Exercícios: Lugares geométricos

Um jovem treina o seu cão num terreno baldio. O cão está preso a uma guia extensível de $5$ metros de comprimento máximo, ancorada a uma estaca cravada no chão. Desenhe e descreva o lugar geométrico formado pelas posições por onde o cão pode se mover se mantiver a guia sempre tensa (isto é, esticada ao máximo). Escolha uma escala adequada, por exemplo $1$ cm no desenho equivale a $1$ m na realidade, e assinale no seu desenho a estaca e a posição do cão.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas aldeias, Aldeia A e Aldeia B, estão situadas a uma distância de $8$ km uma da outra, como mostra a figura. As autoridades querem construir um ponto de ônibus que esteja exatamente à mesma distância de ambas as aldeias. Em que linha ou lugar geométrico deve ser situado o ponto de ônibus? Represente-o graficamente no seu caderno.

Em um museu, duas paredes formam um ângulo de $70^\circ$. Deseja-se instalar uma vitrine que esteja situada sempre à mesma distância de ambas as paredes. Desenhe o ângulo e trace o lugar geométrico onde poderiam ser colocados os objetos da vitrine. Como se chama tecnicamente essa linha?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Identifique o ponto notável do triângulo descrito em cada caso:

1. a) É o ponto que equidista dos três vértices do triângulo.
2. b) É o ponto onde se cruzam as três alturas de um triângulo.
3. c) É o centro da circunferência inscrita no triângulo (a que toca os seus três lados).
4. d) É o centro de gravidade do triângulo e o ponto onde se cruzam as medianas.

Desenhe no seu caderno um triângulo cujos lados meçam $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm (na figura você tem um esquema do triângulo). Trace as suas três mediatrizes e marque o ponto onde se cortam. Comprove, usando o compasso, que esse ponto é o centro de uma circunferência que passa pelos três vértices. Que nome recebe esse ponto?

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um parque tem forma triangular, como mostra a figura. Deseja-se instalar uma fonte no interior do parque de modo que a distância da fonte a cada um dos três caminhos (lados do parque) seja a mesma.

1. a) Que retas notáveis do triângulo você teria de desenhar para encontrar a localização?

1. b) Como se chama o ponto resultante?

Foi projetada uma nova ciclovia reta que passa pelo centro de uma cidade. Por segurança, não é permitido construir nenhuma edificação a menos de $15$ metros dessa ciclovia. Descreva o lugar geométrico que delimita a zona proibida dos dois lados da ciclovia e desenhe um esquema simples.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

É possível que, em um triângulo, o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro coincidam no mesmo ponto? Em caso afirmativo, indique que tipo de triângulo deve ser e desenhe-o, marcando esse ponto.

Na aula do 3.º ano do Ensino Básico (3.º ESO), o professor pede para definir e traçar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de dois postes, $A$ e $B$, separados por uma distância de $6\text{ m}$. O Sérgio escreve no seu caderno:\n\n«O lugar geométrico é o segmento de $6\text{ m}$ de comprimento que passa exatamente pelo ponto médio entre $A$ e $B$ e é perpendicular à linha que os une; se sairmos desses $6\text{ m}$, os pontos já não podem estar à mesma distância de $A$ e de $B$ porque estariam demasiado longe».\n\na) Identifica os dois erros conceptuais que o Sérgio comete no seu raciocínio.\nb) Explica por que razão a distância a que se encontra um ponto não o impede de pertencer a esse lugar geométrico e redige a definição correta do lugar geométrico de que se trata.

Em uma quadra poliesportiva, duas balizas de treino estão situadas nos pontos $A$ e $B$, separadas exatamente por $8\text{ m}$. Queremos colocar uma bola em uma posição que cumpra duas condições ao mesmo tempo: estar à mesma distância de $A$ e de $B$, e estar exatamente a $5\text{ m}$ da baliza $A$.\n\na) Estime: antes de fazer cálculos ou traçados precisos, estime de forma justificada quantas posições possíveis existem na quadra para colocar a bola (nenhuma, uma, duas ou infinitas?). Apoie sua previsão na comparação intuitiva entre o raio de busca e a distância entre as balizas.\nb) Verifique: identifique formalmente quais lugares geométricos correspondem a cada condição. Em seguida, calcule a distância exata a que a bola ficará da reta que une $A$ e $B$, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo correspondente, e conclua se a sua estimativa inicial estava correta.

No pátio de uma escola, duas antenas de Wi-Fi estão situadas nos pontos $A$ e $B$, separados por uma distância de $12$ metros (a figura mostra apenas as antenas). Um estudante procura um lugar para se sentar onde receba a mesma intensidade de sinal de ambas as antenas.

1. a) Descreva que lugar geométrico formam todos os pontos que estão à mesma distância de $A$ e de $B$.

1. b) Se o estudante, além disso, quiser estar exatamente a $10$ metros da antena $A$, em quantos pontos possíveis do pátio poderia se situar? Explique que figuras geométricas você teria de desenhar para encontrá-los.

Uma prefeitura quer instalar um poste de luz numa pequena praça de forma triangular cujos vértices estão situados nos pontos $P$, $Q$ e $R$ (observe a figura). Decidiram que o poste deve estar à mesma distância das três esquinas (vértices) da praça para que a iluminação seja equilibrada.

1. a) Como se chama o ponto notável do triângulo onde devem instalar o candeeiro?

1. b) Que retas notáveis do triângulo é necessário traçar para localizar esse ponto? Desenhe-o de forma esquemática.

Duas ruas retas de um bairro, a Rua Maior e a Rua Menor, cruzam-se em um ponto $O$ formando um ângulo de $60^\circ$, como se vê na figura. Quer-se colocar uma lixeira que cumpra duas condições: que esteja à mesma distância de ambas as ruas e que diste exatamente $5$ metros do ponto de interseção $O$. Considere as ruas como retas que se prolongam indefinidamente nos dois sentidos.

1. a) Defina o lugar geométrico que cumpre a primeira condição (estar à mesma distância de ambas as ruas).

1. b) Use o conceito de lugar geométrico para explicar como você determinaria a posição exata da lixeira. Quantas soluções possíveis existem no total?

Em um treino de futebol, uma bola é colocada em um ponto que dista o mesmo das duas linhas laterais (paralelas entre si). Se a largura do campo é de $60$ metros:

1. a) Descreva o lugar geométrico onde a bola pode estar.
2. b) Se o treinador adicionar uma restrição e disser que a bola deve estar a $20$ metros de uma bandeirinha de escanteio específica, desenhe o esquema da situação e identifique os pontos que cumprem ambas as condições.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um designer gráfico está criando um logotipo baseado em um triângulo escaleno. Ele quer inscrever uma circunferência no interior do triângulo de modo que seja tangente aos três lados.

1. a) Qual ponto notável do triângulo deve ser o centro dessa circunferência?
2. b) Se a distância desse centro a um dos lados é de $3$ cm, qual será a distância aos outros dois lados? Justifique sua resposta com base na definição de tal lugar geométrico.

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, estão em um parque formando um triângulo. Alba e Bruno estão a $10$ metros de distância. Carla observa que ela se encontra em um ponto tal que o ângulo formado pelas visadas para Alba e Bruno é sempre de $90^\circ$. A figura mostra uma das posições possíveis de Carla.

1. a) Como se chama o lugar geométrico onde se encontra Carla?
2. b) Se Carla se mover mantendo sempre esse ângulo de $90^\circ$ em relação aos seus amigos, que figura geométrica sua trajetória descreveria? Indique onde está o seu centro e quanto mede o seu raio.

Foi criado um jogo de tabuleiro em que uma peça deve ser colocada no "centro de gravidade" de uma peça triangular de papelão para que se mantenha em equilíbrio sobre a ponta de um lápis. Os lados do triângulo medem $15$ cm, $20$ cm e $25$ cm. Na figura você pode ver a peça $ABC$ (com o ângulo reto em $A$), as suas três medianas e o ponto $P$ onde se coloca a peça.

1. a) Que nome este ponto de equilíbrio recebe em geometria?
2. b) Se traçarmos uma das medianas deste triângulo, em que proporção o ponto de equilíbrio divide essa mediana? Expresse a relação entre a distância do ponto ao vértice e a distância do ponto ao lado oposto.

Uma empresa de logística quer localizar um armazém central que sirva três lojas situadas nos pontos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ e $C(10, 0)$ (unidades em km). Para minimizar os custos de transporte, o armazém deve estar à mesma distância das três lojas.

1. a) Determine as coordenadas do ponto onde deve ficar o armazém por meio do estudo das mediatrizes.

1. b) Como se chama o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância de $5$ km do ponto $B$? A loja $C$ estaria dentro dessa zona?

Os serviços de emergência de Castela e Leão estudam localizar uma base de ambulâncias regional que responda com o mesmo tempo de resposta aos centros urbanos de três municípios: Arévalo ($A$), Medina del Campo ($M$) e Olmedo ($O$). As distâncias em linha reta entre os seus centros são aproximadamente: $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ e $MO = 20\text{ km}$. Decide-se situar a base num ponto que seja equidistante dos três municípios.\n\na) Modele a situação: defina que lugar geométrico determina os pontos que são equidistantes de dois municípios quaisquer e que ponto notável do triângulo formado por $A$, $M$ e $O$ representa a localização da base.\nb) Aplique a relação entre os lados de um triângulo ($c^2$ em comparação com $a^2 + b^2$) para classificar o triângulo $AMO$ em acutângulo, retângulo ou obtusângulo.\nc) A partir da classificação anterior, justifique se a base ficará dentro do triângulo delimitado pelas três localidades ou fora dele. Explique que consequência prática tem esta propriedade dos lugares geométricos para a gestão do território.

Num plano cartesiano de desenho urbanístico, deseja-se que a fronteira de divisão de serviço entre dois repetidores, $A$ e $B$ (ou seja, a mediatriz do segmento $AB$), seja exatamente a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, cuja equação é $y = x$.\n\na) Se o repetidor $A$ for instalado no ponto de coordenadas $(0, 8)$, deduza de forma fundamentada as coordenadas em que o repetidor $B$ deve se situar obrigatoriamente. Confirme a sua dedução verificando que o ponto médio do segmento $AB$ pertence à reta $y = x$ e que o segmento $AB$ é perpendicular a ela.\nb) Generalize: formule que relação algébrica deve existir entre as coordenadas $(x_A, y_A)$ e $(x_B, y_B)$ de qualquer par de pontos para que a sua mediatriz continue sendo a reta $y = x$. Proponha outros dois pares de pontos distintos que compartilhem essa mesma mediatriz.

Uma equipe de resgate de montanha recebe sinais de dois excursionistas perdidos, situados nos pontos $A$ e $B$. O centro de comando sabe que a zona de busca é formada pelos pontos que estão exatamente à mesma distância de $A$ e de $B$. O helicóptero de resgate deve seguir uma trajetória retilínea representada por uma estrada secundária $r$. Em um mapa de coordenadas, os pontos são $A(1, 6)$ e $B(5, 2)$, e a estrada segue a direção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(4, 8)$.

Determine, por meio de raciocínios de lugares geométricos, o ponto exato onde o helicóptero cruzará a linha em que os excursionistas poderiam se encontrar.

Deseja-se instalar uma antena de telefonia que atenda a três vilas situadas nos vértices de um triângulo cujos lados medem $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ e $15\text{ km}$. O engenheiro chefe decide que a antena deve estar no circuncentro do triângulo para que a distância até as três vilas seja a mesma. Se a área do triângulo é de $84\text{ km}^2$, calcule o raio de cobertura que a antena deve ter (a distância do circuncentro a qualquer um dos vértices) sabendo que, em qualquer triângulo, o raio da circunferência circunscrita satisfaz a relação $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Área}}$.

Num parque de diversões, uma nova atração de "voo suspenso" move-se de modo que se mantém sempre à mesma distância de duas torres de controle fixas, $T_1$ e $T_2$, separadas entre si por $30$ metros.

1. Identifique de que lugar geométrico se trata e descreva-o.

2. Se situarmos as torres nos pontos $T_1(-15, 0)$ e $T_2(15, 0)$ de um plano (unidades em metros), que reta descreve a trajetória da atração? Indique a sua equação.

3. A atração passa exatamente por cima de uma cabine de manutenção situada no ponto $P(0, 20)$. Verifique que a cabine equidista das duas torres calculando ambas as distâncias.

Um arquiteto projeta uma praça triangular cujos lados medem $30$, $40$ e $50$ metros. No interior, quer colocar uma fonte que esteja à mesma distância das três ruas (os três lados do triângulo).

1. Como se chama o lugar geométrico que determina a posição da fonte?

2. Calcule a distância da fonte a cada uma das ruas. (Dica: A área de um triângulo também pode ser calculada como o produto do semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita, $A = s \cdot r$).

Considere duas retas secantes $r$ e $s$ que se cortam em um ponto $V$ formando um ângulo de $60^\circ$. Deseja-se desenhar uma circunferência de raio $10\text{ cm}$ que seja tangente a ambas as retas e esteja situada no interior do ângulo de $60^\circ$ representado na figura.

1. a) Explique em que linha deve se encontrar o centro $O$ dessa circunferência.

1. b) Calcule a que distância do ponto de interseção $V$ das duas retas deve se situar o centro da circunferência. (Dica: ao unir o centro com o ponto de tangência forma-se um triângulo retângulo; use as propriedades dos triângulos com ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$).

Duas boias de salvamento, $A$ e $B$, flutuam no mar separadas por uma distância de $8$ km. Os serviços de resgate querem instalar uma plataforma que cumpra duas condições ao mesmo tempo: que equidiste de ambas as boias e que diste exatamente $5$ km da boia $A$.

No mapa da figura, com unidades em km, as boias estão em $A(0, 0)$ e $B(8, 0)$.

1. a) Que lugar geométrico formam os pontos que equidistam de $A$ e de $B$? E os pontos que distam $5$ km de $A$?

1. b) Em quantos pontos distintos se pode instalar a plataforma? Justifique raciocinando sobre a posição relativa dos dois lugares geométricos anteriores.

1. c) Calcule as coordenadas de todos os pontos onde pode ser instalada a plataforma. (Dica: use o teorema de Pitágoras).

Um farol emite um sinal que só é recebido a uma distância inferior a $10\text{ km}$. Uma embarcação se move por uma costa retilínea $c$ que está a $8\text{ km}$ de distância do farol em seu ponto mais próximo.

1. Descreva o lugar geométrico dos pontos da costa que recebem o sinal do farol.

2. Calcule o comprimento do trecho da costa no qual a embarcação estará dentro do raio de alcance do farol.

Em um triângulo isósceles $ABC$, com $AB = AC$, sabemos que o baricentro (ponto onde se cortam as medianas), o ortocentro (ponto onde se cortam as alturas) e o circuncentro (ponto onde se cortam as mediatrizes) estão todos alinhados sobre uma mesma reta.

1. Essa reta coincide com a mediana, a altura, a mediatriz e a bissetriz traçadas a partir do vértice $A$. Qual é a sua relação com o eixo de simetria do triângulo? Justifique a sua resposta.

2. Se a base $BC$ mede $12\text{ cm}$ e a altura correspondente a essa base mede $9\text{ cm}$, determine a que distância da base se encontra o baricentro, sabendo que o baricentro divide cada mediana em dois segmentos de modo que o que chega ao vértice tem o dobro do comprimento do outro.

Uma cooperativa agrícola compra um terreno triangular com vértices nos cruzamentos de três estradas rurais retas. As estradas formam um triângulo retângulo cujos lados medem $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ e $100\text{ m}$. É necessário construir um poço comunitário dentro da parcela e discutem-se dois métodos geométricos baseados em lugares geométricos:\n\n- Método 1: situar o poço no circuncentro do terreno (interseção das mediatrizes), com o argumento de que deve estar à mesma distância dos três vértices (cruzamentos de estradas).\n- Método 2: situar o poço no incentro do terreno (interseção das bissetrizes internas), com o argumento de que deve estar à mesma distância das três estradas (lados do terreno).\n\nPara garantir a segurança do maquinário e evitar descargas, a regulamentação agrícola exige que o poço esteja localizado estritamente no interior do terreno e à maior distância possível do acostamento de qualquer estrada.\n\na) Analise a viabilidade de ambos os métodos calculando a que distância exata ficaria o poço de cada uma das três estradas no Método 1 e no Método 2 (você pode calcular o raio da circunferência inscrita igualando a área do triângulo, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, à soma das áreas dos três triângulos formados a partir do incentro, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Justifique criticamente qual dos dois métodos deve ser escolhido e por que razão o outro é completamente inadmissível de acordo com a regulamentação exigida.

A Guarda Costeira detecta um sinal de socorro nas imediações do Estreito de Gibraltar. Duas estações costeiras situadas em Tarifa ($T$) e Algeciras ($A$), separadas por $20\text{ km}$ em linha reta, coordenam a busca a partir de três dados técnicos:\n\n1. A intensidade do sinal recebido é idêntica em ambas as estações costeiras.\n2. A autonomia do barco de resgate com base em Tarifa permite que ele cubra um raio máximo de busca de $15\text{ km}$ a partir dessa estação.\n3. Para evitar os recifes e o canal de navegação costeira muito movimentado, descarta-se qualquer posição cuja distância à linha reta que une Tarifa e Algeciras seja menor ou igual a $6\text{ km}$.\n\na) Modele matematicamente o problema, traduzindo cada uma das três condições para a linguagem dos lugares geométricos (mediatriz, circunferência/círculo ou faixas paralelas de distância a uma reta).\nb) Deduza com rigor a forma geométrica da zona onde a embarcação pode se encontrar: determine se se trata de uma região bidimensional ou de um conjunto de segmentos, e calcule a distância mínima e máxima à linha reta $TA$ dos pontos que formam essa zona.\nc) Se uma boia sonar confirmar que a distância exata da embarcação a Tarifa é de $12,5\text{ km}$, calcule quantas localizações possíveis restam para a embarcação e a que distância exata da linha reta $TA$ se encontra cada uma delas.