Exercícios: Semelhança

Um designer gráfico está trabalhando no logotipo de um novo aplicativo. O desenho original é um retângulo que mede $8\text{ cm}$ de largura e $12\text{ cm}$ de altura. Para a tela de carregamento, precisa criar uma versão maior que seja semelhante à original. Se a largura da versão ampliada deve ser de $20\text{ cm}$, qual será a altura do logotipo nessa tela?

Na planta de uma residência, a escala utilizada é $1:50$. Se a sala tem um comprimento de $12\text{ cm}$ no desenho, calcule quantos metros mede o comprimento real desse cômodo.

Dois triângulos estão posicionados em posição de Tales. Sabendo que os segmentos horizontais são paralelos e medem $6\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, e que o segmento vertical do triângulo menor mede $9\text{ cm}$, calcule o valor do segmento vertical desconhecido, denotado por $x$, do triângulo maior.

Um estudante do 9º ano mede $1,60\text{ m}$ de altura. Em um momento do dia, projeta uma sombra sobre o chão de $2\text{ m}$. Se logo ao lado, um poste de iluminação projeta uma sombra de $5\text{ m}$, qual é a altura do poste?

Indique se os seguintes pares de triângulos são semelhantes e justifique qual critério utilizou (AAA, LLL ou LAL):

• Triângulo 1: Ângulos de $40^\circ$ e $70^\circ$.

• Triângulo 2: Ângulos de $70^\circ$ e $70^\circ$.

Uma pizzaria oferece dois tamanhos de pizza redonda que são semelhantes. A pizza "Pequena" tem um raio de $10\text{ cm}$ e uma área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Se a pizza "Família" tem um raio de $20\text{ cm}$, qual será a sua área? (Lembre-se da relação entre a razão de semelhança $k$ e as áreas).

O Marcos quer fazer uma cópia ampliada de uma gravura artística retangular de $15\text{ cm} \times 20\text{ cm}$. Na copiadora, oferecem a ampliação proporcional de modo que a nova largura seja de $45\text{ cm}$. O Marcos calcula mentalmente: «Como a largura passa de $15\text{ cm}$ para $45\text{ cm}$, a figura triplica. A gravura original custava $\text{R\$}\ 2$, então a nova gravura, por ter o triplo do tamanho, vai me custar exatamente $\text{R\$}\ 6$».

1. a) Identifique o erro no raciocínio do Marcos sobre o custo do papel. Que grandeza geométrica determina o gasto de material: o comprimento linear ou a área?
2. b) Encontre a razão de semelhança linear $k$ e calcule as dimensões (largura e comprimento) e a área da gravura ampliada.
3. c) Se o preço do papel especial de impressão for proporcional à superfície impressa, qual é o preço real e justo que o Marcos deveria pagar pela gravura grande?

Numa praça de Belo Horizonte, às onze da manhã, uma placa de trânsito vertical de $2\text{ m}$ de altura projeta sobre o pavimento uma sombra de $1,6\text{ m}$. Nesse mesmo instante, a torre de uma igreja próxima projeta uma sombra retilínea de $28\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular com precisão, faça uma estimativa fundamentada: observando a relação entre a altura da placa e a sua sombra, você espera que a altura da torre seja maior ou menor do que o comprimento da sua sombra? Estará mais próxima de $20\text{ m}$, de $35\text{ m}$ ou de $50\text{ m}$?
2. b) Apresente a proporção matemática correspondente (recorrendo a triângulos semelhantes formados pelos raios solares) e calcule com exatidão a altura da torre.
3. c) Compare o valor numérico obtido com a sua estimativa prévia e avalie se o resultado faz sentido físico e arquitetônico para um campanário histórico.

Um designer gráfico está trabalhando no logotipo de uma nova marca de roupas. O desenho original é um quadrilátero com lados que medem $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. O cliente pede uma versão maior para um cartaz publicitário, na qual o lado que antes media $9\text{ cm}$ agora deve medir $45\text{ cm}$.

1. a) Calcule a razão de semelhança $k$ entre o logotipo do cartaz e o original.
2. b) Determine a medida dos outros três lados no logotipo do cartaz.
3. c) Se o perímetro do logotipo original é de $35\text{ cm}$, qual será o perímetro do logotipo do cartaz sem somar seus lados um a um?

Para calcular a altura de uma torre de comunicação que projeta uma sombra muito longa, Marcos, que mede $1,70\text{ m}$, posiciona-se em pé de forma que a extremidade da sua própria sombra coincida com a extremidade da sombra da torre. Se Marcos está a $25\text{ m}$ da base da torre e a sua sombra mede $2,5\text{ m}$, responda:

1. a) Por que podemos afirmar que os triângulos formados por Marcos e pela torre com as suas respectivas sombras são semelhantes? Mencione o critério de semelhança utilizado.
2. b) Calcule a altura da torre.

Na seguinte figura, as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Sabendo que $y = x + 1$, utilize o Teorema de Tales para calcular os comprimentos desconhecidos $x$ e $y$ expressos em centímetros.

Um projetor de cinema está situado a $6\text{ metros}$ de uma tela. O feixe de luz projeta uma imagem que na tela tem uma altura de $2,4\text{ metros}$.

1. a) Se colocarmos um obstáculo de $40\text{ cm}$ de altura paralelo à tela para criar uma sombra chinesa, a que distância do projetor devemos colocá-lo para que a sua sombra ocupe exatamente toda a altura da tela?
2. b) Se afastarmos o projetor até os $9\text{ metros}$ da tela, qual será a nova altura da imagem projetada?

Dois retângulos são semelhantes. O primeiro tem uma base de $12\text{ cm}$ e uma área de $96\text{ cm}^2$. O segundo retângulo tem uma área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcule a razão de semelhança entre o segundo e o primeiro retângulo. (Dica: utilize a relação entre áreas).
2. b) Calcule as dimensões (base e altura) do segundo retângulo.
3. c) Qual é a razão entre seus perímetros?

Observe o triângulo retângulo da figura. A altura $h$ relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores.

1. a) Justifique por que os três triângulos (o original e os dois pequenos) são semelhantes entre si.
2. b) Se os segmentos em que a hipotenusa fica dividida medem $m = 4\text{ cm}$ e $n = 9\text{ cm}$, calcule a altura $h$ utilizando a semelhança dos dois triângulos pequenos.
3. c) Calcule a área do triângulo original.

Uma empresa de móveis fabrica mesas de centro hexagonais regulares. Há dois modelos: o modelo "Mini" tem um lado de $30\text{ cm}$ e o seu tampo de vidro custa $\text{R\$}\ 45$. O modelo "Gran Salón" é semelhante ao anterior e tem um lado de $60\text{ cm}$.

1. a) Qual é a razão de semelhança entre o modelo grande e o pequeno?
2. b) Sabendo que o preço do vidro é proporcional à sua área, quanto custará o tampo de vidro do modelo "Gran Salón"?
3. c) Se para contornar a mesa pequena com uma fita metálica são necessários $180\text{ cm}$, quanta fita será necessária para a mesa grande?

Num mapa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) à escala $1:50\,000$, uma brigada de bombeiros florestais do Corpo de Bombeiros analisa uma parcela triangular de mata. No papel, os três lados do triângulo medem exatamente $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$.

1. a) Verifique numericamente que o triângulo do mapa é retângulo e calcule o seu perímetro (em $\text{cm}$) e a sua área (em $\text{cm}^2$).
2. b) Utilizando a escala como razão de semelhança linear, calcule os comprimentos reais dos três lados do terreno florestal em quilômetros e obtenha o seu perímetro real.
3. c) Calcule a superfície real da parcela de duas formas independentes: primeiro, calculando a área a partir dos comprimentos reais em quilômetros do item anterior; segundo, multiplicando a área do mapa pela razão de áreas $k^2$ adequada. Verifique que ambos os métodos coincidem e expresse o resultado final em hectares ($1\text{ km}^2 = 100\text{ ha}$).

Uma oficina de cerâmica artesanal de Santos (SP) fabrica azulejos decorativos semelhantes com a forma de paralelogramo. O molde básico tem uma base de $12\text{ cm}$, uma altura de $5\text{ cm}$ e lados laterais inclinados de $6,5\text{ cm}$. Para um mural em um prédio público, recebem a encomenda de fabricar peças semelhantes cuja superfície individual seja exatamente de $1\,500\text{ cm}^2$.

1. a) Calcule a área e o perímetro do azulejo básico.
2. b) Apresente a relação matemática entre as áreas de duas figuras semelhantes para deduzir a razão de semelhança linear $k$ que transforma o azulejo básico no azulejo grande do mural.
3. c) A partir dessa razão $k$, calcule as dimensões completas (base, altura e lados oblíquos) do azulejo grande, bem como os metros de fita protetora que serão necessários para embalar o contorno perimétrico de cada uma das peças grandes.

Um arquiteto está projetando a fachada de um auditório moderno. Desenhou um triângulo retângulo principal e, para melhorar a acústica, precisa traçar a altura relativa à hipotenusa. Esta altura divide o triângulo original em outros dois triângulos menores. Sabendo que os catetos do triângulo original medem $18\text{ m}$ e $24\text{ m}$, utilize a semelhança de triângulos para calcular:

1. a) O comprimento da altura relativa à hipotenusa.
2. b) Os comprimentos dos dois segmentos em que a hipotenusa fica dividida.

Uma empresa de impressão 3D criou uma maquete em escala de uma praça circular. Na maquete, a área da praça é de $450\text{ cm}^2$. O cliente solicita uma segunda maquete onde o perímetro seja $20\%$ maior do que o da primeira maquete.

1. a) Qual será a área da praça nesta segunda maquete?
2. b) Se a praça real tem um raio de $30\text{ m}$, qual é a escala utilizada na primeira maquete? (Expresse a escala no formato $1:n$).

Para medir a altura de uma torre de resfriamento de uma usina elétrica, uma equipe de engenheiros utiliza um espelho colocado no chão. O engenheiro posiciona-se de modo que, olhando para o espelho, vê refletida a parte superior da torre. O espelho está a $45\text{ m}$ da base da torre. O engenheiro, cujos olhos estão a uma altura de $1,75\text{ m}$, encontra-se a $1,5\text{ m}$ do espelho. Entre o espelho e a torre há uma cerca de segurança de $5\text{ m}$ de altura.

A que distância mínima do espelho deve estar a cerca para que não oculte o reflexo da parte superior da torre nos olhos do engenheiro?

Duas cidades, A e B, estão separadas por um rio de margens paralelas. Para calcular a distância entre um ponto $P$ na margem da cidade A e um ponto $Q$ na margem da cidade B (situado bem em frente), um topógrafo percorre $60\text{ m}$ pela margem da cidade A até um ponto $R$. A partir de $R$, caminha outros $20\text{ m}$ na mesma direção até um ponto $S$. Em $S$, vira $90^\circ$ e afasta-se do rio até que os pontos $Q$ e $R$ fiquem alinhados com a sua posição atual ($T$). Se a distância $ST$ é de $15\text{ m}$:

1. a) Calcule a largura do rio ($PQ$).
2. b) Calcule a distância em linha reta entre o topógrafo no ponto $T$ e o ponto $Q$ do outro lado do rio.

Um drone projeta um feixe de luz cônico sobre um terreno plano. A uma altura de $10\text{ m}$, o feixe ilumina um círculo de $4\text{ m}$ de raio. O drone desce até uma altura em que a área iluminada fica reduzida exatamente a um quarto da original.

Desenhe o esquema no seu caderno.

1. a) A que altura o drone se encontra agora?
2. b) Se no centro da área iluminada houver um objeto cilíndrico de $1,5\text{ m}$ de altura e $0,85\text{ m}$ de raio, que raio terá a sombra projetada por esse objeto quando o drone estava a $10\text{ m}$ de altura?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um mapa de uma área florestal, um incêndio afetou uma superfície em forma de trapézio. As bases do trapézio no mapa medem $4\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$, e a sua altura é de $3\text{ cm}$. Sabe-se que a superfície real afetada é de $16,5\text{ hectáreas}$ ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

1. a) Calcule a escala do mapa.
2. b) Se for decidido reflorestar uma área adjacente que, no mapa, é um triângulo semelhante ao que se formaria ao prolongar os lados não paralelos do trapézio, e cuja base é a base menor do trapézio, qual será a superfície real dessa área de reflorestamento?

Projeta-se um slide em uma tela situada a $6\text{ m}$ de distância. O tamanho da imagem projetada é de $1,8\text{ m}$ de altura por $2,4\text{ m}$ de largura.

1. a) Se o slide original tem dimensões de $24\text{ mm}$ por $32\text{ mm}$, a que distância do slide se encontra o foco de luz do projetor?
2. b) Se movermos a tela para que fique a $9\text{ m}$ do projetor, quantas vezes a área da imagem aumentará em relação à projeção anterior?

Considere um triângulo isósceles $ABC$ onde o lado desigual $BC$ mede $12\text{ cm}$ e os lados iguais medem $10\text{ cm}$ cada um. Inscrito nele, coloca-se um quadrado cuja base apoia-se sobre o lado $BC$ do triângulo e cujos outros dois vértices tocam os lados $AB$ e $AC$.

Utilize a semelhança entre o triângulo original e o triângulo pequeno que fica acima do quadrado para calcular o lado do quadrado.

Para garantir a acessibilidade em uma estação de trem, instala-se uma rampa reta contínua que vence um desnível vertical de $1,2\text{ m}$ sobre uma distância horizontal no solo de $9\text{ m}$. Por motivos estruturais, deve-se colocar um pilar vertical de apoio a $3\text{ m}$ de distância horizontal a partir do início da rampa. É necessário calcular a altura $h$ desse pilar e o comprimento $d$ do trecho inclinado da rampa que vai desde o solo até o topo do pilar.

Para resolver, dois técnicos discutem qual o caminho mais conveniente:

• Estratégia 1 (Semelhança geométrica direta): Considerar o triângulo grande completo e o triângulo pequeno sob o pilar como semelhantes em posição de Tales; calcular a hipotenusa grande por Pitágoras e depois reduzi-la com a razão de semelhança horizontal.

• Estratégia 2 (Coeficiente angular e Pitágoras local): Calcular o coeficiente angular constante da rampa como quociente vertical/horizontal ($1,2 / 9$), aplicar esse coeficiente ao trecho de $3\text{ m}$ para obter diretamente $h$, e depois aplicar o Teorema de Pitágoras unicamente sobre o triângulo menor.

1. a) Resolva o problema aplicando detalhadamente os passos da Estratégia 1.
2. b) Resolva o problema aplicando detalhadamente os passos da Estratégia 2.
3. c) Compare ambos os procedimentos: analise qual dos dois evita arrastar dízimas periódicas ou aproximações intermediárias e justifique fundamentadamente qual você recomendaria para minimizar erros nas plantas de uma obra.

Para avaliar as perdas por seca em uma propriedade agrícola de Londrina, um perito utiliza uma câmera fotográfica com um sensor retangular de $36\text{ mm} \times 24\text{ mm}$ e uma objetiva com uma distância focal fixa de $50\text{ mm}$. A câmera é montada em um drone que aponta perpendicularmente para o solo, de modo que a objetiva atua como vértice comum de duas pirâmides de visão invertidas e semelhantes (a que vai da objetiva ao sensor interno e a que vai da objetiva ao terreno exterior).

1. a) Se o drone voar a uma altura fixa de $150\text{ m}$ sobre o solo da propriedade, demonstre por que o terreno abrangido pela foto é semelhante ao sensor da câmera e determine a razão de semelhança linear $k$ entre o terreno real e a imagem captada no sensor (atenção à coerência de unidades).
2. b) Calcule as dimensões reais em metros (comprimento e largura) do retângulo de cultivo que aparece em uma fotografia e calcule a área de terreno abrangida em cada disparo (em metros quadrados e em hectares).
3. c) Problema inverso: Suponha que, para uma inspeção mais detalhada, a norma exija que cada fotografia abranja uma área de terreno de exatamente $2\,160\text{ m}^2$. Utilizando a relação matemática entre a razão de áreas e a razão de comprimentos, deduza a que altura exata sobre o solo o drone deve voar para cumprir esse requisito.