Exercícios: Problemas com números inteiros

Em uma estação de esqui nos Andes, o termômetro marcava $-5^{\circ}C$ às sete da manhã. Às doze horas, a temperatura tinha subido $8^{\circ}C$, mas ao chegar à meia-noite, caiu $6^{\circ}C$ em relação à temperatura do meio-dia. Que temperatura o termômetro marcava no final do dia?

Um entregador de comida em domicílio entra no elevador de um grande shopping center no andar do terceiro subsolo, que é indicado como andar $-3$. Primeiro sobe $7$ andares para entregar um pedido e, logo depois, desce $2$ andares para buscar outra encomenda. Em que andar o entregador se encontra depois desses movimentos?

Na figura você pode ver os andares do elevador e o ponto de partida.

Salma tem $\text{R\$}\ 34$ em seu cofrinho. Decide comprar um livro que custa $\text{R\$}\ 15$ e uma mochila que custa $\text{R\$}\ 25$. Como não tem dinheiro suficiente, seus pais dizem que ela pode ficar devendo o valor que falta. Que número inteiro representa o saldo final de Salma em relação aos seus pais?

Um mergulhador está submerso no oceano a uma profundidade de $18$ metros abaixo do nível do mar ($-18\ m$). Se ele sobe $7$ metros para observar um recife de coral e depois volta a descer $4$ metros, a que profundidade ele se encontra no final? Expresse o resultado com um número inteiro.

Em um torneio de videogames, a equipe "Os Gamers" tem um total de $-150$ pontos acumulados por ter cometido infrações. Se na última rodada conseguir uma bonificação de $225$ pontos, quantos pontos tem agora em seu placar?

O pico mais alto de uma ilha vulcânica está a $1\ 200$ metros acima do nível do mar. Na mesma ilha, existe uma caverna submarina cuja base está a $85$ metros abaixo do nível do mar. Qual é a diferença de altitude entre o topo do pico e a base da caverna?

Um historiador está estudando a vida de um escultor da Grécia Antiga. Segundo os registros, o escultor nasceu no ano $495$ a.C. e faleceu no ano $429$ a.C. Quantos anos viveu esse escultor?

Miguel tem um saldo de $-\text{R\$}\ 24$ em seu cartão de transporte porque se esqueceu de recarregá-lo. Se acessar o aplicativo de transporte e fizer uma recarga de $\text{R\$}\ 30$, qual será o seu novo saldo disponível para viajar?

Para descobrir quantos anos viveu o imperador romano César Augusto, que nasceu no ano $63$ a.C. e morreu no ano $14$ d.C., o Marcos faz em seu caderno a seguinte operação: $63 - 14 = 49$ anos.

1. a) Explique detalhadamente por que a abordagem do Marcos está incorreta do ponto de vista da reta numérica e da passagem do tempo.
2. b) Que erro ele cometeu com os sinais dos números inteiros que representam cada data histórica?
3. c) Escreva a operação correta com números inteiros (indicando o sinal de cada ano e a subtração entre eles) e calcule a idade real com que Augusto morreu.

Numa estação meteorológica do INMET em Cuiabá (Mato Grosso), o termômetro marca às 07:00 da manhã uma temperatura de $-7\,^\circ\text{C}$. Ao longo do dia, registram-se as seguintes variações térmicas: sobe $11\,^\circ\text{C}$ até o meio-dia, desce $4\,^\circ\text{C}$ no meio da tarde e desce outros $3\,^\circ\text{C}$ ao cair da noite.

1. a) Antes de calcular o resultado exato, estime de forma fundamentada se a temperatura final à meia-noite será positiva, negativa ou exatamente $0\,^\circ\text{C}$, comparando mentalmente a subida total com as descidas totais acumuladas.
2. b) Escreva a cadeia de somas com números inteiros, calcule passo a passo e da esquerda para a direita a temperatura que o termômetro marca no final do dia e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.

Numa estação de esqui da Serra da Mantiqueira, o termômetro marcava às 8:00 da manhã uma temperatura de $-6\,^\circ\mathrm{C}$. Às 12:00 do meio-dia, a temperatura tinha subido $9\,^\circ\mathrm{C}$, e às 20:00 da noite tinha descido $7\,^\circ\mathrm{C}$ em relação à do meio-dia. Que temperatura marcava o termômetro no final do dia?

Um entregador da Amazon começa a sua jornada no andar $3$ de um grande centro logístico. Primeiro desce $5$ andares para pegar uma encomenda no subsolo, depois sobe $7$ andares para entregá-la em um escritório e, finalmente, desce outros $3$ andares para descansar na cafeteria. Em que andar fica a cafeteria? Expresse o resultado com um número inteiro.

Marta tem $\text{R\$}\ 45$ em sua conta bancária. Durante o fim de semana, realiza as seguintes operações: paga uma assinatura de uma plataforma de séries por $\text{R\$}\ 12$, recebe um Pix de seu pai de $\text{R\$}\ 20$ e compra um livro que lhe custa $\text{R\$}\ 15$. Se no final do domingo o seu banco lhe cobrar uma tarifa de manutenção de $\text{R\$}\ 3$, qual é o saldo final da sua conta?

Um mergulhador que está explorando um recife de coral se encontra a $14$ metros abaixo do nível do mar. Se decidir descer outros $18$ metros para observar vestígios arqueológicos e depois subir $9$ metros para se aproximar da superfície, a que profundidade ele se encontra agora? Represente a situação usando números inteiros.

Pitágoras, o famoso matemático e filósofo grego, nasceu no ano $570$ a.C. e morreu no ano $495$ a.C. Com que idade Pitágoras morreu? Utilize números inteiros (associando os anos antes de Cristo a números negativos) para realizar o cálculo.

Em um jogo de tabuleiro, o jogador ganha $15$ pontos por cada resposta correta, mas perde $8$ pontos por cada erro e $4$ pontos por cada pergunta deixada sem resposta. Se de um total de $20$ perguntas acertou $12$, errou $5$ e não respondeu às demais, qual é a pontuação final?

Um cientista está realizando um experimento químico. Ele coloca um composto em um congelador especial que baixa a temperatura da amostra em $4^\circ C$ a cada hora. Se a amostra estava inicialmente à temperatura ambiente de $18^\circ C$, qual será a temperatura da amostra depois de $6$ horas? Expresse o resultado por meio de uma operação combinada de números inteiros.

O cume do Everest está a uma altitude de $+8.848$ metros acima do nível do mar, enquanto o ponto mais profundo da Fossa das Marianas se encontra a $-11.034$ metros. Qual é a distância vertical total entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo do planeta?

Uma equipe de espeleologia explora um sistema de cavernas verticais na Chapada Diamantina (Bahia). A entrada da gruta fica a $+1.240\text{ m}$ acima do nível do mar. Durante a expedição, registram os seguintes trechos verticais sucessivos: descem uma caverna vertical de $180\text{ m}$, descem por uma rampa de rocha outros $95\text{ m}$, escalam uma chaminé interior subindo $40\text{ m}$ e, por fim, descem por um poço de $115\text{ m}$ até alcançar uma sala com um lago subterrâneo.

1. a) Modele a expedição escrevendo uma única expressão com números inteiros que inclua a cota inicial e cada um dos deslocamentos verticais com o seu sinal correspondente.
2. b) Calcule a altitude da sala subterrânea em relação ao nível do mar fazendo as somas em ordem, da esquerda para a direita.
3. c) Qual é a distância vertical total que separa a entrada da gruta do lago subterrâneo?

Um elevador de carga em um centro de distribuição logística de Campinas se desloca entre pavimentos subterrâneos de armazenamento (números negativos), a zona de carga ao nível da rua (andar $0$) e andares superiores de escritórios (números positivos). O encarregado não se lembra em que andar deixou o elevador de carga na primeira hora, mas o registro digital mostra que ele realizou os seguintes movimentos consecutivos: subiu $6$ andares, desceu $9$ andares, subiu $4$ andares e, por último, desceu $5$ andares, ficando parado no andar $-2$.

1. a) Apresente uma expressão com números inteiros em que o andar de início apareça representado como um espaço em branco ou ponto de interrogação, e calcule de forma fundamentada de qual andar o elevador de carga partiu.
2. b) Verifique o seu resultado calculando passo a passo cada um dos andares intermediários por onde o elevador de carga passou e determine se em algum momento do trajeto ele chegou a estar nos andares de escritórios (acima do andar $0$).

Um jovem empreendedor decide abrir uma loja online de camisetas personalizadas. Durante o seu primeiro mês, registra os seguintes movimentos na sua conta bancária:

• Recebe um investimento inicial de $1.200$ reais.

• Paga o aluguel da plataforma e a publicidade: $450$ reais.

• Compra materiais no valor de $600$ reais.

• Vende $45$ camisetas a $15$ reais cada uma.

• Recebe de volta $8$ camisetas com defeito, pelas quais tem de reembolsar o valor integral aos clientes.

• No final do mês, o banco cobra dele uma comissão de $12$ reais.

Calcule o balanço final do mês e explique se ele obteve lucros ou prejuízos em relação ao seu investimento inicial.

Em um laboratório científico, está sendo realizado um experimento com uma substância gasosa. A temperatura inicial da amostra é de $12$ ºC abaixo de zero. O processo segue estas fases:

1. Durante os primeiros $5$ minutos, a temperatura cai $3$ ºC a cada minuto.

2. Depois, ela é introduzida em uma câmara de calor onde a temperatura sobe $48$ ºC no total.

3. Finalmente, a câmara é desligada e a temperatura desce a um ritmo constante de $4$ ºC a cada minuto até atingir a temperatura de congelamento da amostra, que é de $-25$ ºC.

Quanto tempo durou a fase final de resfriamento (ponto 3)? Qual foi a temperatura máxima atingida durante todo o experimento?

Um explorador de grutas submarinas começa o seu mergulho a partir de uma plataforma situada a $4$ metros acima do nível do mar.

• Primeiro, desce a uma velocidade constante de $2$ metros por minuto durante $15$ minutos.

• Depois, encontra uma corrente ascendente que o eleva $12$ metros.

• Finalmente, desce até o fundo da gruta, cuja posição em relação ao nível do mar é o triplo da posição em que se encontra nesse momento.

Considere o nível do mar como $0$, de modo que as posições acima são positivas e as que estão abaixo são negativas.

Em que posição se encontra o fundo da gruta? Expresse o resultado como um número inteiro relativo ao nível do mar.

Em um torneio de videogames, o sistema de pontuação funciona da seguinte maneira:

• Cada vitória soma $100$ pontos.

• Cada derrota subtrai $60$ pontos.

• Cada "conquista especial" multiplica por $2$ a pontuação acumulada nesse momento (se for positiva).

• Cada penalização divide a pontuação acumulada por $2$ (se for positiva).

Se um jogador começa com $0$ pontos e consegue: $3$ vitórias seguidas, uma "conquista especial", $2$ derrotas, uma penalização e, por último, $1$ vitória:

1. a) Escreva uma única expressão com operações combinadas que calcule a sua pontuação final.
2. b) Qual é o resultado dessa pontuação?

Um entregador de encomendas utiliza um elevador em um grande centro logístico que possui andares acima e abaixo do solo (andar $0$). Ele faz o seguinte percurso:

1. Sobe do andar $0$ até o andar $+12$.

2. Desce $15$ andares para pegar uma encomenda.

3. Sobe $7$ andares para entregá-la.

4. Desce o dobro de andares que acabou de subir.

5. Finalmente, sobe até ficar no meio do caminho entre o andar onde está e o andar $+8$.

Em que andar se encontra o entregador no final do seu dia de trabalho? Quantos andares ele percorreu no total (contando subidas e descidas)?

A filósofa grega Hipátia de Alexandria morreu no ano $415$ d.C. à idade de $45$ anos. Seu pai, Téon de Alexandria, era um famoso matemático que nasceu $80$ anos antes de ela morrer.

1. a) Em que ano nasceu Hipátia? (Expresse como um número inteiro).
2. b) Em que ano nasceu seu pai Téon?
3. c) Que idade tinha Téon quando sua filha nasceu?

Um drone de vigilância florestal decola de uma base situada a $850$ metros de altitude. Durante a sua patrulha, realiza os seguintes movimentos:

1. Sobe $120$ metros para evitar uma montanha.

2. Desce $300$ metros para analisar uma área de vegetação baixa.

3. Desloca-se horizontalmente (sem mudar de altitude) e depois desce outros $150$ metros.

4. Por uma falha técnica, cai no fundo de um barranco que está a uma altitude de $-20$ metros (abaixo do nível do mar).

Calcule:

1. a) Quantos metros desceu o drone na sua última queda (passo 4)?

1. b) Se o drone fosse capaz de subir do barranco diretamente até a base inicial, quantos metros deveria ascender?

O clube esportivo de uma escola gerencia seus fundos para o trimestre. Eles dispõem de um saldo inicial de $+180$ reais na conta escolar. Durante o trimestre, registram estes seis movimentos: compra de material de treino ($-95$ reais), mensalidades de sócios inscritos ($+140$ reais), reparo das traves ($-60$ reais), receitas de uma rifa solidária ($+210$ reais), pagamento às equipes de arbitragem ($-130$ reais) e taxa de inscrição em um torneio municipal ($-80$ reais).

Dois membros da diretoria propõem dois métodos de cálculo diferentes:

• Método 1 (cronológico): Escrever o saldo inicial e somar ou subtrair cada movimento um a um, na ordem temporal exata em que aconteceram.

• Método 2 (por blocos): Somar, por um lado, todas as receitas ao saldo inicial, somar, por outro lado, todas as despesas em valor absoluto e, por fim, subtrair as duas quantias.

1. a) Aplique ambos os métodos separadamente e verifique que se obtém o mesmo saldo final.
2. b) Imagine que o banco cobra uma multa fixa de $15$ reais no instante exato em que a conta fica no negativo (saldo estritamente inferior a $0$ reais). Justifique qual dos dois métodos é indispensável usar para averiguar se o clube terá de pagar essa multa e deduza se o clube chegou a ter saldo negativo em algum momento do trimestre.

Uma equipe de arqueologia marinha na baía de Cádis estuda vestígios submersos a diferentes profundidades em relação à superfície do mar ($0\text{ m}$) e em diferentes épocas históricas:

• Vestígios fenícios: datados do ano $750$ a.C. e situados a $-38\text{ m}$ de profundidade.

• Galé romana: datada do ano $125$ d.C. e situada a $-54\text{ m}$ de profundidade.

1. a) Modele por meio de uma subtração de números inteiros o tempo decorrido entre os dois acontecimentos históricos e calcule quantos anos se passaram entre o naufrágio fenício e o romano, justificando por que a distância em anos é sempre um valor positivo.
2. b) Um drone submarino parte dos vestígios fenícios, desce em linha reta até a profundidade da galé romana para filmá-la e, em seguida, sobe $21\text{ m}$ na vertical para transmitir os dados coletados. Escreva a expressão com números inteiros e determine a que profundidade final fica o drone.
3. c) Justifique a diferença matemática entre a posição final do drone em relação à superfície do mar (grandeza com sinal) e a distância total percorrida pelo drone nas suas duas manobras verticais (grandeza que acumula distâncias).

Desafio do tema. Transforme-se em analista meteorológico! Você vai investigar a variação térmica na Espanha utilizando dados reais oficiais da AEMET.

1. Coleta de dados: Acesse www.aemet.es e anote as temperaturas máxima e mínima (com uma casa decimal, por exemplo $-2,4\text{ ºC}$ e $14,8\text{ ºC}$) de quatro localidades com altitudes contrastantes durante dois dias consecutivos.

2. Operações e racionais: Em uma planilha ou no seu caderno, calcule a amplitude térmica de cada dia por meio da subtração com sinal: $\Delta T = T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}$. Em seguida, determine a temperatura média de cada município expressando-a primeiro como número racional em forma de fração e, depois, como número decimal com vírgula.

3. Representação e conclusões: Crie um gráfico de barras (no GeoGebra ou em planilha) em que se visualizem claramente os valores positivos e negativos sobre o eixo. Redija um relatório breve justificando qual localidade vivenciou a variação térmica mais extrema e explicando de que forma as temperaturas negativas influenciam o cálculo das variações.

Será avaliado:

• Correção técnica nas operações com números inteiros e decimais com sinal.

• Uso adequado dos números racionais (fração e representação decimal).

• Qualidade e clareza na representação gráfica dos dados.

• Coerência e rigor matemático nas conclusões do relatório.