade inversa para descobrir o tempo exato que a piscina vai demorar para encher com as $2$ torneiras disponíveis.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa inicial e explique se o resultado final é coerente.

Um grupo de $6$ operários leva $10$ dias para consertar a pista de um parque.

1. a) Quantos dias levariam $4$ operários trabalhando ao mesmo ritmo?
2. b) Quantos operários são necessários para terminar a pista em $5$ dias?

Uma torneira que jorra $120$ litros por minuto enche uma piscina em $15$ horas.

1. a) Quanto tempo levará para enchê-la outra torneira que jorra $200$ litros por minuto?
2. b) Qual é o volume da piscina, em litros? Justifique por que não é necessário sabê-lo para responder ao item a).

Um ônibus que circula a $60\ \text{km/h}$ leva $45$ minutos para fazer seu percurso completo.

1. a) Quanto tempo levaria circulando a $90\ \text{km/h}$?
2. b) A que velocidade ele deveria circular para completar o percurso em $30$ minutos?

O gráfico mostra os dias que várias equipes de pintores levam para pintar uma mesma casa de acordo com o número de pintores da equipe.

1. a) Quantos dias leva uma equipe de $4$ pintores? E uma de $2$?
2. b) Quantos pintores são necessários para pintar a casa em $6$ dias?
3. c) Multiplique, para cada ponto do gráfico, o número de pintores pelos dias que levam. O que se observa? Que tipo de proporcionalidade existe entre as duas grandezas?

Em uma fazenda há ração para alimentar $20$ cavalos durante $30$ dias.

1. a) Para quantos cavalos a mesma ração duraria $25$ dias?
2. b) Se a fazenda comprar mais $10$ cavalos, quantos dias durará a ração?

Em um acampamento há comida preparada para $12$ campistas comerem durante $15$ dias.

1. a) No primeiro dia chegam mais $3$ campistas. Para quantos dias o grupo terá comida?
2. b) Se, em vez de chegar gente, fossem embora $2$ campistas antes de começar, quantos dias duraria a comida?

Em uma pousada de peregrinos do Caminho de Santiago existem mantimentos na despensa para alimentar $30$ pessoas durante $12$ dias, à razão de uma refeição completa por pessoa e por dia. Inesperadamente, chega um grupo de mais $10$ peregrinos (passando a ser $40$ pessoas no total). A responsável pela pousada quer saber para quantos dias os mantimentos vão durar se o tamanho das porções for mantido.

Dois voluntários propõem caminhos distintos para calcular:

• Método 1 (Redução à unidade): Descobrir primeiro quantos dias duraria essa mesma comida se na pousada houvesse uma única pessoa e, a partir daí, calcular os dias para $40$ pessoas.

• Método 2 (Constante de proporcionalidade inversa): Calcular o total acumulado de refeições ($30 \cdot 12$) e propor a equação $40 \cdot x = 360$.

1. a) Resolva o problema aplicando o Método 1. Que significado real tem a quantidade que você obtém no passo intermediário ao calcular a duração para um único peregrino?
2. b) Resolva o problema aplicando o Método 2 e verifique que se obtém o mesmo resultado.
3. c) Se, em vez de chegarem $10$ pessoas, tivessem chegado apenas $3$ (passando a $33$ peregrinos no total), qual dos dois métodos seria mais prático para operar com frações simplificadas e evitar dízimas infinitas? Justifique a sua escolha.

Após uma forte tempestade no litoral do Nordeste, uma equipe municipal formada por $6$ operários demora $8\ \text{horas}$ completas para recolher as algas e os plásticos acumulados em uma praia.

O regulamento de segurança e marés do município exige que a jornada contínua de limpeza nessa área não ultrapasse em hipótese alguma as $5\ \text{horas}$ diárias.

1. a) Justifique por que o número de operários e o tempo de limpeza são grandezas inversamente proporcionais e calcule a constante de proporcionalidade inversa, indicando quais unidades ela tem e o que representa neste contexto real.
2. b) Para concluir o trabalho em uma única jornada, cumprindo rigorosamente o limite máximo de $5\ \text{horas}$, qual é o número mínimo de operários que o município deve contratar? Considere que a equipe precisa ser composta por pessoas inteiras.
3. c) Se, no final, o município só conseguir mobilizar $9$ operários, quanto tempo exato eles demorarão na limpeza? Apresente o resultado discriminado em horas e minutos inteiros.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a resposta:

1. a) Se ao aumentar uma grandeza a outra diminui, as duas grandezas são inversamente proporcionais.
2. b) Se duas grandezas são inversamente proporcionais, ao dobrar uma delas a outra se reduz à metade.
3. c) A idade de uma mãe e a idade de sua filha são grandezas inversamente proporcionais.
4. d) Se duas grandezas inversamente proporcionais assumem os valores $(3, 20)$, também podem assumir os valores $(5, 12)$.

Uma equipe de $12$ operários pode terminar uma obra em $20$ dias trabalhando todos ao mesmo ritmo.

1. a) Quantos dias levariam $8$ operários?
2. b) A obra começa com os $12$ operários, mas após $5$ dias de trabalho $4$ operários vão para outra obra. Quantos dias a mais os $8$ restantes precisarão para terminá-la?
3. c) Quantos dias a obra durou no total?

Duas rodas dentadas estão engrenadas: quando uma gira, obriga a outra a girar. A roda grande tem $36$ dentes e dá $12$ voltas completas.

1. a) Se a roda pequena tem $16$ dentes, quantas voltas ela dá no mesmo tempo?
2. b) Por que o número de dentes e o número de voltas são grandezas inversamente proporcionais? Que produto permanece constante?
3. c) Se quiséssemos que a roda pequena desse $72$ voltas, quantos dentes ela deveria ter?

Um carro que viaja a $90\ \text{km/h}$ leva $4$ horas para ir de uma cidade a outra. Para saber quanto tempo levaria indo a $120\ \text{km/h}$, um aluno montou uma regra de três direta e obteve $5,\widehat{3}$ horas.

1. a) Explique qual erro ele cometeu.
2. b) Calcule o tempo correto a $120\ \text{km/h}$.
3. c) A que velocidade deveria ir para levar apenas $3$ horas?

Um tanque enche em $6$ horas se $3$ torneiras iguais forem abertas ao mesmo tempo.

1. a) Quanto tempo levaria para encher com apenas uma torneira?
2. b) As $3$ torneiras são abertas, mas às $2$ horas uma delas quebra e deixa de funcionar. Quantas horas a mais as $2$ torneiras restantes levarão para terminar de encher o tanque?
3. c) Quantas horas o tanque levou no total para encher?

Uma avó quer repartir $\text{R\$}\ 180$ entre os seus três netos, de $2$, $3$ e $6$ anos, de forma inversamente proporcional às idades deles (para que o mais novo receba mais).

1. a) Repartir de forma inversamente proporcional às idades é repartir de forma diretamente proporcional a $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{6}$. Calcule a soma dessas três frações.
2. b) Que fração do total corresponde a cada neto?
3. c) Calcule quantos reais cada um recebe e verifique se a soma é $\text{R\$}\ 180$.

Uma fundação esportiva distribui uma bolsa em dinheiro de $\text{R\$}\ 1300$ entre os três melhores atletas de uma corrida escolar. Para premiar o mérito, o dinheiro é distribuído de forma inversamente proporcional ao tempo, em minutos, que cada corredor levou para cruzar a linha de chegada.

O primeiro colocado levou $20\ \text{minutos}$ e o segundo colocado levou $30\ \text{minutos}$. No entanto, o número de peito com chip do terceiro colocado se soltou durante a corrida e o tempo exato dele não ficou registrado no sistema. Na ata oficial de entrega dos prêmios consta que o primeiro colocado recebeu exatamente $\text{R\$}\ 600$.

1. a) A partir do prêmio obtido pelo primeiro colocado, calcule a constante de proporcionalidade ($k$) e descubra quanto dinheiro o segundo colocado recebeu.
2. b) Deduza que quantia sobrou do valor total de $\text{R\$}\ 1300$ para ser atribuída ao terceiro colocado.
3. c) Formule a equação correspondente e reconstitua o tempo exato (em minutos) que o terceiro colocado levou para completar a prova.

Num aerogerador de um parque eólico no interior da Bahia, as pás externas giram devagar, por isso se utiliza um multiplicador de velocidade com duas engrenagens acopladas para acionar o alternador elétrico. A roda motriz tem $90\ \text{dentes}$ e gira a uma velocidade constante de $16\ \text{rpm}$ (rotações por minuto). A roda movida tem menos dentes, por isso gira com maior rapidez.

1. a) Justifique matematicamente por que o número de dentes de uma roda e a sua velocidade de rotação (em $\text{rpm}$) são grandezas inversamente proporcionais, explicando qual grandeza física permanece constante no ponto de contato entre ambas as rodas durante um minuto.
2. b) Para que o alternador comece a injetar eletricidade na rede elétrica, a roda movida deve girar, no mínimo, a $60\ \text{rpm}$. Qual é o número máximo de dentes que essa roda movida pode ter?
3. c) Por motivos de segurança e resistência térmica, a roda movida nunca deve ultrapassar $100\ \text{rpm}$. O catálogo de peças de reposição do parque dispõe de rodas dentadas padrão de $12$, $18$ e $24$ dentes. Analise quais desses três modelos cumprem simultaneamente os dois requisitos técnicos (velocidade mínima de $60\ \text{rpm}$ e máxima de $100\ \text{rpm}$) e justifique qual deles deve ser instalado se o objetivo for obter a maior velocidade possível dentro dos limites de segurança.