Exercícios: Representação dos dados

Em uma turma do 8º ano foi realizada uma pesquisa para saber qual rede social é a preferida pelos alunos. Foram obtidos os seguintes resultados: Instagram, TikTok, TikTok, YouTube, Instagram, TikTok, YouTube, Instagram, Instagram, TikTok, YouTube, TikTok, Instagram, YouTube, Instagram.

Indique qual é a população deste estudo, qual é o indivíduo e de qual tipo de variável estatística se trata.

Observe o seguinte gráfico de barras que representa o esporte favorito de um grupo de adolescentes de um clube esportivo:

A partir do gráfico, responda:

1. a) Quantas pessoas preferem o basquete?
2. b) Qual é o esporte menos praticado neste grupo?
3. c) Quantas pessoas foram entrevistadas no total?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi perguntado aos alunos de uma turma sobre o número de irmãos que possuem, obtendo-se os seguintes dados:

$1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2$

Construa uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) e a frequência relativa ($f_i$).

Para representar os resultados de uma pesquisa sobre o sabor de sorvete preferido em um gráfico de setores, precisamos calcular os ângulos de cada seção. Se sabemos que $10$ pessoas de um total de $40$ gostam de chocolate, qual medida em graus ($^\circ$) terá o setor circular correspondente ao chocolate?

O pictograma a seguir mostra o número de árvores plantadas pelos alunos de uma escola durante quatro anos. Se cada símbolo representa $5$ árvores, responda às perguntas:

1. a) Quantas árvores foram plantadas no ano $2021$?
2. b) Em que ano foram plantadas exatamente $15$ árvores?
3. c) Qual é o número total de árvores plantadas ao longo dos quatro anos?

Foi registrado o tempo (em minutos) que $25$ alunos levam para chegar à escola a partir de sua casa. Os dados foram agrupados na seguinte tabela de intervalos:

Represente estes dados por meio de um histograma. (Lembre-se de colocar os intervalos no eixo horizontal e as frequências no vertical).

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O seguinte gráfico de linhas mostra a evolução da temperatura máxima em uma cidade durante a primeira semana de maio:

Observando o gráfico:

1. a) Em que dia da semana foi registrada a temperatura máxima mais alta?
2. b) Entre quais dois dias consecutivos houve uma maior queda de temperatura?
3. c) Qual era a temperatura máxima na segunda-feira?

Uma empresa de videogames quer saber quantas horas por semana os jovens de $12$ a $14$ anos jogam. Foram entrevistados $100$ jovens escolhidos ao acaso de diferentes escolas do Brasil.

Indique neste caso:

1. a) Qual é a população?
2. b) Qual é a amostra?
3. c) Qual é o indivíduo?
4. d) É uma variável qualitativa ou quantitativa?

Erro alheio. A Alba faz uma pesquisa com os $40$ alunos da sua turma sobre a atividade extracurricular preferida deles e obtém: Basquete ($10$), Teatro ($8$), Música ($14$) e Robótica ($8$). Ao preparar um gráfico de setores no caderno, ela escreve o seguinte:

«Para o setor de Basquete: como são $10$ pessoas de um total de $40$, divido $40$ por $10$, o que dá $4$, então o ângulo que devo desenhar é de $4^\circ$. Além disso, para apresentar os resultados, vou unir as partes superiores das barras com uma linha contínua porque assim se percebe melhor como a preferência evolui de uma atividade para outra».

1. a) Encontre e explique os dois erros conceituais cometidos pela Alba: um no cálculo do ângulo e outro na escolha do gráfico de linhas para este tipo de variável.
2. b) Corrija as operações dela e calcule o ângulo central exato que corresponde, no gráfico de setores, a «Basquete» e a «Música».
3. c) Explique qual gráfico (barras separadas ou histograma de barras juntas) é adequado para mostrar estes dados e por que razão não se devem juntar as barras neste caso.

Escolhe o método. Um grupo de trabalho do 2.º de ESO deve selecionar o tipo de gráfico mais adequado para apresentar três estudos estatísticos no jornal escolar:

1. A temperatura externa registrada no pátio da escola a cada duas horas ao longo de um dia de aulas (das 08:00 às 18:00).

2. A altura exata de $80$ estudantes agrupada nos intervalos $[140, 150)$, $[150, 160)$, $[160, 170)$, $[170, 180)$ e $[180, 190]$ (em centímetros).

3. O número de irmãos ($0$, $1$, $2$, $3$ ou mais) de uma amostra de $50$ famílias.

1. a) Para cada uma das três situações, determine qual das seguintes opções é a mais conveniente: gráfico de barras separadas, histograma de barras contíguas ou gráfico de linhas temporal.
2. b) Justifique cada escolha levando em conta se a variável é quantitativa discreta, contínua agrupada em intervalos ou se descreve uma evolução ao longo do tempo.
3. c) Se na situação 2 você desenhasse barras separadas com espaços entre elas em vez de um histograma, que mensagem falsa estaria transmitindo sobre os valores intermediários da altura?

Em um estudo sobre o uso de redes sociais, em uma escola com $480$ estudantes adolescentes, perguntou-se a $40$ deles, escolhidos ao acaso, qual é a sua plataforma favorita. Os resultados obtidos são os seguintes:

• TikTok: $18$ pessoas.

• Instagram: $12$ pessoas.

• YouTube: $6$ pessoas.

• BeReal: $4$ pessoas.

1. a) Identifique a população, a amostra e o tipo de variável estatística.

1. b) Elabore uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$), a frequência relativa ($f_i$) e a porcentagem ($\%$) de cada valor.

1. c) Represente os dados em um gráfico de barras.

Foi registrado o número de livros lidos pelos alunos de uma turma do 8º ano durante o primeiro trimestre. Os dados são:

$1, 2, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 1, 0, 5, 2, 1, 2, 1$.

1. a) Elabore a tabela de frequências absolutas e absolutas acumuladas ($N_i$).
2. b) Qual porcentagem de alunos leu $2$ livros ou menos?
3. c) Represente um polígono de frequências sobre o gráfico de barras das frequências absolutas.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma empresa de videogames quer representar em um gráfico de setores o tipo de console que os usuários de uma feira de jogos eletrônicos preferem. Os dados são:

• PlayStation: $45\%$

• Nintendo Switch: $30\%$

• Xbox: $15\%$

• PC: $10\%$

1. a) Calcule os graus correspondentes a cada setor circular utilizando uma regra de três ou a fórmula da amplitude: $\alpha = \frac{360^\circ \cdot n_i}{N}$.
2. b) Desenhe de forma aproximada o gráfico de setores utilizando os ângulos calculados.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi medida a altura (em cm) dos $20$ integrantes de um clube de basquete juvenil. Por ser uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos:

$[160, 165), [165, 170), [170, 175), [175, 180), [180, 185]$.

As frequências absolutas são: $2, 5, 8, 3, 2$, respectivamente.

1. a) Indique as marcas de classe ($x_i$) de cada intervalo.
2. b) Represente os dados em um histograma. Explique a diferença entre esse gráfico e um gráfico de barras convencional.
3. c) Qual é o intervalo modal?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A prefeitura de uma cidade quer conscientizar sobre a reciclagem. Para isso, publicou um pictograma sobre o número de contêineres de reciclagem instalados em quatro bairros diferentes.

Se cada símbolo de ♻️ equivale a $12$ contêineres:

• Bairro A: ♻️♻️♻️♻️

• Bairro B: ♻️♻️♻️

• Bairro C: ♻️♻️♻️♻️♻️

• Bairro D: ♻️♻️

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas para o número de contêineres em cada bairro.
2. b) Qual é o total de contêineres instalados na cidade?
3. c) Represente esses mesmos dados por meio de um gráfico de barras para comparar ambos os métodos de visualização.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Observe os dois gráficos a seguir que mostram a evolução da temperatura média de uma cidade durante uma manhã de primavera. Ambos representam os mesmos dados, mas foram desenhados com escalas diferentes no eixo vertical.

1. a) Explique por que o Gráfico B dá uma sensação de crescimento muito mais rápido do que o Gráfico A se os dados são idênticos.
2. b) Qual dos dois gráficos parece mais objetivo para informar a população? Justifique sua resposta com base na escala do eixo das ordenadas.

Um climograma é um gráfico que combina um gráfico de barras (precipitações) e um gráfico de linhas (temperaturas). Observe os dados simplificados de um trimestre em uma cidade do Nordeste do Brasil:

• Janeiro: $10^\circ C$, $60\text{ mm}$

• Fevereiro: $12^\circ C$, $45\text{ mm}$

• Março: $15^\circ C$, $30\text{ mm}$

1. a) Desenhe o climograma situando os meses no eixo $X$, as precipitações no eixo $Y$ esquerdo (barras) e as temperaturas no eixo $Y$ direito (linha).
2. b) Analisando o gráfico, que tendência se observa na transição do verão para o outono?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizada uma pesquisa com $120$ pessoas sobre sua atividade física semanal. Os resultados são apresentados nesta tabela incompleta:

1. a) Complete todos os campos da tabela sabendo que o total de indivíduos ($N$) é $120$.
2. b) Represente os dados em um gráfico de setores.
3. c) Indique qual é a moda deste estudo.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Estima e verifica. Numa escola de Zaragoza realizou-se um inquérito a $120$ estudantes do 2.º de ESO sobre as horas semanais dedicadas à atividade física, obtendo-se a seguinte distribuição agrupada: $[0, 2)$ h: $18$ alunos; $[2, 4)$ h: $42$ alunos; $[4, 6)$ h: $39$ alunos; $[6, 8]$ h: $21$ alunos. Quer-se construir um gráfico circular para expor no mural de avisos.

1. a) Estime: Sem aplicar a fórmula nem usar calculadora, observe com atenção a frequência do intervalo $[2, 4)$ ($42$ alunos em $120$). Raciocine se o seu setor ocupará mais ou menos de um terço da circunferência ($120^\circ$) e se o ângulo resultante será agudo, reto ou obtuso. Escreva uma estimativa numérica aproximada do ângulo em graus, justificando a sua dedução.
2. b) Calcule: Determine a frequência relativa ($h_i$) do referido intervalo $[2, 4)$ e calcule com precisão o seu ângulo central aplicando a fórmula $\text{Ângulo} = h_i \cdot 360^\circ$.
3. c) Verifique: Compare o valor exato obtido com a sua estimativa inicial. A sua aproximação foi razoável? A que você acha que se deveu a diferença, se existiu?
4. d) Calcule o ângulo central correspondente ao intervalo $[0, 2)$ e verifique se a soma dos quatro ângulos do estudo completaria com exatidão o círculo de $360^\circ$.

Modele. Uma cooperativa de olivicultores de Jaén publicou no seu boletim mensal um pictograma com a produção de azeite engarrafado durante as quatro semanas de dezembro. A legenda do pictograma estabelece que o ícone de um garrafão completo representa $4000\text{ litros}$. No gráfico aparecem desenhados os seguintes símbolos:

• Semana 1: $3$ garrafões completos.

• Semana 2: $5$ garrafões completos e um garrafão cortado exatamente ao meio.

• Semana 3: $4$ garrafões completos e um garrafão do qual apenas se desenharam três quartos.

• Semana 4: $2$ garrafões completos e um quarto de garrafão.

1. a) Traduza a informação do pictograma para litros reais: calcule a quantidade de azeite engarrafado produzida em cada uma das quatro semanas e o total do mês.
2. b) A cooperativa quer substituir o pictograma por um gráfico de barras no seu relatório técnico oficial para que não haja dúvidas com os desenhos partidos. Descreva detalhadamente como deve ser construído esse gráfico (que variável ficará em cada eixo, se as barras devem estar juntas ou separadas e que escala vertical em litros você sugere para que a leitura seja clara).
3. c) Se na Semana 2 o ilustrador tivesse desenhado por descuido o garrafão partido como um terço em vez de meio garrafão, quantos litros de diferença teriam sido comunicados erroneamente ao público?

Um clube de e-sports realizou um estudo sobre as horas semanais que seus $120$ sócios dedicam a treinar. Temos os seguintes dados parciais da tabela de frequências, na qual os dados foram agrupados em intervalos de mesma amplitude:

Complete a tabela de frequências e represente os dados usando um histograma e um polígono de frequências sobreposto. Indique que porcentagem de sócios treina $10$ horas ou mais por semana.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma empresa de telefonia analisa a duração das baterias de dois modelos de celular, A e B, após um ano de uso. Os resultados são apresentados no seguinte diagrama de caixa (box-plot). Observe o gráfico e responda:

1. a) Qual é a mediana de duração para cada modelo?
2. b) Se um usuário precisa que a bateria dure pelo menos $18$ horas, qual modelo tem uma proporção maior de dispositivos que cumprem esse requisito? Justifique sua resposta usando os quartis.
3. c) Qual dos dois modelos apresenta uma distribuição mais dispersa no $50\%$ central dos dados?

Um influenciador quer mostrar o crescimento de seus seguidores em duas redes sociais diferentes durante o último semestre. Para isso, apresenta os seguintes gráficos.

1. a) Explique por que o gráfico da Rede Social Y pode ser enganoso para seus patrocinadores se eles não prestarem atenção ao eixo das ordenadas.
2. b) Sabendo que na Rede Social X ele começou com $10.000$ seguidores e terminou com $12.000$, e na Rede Social Y começou com $50.000$ e terminou com $51.000$, desenhe um único gráfico de linhas comparativo utilizando uma escala adequada que permita comparar o crescimento real de ambas as contas.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A prefeitura de uma cidade coletou dados sobre a reciclagem de resíduos orgânicos domésticos de $200$ famílias. O seguinte gráfico de setores mostra a distribuição, mas os dados das famílias que reciclam "Muito" foram apagados.

• Nada ($0$ kg/mês): $15\%$

• Pouco ($1-5$ kg/mês): $72^\circ$ (amplitude do setor)

• Regular ($6-10$ kg/mês): $90$ famílias

• Muito ($>10$ kg/mês): $?$

1. a) Calcule o número de famílias que pertencem a cada categoria.
2. b) Calcule a amplitude em graus do setor correspondente às famílias que reciclam "Muito".
3. c) Elabore uma tabela de frequências absolutas e relativas com todos os dados.

Em um estudo sobre o uso da biblioteca da escola, foi registrado o número de livros emprestados a uma amostra de alunos do 8º ano durante um trimestre. Os resultados são mostrados no seguinte gráfico de barras de frequências acumuladas ($N_i$):

1. a) Quantos alunos formam a amostra?
2. b) Construa a tabela de frequências absolutas ($n_i$) a partir das acumuladas.
3. c) Qual é a moda e a mediana do número de livros emprestados?
4. d) Represente os dados por meio de um gráfico de setores.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Realizou-se uma pesquisa com $400$ adolescentes sobre a sua atividade preferida para o fim de semana, distinguindo entre meninos e meninas. Os dados estão reunidos na seguinte tabela de dupla entrada, mas faltam alguns valores:

1. a) Complete todos os valores que faltam na tabela.
2. b) Represente os dados por meio de um gráfico de barras agrupado (uma barra para meninos e outra para meninas em cada atividade).
3. c) Que porcentagem das meninas prefere o esporte? É maior ou menor do que a porcentagem de meninos que prefere o esporte?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O tempo de reação (em segundos) de um grupo de atletas ao sinal de largada foi representado no seguinte histograma. Os intervalos são da forma $[a, b)$.

1. a) Calcule o número total de atletas que participaram da prova sabendo que no intervalo $[0,15, 0,20)$ houve $12$ atletas.
2. b) Calcule a marca de classe de cada intervalo.
3. c) Estime a média aritmética dos tempos de reação a partir dos dados do histograma.
4. d) Qual porcentagem de atletas tem um tempo de reação inferior a $0,20$ segundos?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma ONG realizou uma pesquisa sobre o número de filhos em $50$ famílias de um bairro. Os resultados se perderam, mas conservamos o pictograma, no qual cada símbolo de uma casa representa $4$ famílias. No bairro nenhuma família tem mais de $3$ filhos.

• $0$ filhos: 🏠 🏠 🏠

• $1$ filho: 🏠 🏠 🏠 🏠 🏠

• $2$ filhos: 🏠 🏠 🏠 🏠

• $3$ filhos: $?$

1. a) Sabendo que o total de famílias é $50$, quantas famílias têm $3$ filhos? Como você representaria essa quantidade no pictograma?

1. b) Calcule a média, a mediana e a moda da distribuição.

1. c) Se uma família for escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de ter menos de $2$ filhos? Represente esta situação com um gráfico de setores.

Modele e analise escalas. Uma empresa de eletricidade enviou aos seus usuários de Belo Horizonte um folheto no qual mostra o consumo médio mensal (em $\text{kWh}$) de uma residência durante o último quadrimestre do ano: Setembro: $320\text{ kWh}$; Outubro: $310\text{ kWh}$; Novembro: $295\text{ kWh}$; Dezembro: $280\text{ kWh}$.

Para ilustrar a diminuição do consumo, a empresa cria dois gráficos de barras com as mesmas medidas externas, mas com eixos verticais distintos:

• Gráfico A: O eixo vertical está truncado; começa em $270\text{ kWh}$ e termina em $330\text{ kWh}$.

• Gráfico B: O eixo vertical está completo; começa exatamente em $0\text{ kWh}$ e termina em $350\text{ kWh}$.

1. a) Calcule a altura visual (medida a partir da linha de base do eixo horizontal) da barra de Setembro e da de Dezembro no Gráfico A (onde a base marca $270$) e no Gráfico B (onde a base marca $0$).
2. b) No Gráfico A, quantas vezes a barra de Setembro parece mais alta que a de Dezembro? Calcule depois a razão matemática real entre os dois consumos ($\frac{320}{280}$) e compare-a com o impacto visual do gráfico truncado.
3. c) Modele a redução percentual real registrada entre Setembro e Dezembro. Em seguida, redija um breve relatório crítico explicando por que o Gráfico A manipula a percepção do usuário e que conclusões erradas ele incentiva em quem não lê os números do eixo vertical.

Problema inverso. No pronto-socorro de um hospital de Belo Horizonte foi registrado o tempo de espera (em minutos) de $120$ pacientes atendidos durante um dia. Os dados foram agrupados em quatro intervalos de mesma amplitude: $[0, 15)$, $[15, 30)$, $[30, 45)$ e $[45, 60]$. Os dados originais da tabela foram perdidos, mas temos as seguintes pistas a partir dos gráficos que chegaram a ser elaborados:

1. No gráfico de setores, o ângulo central correspondente ao intervalo $[0, 15)$ mede exatamente $54^\circ$.

2. No histograma, a altura da barra do intervalo $[15, 30)$ é exatamente o triplo da altura da barra do intervalo $[45, 60]$.

3. $70\,\%$ dos pacientes esperou menos de $30$ minutos no total.

1. a) Deduza passo a passo a frequência absoluta ($n_i$) de cada um dos quatro intervalos de tempo de espera.
2. b) Determine o ângulo central, em graus, que corresponderá a cada intervalo no gráfico de setores para que você possa reconstruí-lo com exatidão.
3. c) Justifique por que, na representação gráfica destes dados contínuos, as barras devem ser desenhadas contíguas (encostadas umas nas outras) e o que representa a base de cada retângulo no eixo horizontal.