Exercícios: Conceitos

Para saber qual é o videogame favorito dos alunos de uma escola de $850$ estudantes, foi aplicada uma pesquisa a $40$ alunos escolhidos ao acaso no intervalo. Identifique os seguintes elementos do estudo:

• População

• Amostra

• Indivíduo

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas:

1. a) A cor favorita dos seus amigos.
2. b) O número de mensagens de WhatsApp recebidas por dia.
3. c) A marca de tênis que os alunos da sua turma usam.
4. d) A quantidade de dinheiro economizada a cada mês.

Um abrigo de animais quer realizar um estudo sobre a saúde dos seus cães. Para isso, o veterinário anota o peso de cada um dos $35$ cães que vivem lá.

Indique qual é a variável estatística estudada e classifique-a (qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua).

Classifique estas variáveis quantitativas em discretas ou contínuas:

1. a) O número de primos que cada estudante tem.
2. b) O tempo exato gasto para ir de casa até a escola.
3. c) A temperatura de uma lata de refrigerante ao sair da máquina.
4. d) O número de livros existentes na biblioteca da sua sala de aula.

Em uma pesquisa realizada em uma turma de $25$ alunos sobre qual rede social eles preferem (TikTok, Instagram ou Twitter), foram obtidas as seguintes respostas:

Rede social	Número de alunos
TikTok	$12$
Instagram	$9$
Twitter	$4$

Que nome recebe o valor que mais se repete neste estudo? Indique qual é esse valor nesta pesquisa.

Deseja-se fazer um estudo para conhecer o sabor de sorvete preferido pelos habitantes de uma cidade de $50.000$ pessoas. Para isso, pergunta-se aos $100$ primeiros clientes que entram em uma sorveteria do centro em uma segunda-feira de manhã.

Você considera que esta amostra é representativa de toda a população da cidade? Justifique brevemente a sua resposta.

Observe os seguintes caracteres estatísticos relacionados a uma viagem escolar e classifique-os:

1. País de destino.

2. Número de dias de duração.

3. Distância percorrida em quilômetros.

4. Grau de satisfação (Muito baixo, Baixo, Médio, Alto).

Se em um estudo estatístico a população é formada por todos os carros de uma cidade e a variável é a "cor do carro", identifique:

1. a) O indivíduo.
2. b) O tipo de variável (qualitativa ou quantitativa).
3. c) Proponha três valores possíveis que esta variável pode assumir.

O Hugo classificou quatro variáveis estatísticas coletadas entre os seus colegas do $2.º$ ano do Ensino Fundamental, mas cometeu um erro conceitual em cada uma delas:

1. Tamanho de camiseta ($\text{XS}$, $\text{S}$, $\text{M}$, $\text{L}$, $\text{XL}$): «É quantitativa contínua porque as medidas do corpo aumentam progressivamente».

2. Número de irmãos: «É qualitativa ordinal porque os irmãos podem ser ordenados do mais velho para o mais novo».

3. Tempo diário gasto para chegar à escola: «É quantitativa discreta porque dizemos sempre minutos inteiros, como $15$ minutos ou $20$ minutos».

4. CEP do domicílio: «É quantitativa discreta porque é formado por um número de $5$ algarismos».

Para cada uma das quatro variáveis:

1. a) Explique com clareza qual é o erro de raciocínio que o Hugo comete.
2. b) Escreva a classificação correta e justifique-a usando as definições de variável qualitativa (nominal ou ordinal) e quantitativa (discreta ou contínua).

Uma revista juvenil quer elaborar uma reportagem sobre o lazer e os hábitos de vida dos adolescentes da sua cidade. Para isso, pedem que você elabore as perguntas da pesquisa.

1. a) Escreva uma variável estatística diferente para cada uma das seguintes quatro condições:

• Variável A: Deve ser qualitativa nominal.

• Variável B: Deve ser qualitativa ordinal.

• Variável C: Deve ser quantitativa discreta.

• Variável D: Deve ser quantitativa contínua.

1. b) Para a variável quantitativa contínua que você propôs, indique três valores numéricos possíveis que um estudante poderia responder e explique por que não faria sentido considerá-la discreta.
2. c) Defina com precisão quem constituiria a população deste estudo e quem seria um indivíduo.

A prefeitura de uma cidade quer conhecer os hábitos de lazer digital dos adolescentes entre 12 e 16 anos. Para isso, seleciona ao acaso 400 alunos de três escolas diferentes e pergunta quantas horas diárias passam, em média, nas redes sociais (TikTok, Instagram, etc.).

Indique os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) A população.
2. b) A amostra.
3. c) O indivíduo.
4. d) A variável estatística estudada e a sua classificação.

Em um abrigo de animais registraram a idade (em anos) dos cães que foram adotados durante o último mês. Os dados obtidos são os seguintes:

$$2, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 2, 3$$

Construa uma tabela de frequências que inclua:

• Variável ($x_i$)

• Frequência absoluta ($n_i$)

• Frequência relativa ($f_i$)

• Frequência absoluta acumulada ($N_i$)

• Porcentagem ($\%$)

Observe o gráfico a seguir, que representa o número de livros lidos por um grupo de alunos durante as férias de verão:

A partir do gráfico anterior, responda:

1. a) Quantos alunos foram entrevistados no total?
2. b) Qual é o valor da variável mais frequente? Como se chama esse parâmetro?
3. c) Qual porcentagem de alunos leu exatamente 2 livros?

Em um clube de e-sports, mediu-se o tempo de reação (em milissegundos) dos jogadores. Por ser uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos:

Tempo (ms)	Frequência ($n_i$)
$[150, 170)$	$6$
$[170, 190)$	$12$
$[190, 210)$	$18$
$[210, 230)$	$4$

1. a) Calcule as marcas de classe de cada intervalo.
2. b) Represente os dados por meio de um histograma.
3. c) Em qual intervalo se encontra o tempo de reação da maioria dos jogadores?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um estudante obteve as seguintes notas nas avaliações de Matemática da segunda avaliação:

$$7,5; \quad 8,2; \quad 9,0; \quad 2,1; \quad 8,7$$

1. a) Calcule a média aritmética ($\bar{x}$) e a mediana ($Me$).
2. b) Se o professor decidir que a nota da avaliação seja a mediana em vez da média para que um "dia ruim" não prejudique tanto, qual seria a sua nota?
3. c) Explique por que a mediana é, neste caso, mais representativa do que a média.

Foi realizada uma pesquisa em uma turma do 8º ano sobre o tipo de música preferido segundo o sexo. Os resultados são mostrados nesta tabela de dupla entrada:

	Pop	Rock	Trap	Total
Meninas	$8$	$3$	$4$	$15$
Meninos	$5$	$6$		$15$
Total		$9$		30

1. a) Complete os dados que faltam na tabela.
2. b) Qual porcentagem do total da turma prefere o Rock?
3. c) Se escolhermos um menino ao acaso, qual é a probabilidade de que sua música preferida seja o Pop? Use a regra de Laplace.

Duas equipes de basquete anotaram os seguintes pontos nas suas últimas 5 partidas:

• Equipe A: $72, 75, 74, 73, 76$

• Equipe B: $50, 95, 60, 110, 55$

1. a) Calcule a média e a amplitude de ambas as equipes.
2. b) Observando os resultados, qual das duas equipes é mais regular nas suas pontuações? Justifique sua resposta relacionando a média com a dispersão dos dados.

Em um estudo sobre a cor dos olhos dos alunos de uma escola, foram obtidos os seguintes dados:

Cor	$n_i$
Castanhos	$120$
Azuis	$30$
Verdes	$50$

1. a) Que tipo de variável é "Cor dos olhos"?
2. b) É possível calcular a média desses dados? Por quê?
3. c) Se quiséssemos representar esses dados em um gráfico de setores, calcule a amplitude do ângulo central (em graus) que corresponderia ao setor dos "Olhos verdes".

Em um hospital regional que atende $35\,000$ pessoas, propõem-se duas pesquisas estatísticas diferentes:

• Estudo 1: Verificar o funcionamento, a calibração e a desinfecção dos $18$ ventiladores mecânicos da unidade de terapia intensiva (UTI).

• Estudo 2: Conhecer o grau de satisfação geral dos usuários com o pronto-socorro ao longo de todo um ano.

1. a) Para cada um dos dois estudos, escolha de forma fundamentada se deve ser realizado um censo ou selecionada uma amostra. Compare, em cada caso, fatores como o tamanho do grupo, o custo, o tempo necessário e o risco de omitir elementos.
2. b) Se, no Estudo 2, se decidisse selecionar uma amostra de $200$ pacientes entrevistando apenas os que saem do pronto-socorro em uma terça-feira entre as $10:00$ e as $13:00$, explique por que esse método de seleção não resultaria em uma amostra representativa e quais grupos de pacientes ficariam excluídos ou sub-representados.

Numa escola secundária estão matriculados $500$ estudantes distribuídos da seguinte forma: $150$ no $1.º$ ano do ESO, $125$ no $2.º$ ano do ESO, $125$ no $3.º$ ano do ESO e $100$ no $4.º$ ano do ESO. O Conselho Geral quer realizar um inquérito sobre a comida da cantina selecionando uma amostra representativa de $40$ estudantes.

O delegado da escola propõe selecionar ao acaso exatamente $10$ alunos de cada ano de escolaridade para que «todos os níveis tenham a mesma voz».

1. a) Estima: Antes de realizar cálculos exatos, fundamenta se a proposta do delegado representa equitativamente toda a população da escola ou se beneficia os estudantes de algum ano face a outros.
2. b) Verifica: Calcula quantos alunos de cada ano de escolaridade deveriam ser selecionados exatamente para que a amostra seja proporcional ao número real de estudantes de cada nível.
3. c) Avalia: A partir dos resultados numéricos obtidos, explica se a tua estimativa inicial estava correta e fundamenta que problema metodológico apresenta a distribuição proposta pelo delegado.

A prefeitura de uma cidade quer realizar uma pesquisa sobre o uso da ciclovia entre os jovens. Para isso, seleciona $450$ estudantes de três escolas diferentes de forma proporcional ao número total de alunos de cada escola. Na Escola A há $600$ alunos, na Escola B há $400$ alunos e na Escola C há $500$ alunos.

1. a) Indique qual é a população, qual é a amostra e qual é o indivíduo neste estudo estatístico.
2. b) Quantos alunos devem ser selecionados de cada escola para que a amostra seja representativa e proporcional?
3. c) Classifique a variável "tempo diário (em minutos) que cada jovem utiliza a bicicleta" segundo a sua natureza.

Uma plataforma de streaming analisa os dados de seus usuários adolescentes para melhorar seu algoritmo. Classifique as seguintes variáveis coletadas no estudo:

1. a) Número de dispositivos conectados simultaneamente em casa.
2. b) Gênero cinematográfico favorito (terror, comédia, ação, etc.).
3. c) Tempo total (em horas e minutos) de reprodução semanal.
4. d) Avaliação atribuída a uma série (1 estrela, 2 estrelas, 3 estrelas, 4 estrelas ou 5 estrelas).
5. e) Marca do dispositivo principal utilizado para ver conteúdo.

Raciocine se alguma destas variáveis quantitativas poderia ser tratada como qualitativa em um contexto determinado.

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de horas que os alunos do 8º ano dormem em um dia de semana. Temos os seguintes dados incompletos da tabela de frequências, em que $x_i$ é o número de horas, $n_i$ a frequência absoluta, $h_i$ a frequência relativa e $H_i$ a frequência relativa acumulada:

$x_i$	$n_i$	$h_i$	$H_i$
6	4		0,16
7		0,24
8	10
9
10	2		1,00

1. a) Calcule o tamanho total da amostra ($N$).
2. b) Complete todos os espaços da tabela de frequências.
3. c) Qual porcentagem de alunos dorme 8 horas ou mais?

O histograma a seguir representa o tempo (em minutos) que os alunos levam para ir de casa até a escola. Os dados foram agrupados em intervalos da forma $[a, b)$.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas a partir do gráfico identificando as marcas de classe de cada intervalo.
2. b) Calcule o tempo médio que os alunos levam para chegar à escola utilizando as marcas de classe.
3. c) Em qual intervalo se encontra a mediana dos dados? Explique o seu raciocínio.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A média aritmética das notas de um grupo de 12 alunos em uma prova de matemática era $6,5$. Após revisar as provas, o professor percebeu que cometeu um erro com dois alunos: a um deles tinha dado a nota $4$ quando na verdade era $7$, e a outro tinha dado a nota $9$ quando na verdade era $6$.

1. a) Qual é a soma total das notas dos 12 alunos antes da correção?
2. b) Qual é a nova média aritmética do grupo depois de corrigir os erros?
3. c) É possível saber se a mediana mudou com esses dados? Justifique a sua resposta.

Observe os dois gráficos a seguir, que representam a evolução do preço de um modelo de tênis em duas lojas diferentes durante o mesmo período de 4 meses.

1. a) Explique por que o gráfico da Loja B parece mostrar um aumento de preço muito mais acentuado do que o da Loja A, apesar de os dados reais de preços serem idênticos em ambas.
2. b) Como se denomina este efeito visual em estatística e por que é considerado uma prática enganosa?
3. c) Redesenhe mentalmente (ou descreva) como deveria ser o eixo vertical da Loja B para que a comparação fosse objetiva.

Em um concurso de talentos, um participante recebe as seguintes pontuações de 5 jurados: $8, 7, 9, 8$ e uma quinta nota desconhecida ($x$).

1. a) Se a média das cinco notas é de $8,2$, qual é a pontuação do quinto jurado?
2. b) Se o regulamento do concurso diz que para calcular a nota final deve-se eliminar a maior e a menor pontuação e calcular a média das três restantes, qual seria a nota final do participante com o valor de $x$ encontrado anteriormente?
3. c) Como afetaria a mediana das cinco notas originais se o quinto jurado lhe tivesse dado a nota $10$ em vez do valor $x$?

Um estudo sobre o lazer digital em adolescentes de 13 anos apresenta os seguintes dados sobre o número de horas diárias em frente a uma tela:

$$3, 5, 2, 4, 3, 2, 8, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 3, 10, 2, 3, 4, 1$$

1. a) Calcule os três parâmetros de centralização: média, mediana e moda.
2. b) Observando os valores da média e da mediana, você diria que a distribuição é simétrica ou que há valores extremos que deslocam a média? Justifique a sua resposta citando esses valores.
3. c) Se eliminarmos os dois usuários com maior consumo de horas, qual seria a nova mediana? Explique se este parâmetro é sensível aos valores extremos da mesma forma que a média.

A Secretaria de Educação de um estado quer modelar o tempo que os estudantes do Ensino Fundamental II e do Ensino Médio dedicam às telas e ao estudo. Nesse estado há $120\,000$ alunos, matriculados em três tipos de estabelecimentos: escolas públicas ($65\,\%$), escolas conveniadas ($30\,\%$) e privadas ($5\,\%$). Decide-se extrair uma amostra de $1\,200$ estudantes.

1. a) Modele o desenho amostral: defina a população, o indivíduo e calcule quantos alunos devem ser selecionados de cada tipo de estabelecimento para que a amostra seja representativa e proporcional à realidade educacional.
2. b) Proponha quatro perguntas para o questionário que coletem, respectivamente: uma variável qualitativa nominal, uma qualitativa ordinal, uma quantitativa discreta e uma quantitativa contínua relacionadas ao objeto do estudo. Justifique a classificação de cada variável.
3. c) Um técnico propõe reduzir custos enviando um link para o questionário pelas redes sociais e analisando as primeiras $1\,200$ respostas que chegarem de forma voluntária. Fundamente dois motivos matemáticos ou estatísticos pelos quais essa amostra deixaria de ser representativa e geraria viés nos resultados.

A comissão organizadora de umas olimpíadas escolares de matemática realizadas num estado publica um relatório com os seguintes três dados sobre um estudo interno:

1. Realizou-se um censo e não uma amostragem, apesar de terem participado alunos de $15$ escolas de Ensino Médio distintas.

2. A variável $X$ analisada foi quantitativa contínua, e os valores obtidos oscilaram entre $42,5$ e $118,4$.

3. A variável $Y$ analisada foi qualitativa ordinal, e nenhum indivíduo atingiu a categoria mais alta possível.

1. a) Reconstrua um contexto real e coerente para este estudo: defina quem é a população, quem é o indivíduo e o que poderiam medir exatamente as variáveis $X$ e $Y$ para que as três afirmações sejam verdadeiras simultaneamente.
2. b) Explique por que razão, nesta situação concreta, foi viável realizar um censo em vez de coletar uma amostra, e o que mudaria se o objetivo fosse conhecer essas mesmas variáveis para todos os jovens do estado.
3. c) Um jornal estadual traz a manchete: «Os jovens do estado obtêm uma pontuação média destacada em raciocínio lógico». Identifique o grave erro conceitual que o jornalista comete ao confundir a população estudada no censo com a população geral de jovens, e explique que viés invalida essa conclusão.