Exercícios: Equações do primeiro grau

A linguagem das equações nos permite resolver mistérios. Imagine um jogo de "Adivinhe meu número" com um amigo. O amigo diz:

"Se ao meu número secreto for somado $12$, o resultado é $35$".

Traduza essa frase para a linguagem algébrica chamando de $x$ o número secreto e escreva a equação correspondente.

Uma equação é como uma balança em perfeito equilíbrio. Observe a imagem a seguir, onde os círculos laranjas representam a nossa incógnita $x$ e os quadrados cinzas representam unidades de $1$ kg.

Escreva a equação que representa o equilíbrio da balança:

Em um jogo de videogame, obteve-se uma pontuação de $x$ pontos. Após completar uma missão diária, foram concedidos $25$ pontos extras, e agora há um total de $110$ pontos.

Escreva a equação que descreve essa situação e descubra mentalmente quantos pontos havia no início.

Verificar se um número é a solução de uma equação é fundamental. Indique se o valor $x = 4$ é a solução das seguintes equações do primeiro grau:

1. a) $x + 7 = 11$

1. b) $3x = 12$

1. c) $2x - 1 = 5$

Aisha tem uma coleção de figurinhas de futebol. Seu irmão caçula tirou $8$ figurinhas e agora só lhe restam $22$.

Chamando $x$ o número inicial de figurinhas que Aisha tinha, escreva a equação que representa este problema e resolva-a para saber quantas figurinhas ela tinha no início.

Resolva estas equações do primeiro grau muito simples utilizando a operação inversa (se algo soma, passa subtraindo; se algo multiplica, passa dividindo):

1. a) $x + 5 = 15$

1. b) $x - 9 = 2$

1. c) $4x = 24$

1. d) $\frac{x}{3} = 5$

O perímetro de um terreno retangular mede $60$ metros. Sabe-se que o comprimento do terreno mede $20$ metros. Deseja-se descobrir quanto mede a largura ($x$).

Utilize a fórmula do perímetro do retângulo para escrever uma equação:

$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$

Escreva os passos para isolar $x$ e calcular a largura do terreno.

Três amigos foram lanchar e pediram três milk-shakes iguais. Ao pagar com uma nota de $20$ reais, receberam $11$ reais de troco.

Chamando $x$ o preço de um único milk-shake, elabore uma equação que represente o custo total do lanche mais o troco recebido.

(Dica: $3 \cdot (\text{precio batido}) + \text{vuelta} = \text{total pagado}$)

O Marcos tentou resolver a equação $4x - 6 = 14$ no seu caderno e escreveu a seguinte resolução passo a passo:

Passo 1: $4x = 14 - 6$

Passo 2: $4x = 8$

Passo 3: $x = \dfrac{8}{4} = 2$

1. a) Localize o erro que o Marcos cometeu ao passar do enunciado original para o Passo 1 e explique que regra básica da transposição de termos ele não respeitou.
2. b) Resolva a equação corretamente mostrando todos os passos.
3. c) Verifique a sua solução substituindo o valor obtido na equação inicial para demonstrar que a igualdade se cumpre.

Imagine que você está preparando um teste para os seus colegas de turma e invente uma equação de primeiro grau que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. A solução exata deve ser $x = -2$.

2. A incógnita $x$ deve aparecer obrigatoriamente em ambos os membros da equação.

3. Pelo menos um dos coeficientes que multiplicam a $x$ deve ser maior que $1$.

Explique com clareza o raciocínio que você seguiu para construir a sua equação e demonstre que ela está correta, verificando que, ao substituir $x = -2$, ambos os membros dão o mesmo valor numérico.

Em uma balança digital de precisão, foram colocadas duas caixas de suprimentos idênticas (que chamaremos de $x$) e um peso de $25$ gramas no prato esquerdo. Para equilibrar a balança, no prato direito foi colocado um peso de $135$ gramas.

Elabore a equação que representa esse equilíbrio e calcule quanto pesa cada caixa $x$.

Um famoso streamer está sorteando cartões de presente entre seus inscritos. Anunciou que "o triplo dos cartões que presenteou ontem, menos os 12 que guardou para hoje, equivale a 48 cartões".

Chamando $x$ o número de cartões que presenteou ontem, escreva a equação que descreve a situação e resolva-a para encontrar esse número.

Resolva a seguinte equação do primeiro grau eliminando primeiro os parênteses e agrupando depois os termos com incógnita:

$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$

Encontre um número tal que a sua metade mais a sua quarta parte seja igual a $15$. Para resolvê-lo, procure o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar as frações da equação.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$

Três amigos estão colecionando figurinhas de uma série de animação. Ana tem o dobro de figurinhas de Marcos, e Paula tem 10 figurinhas a mais que Marcos. Se entre os três somam um total de $110$ figurinhas, quantas figurinhas cada um tem?

Resolva a seguinte equação com denominadores simplificando cada passo:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$

Lembre-se de multiplicar todos os termos da equação pelo $m.c.m.(3, 6)$ para trabalhar apenas com números inteiros.

A soma de três números inteiros consecutivos é igual a $72$. Elabore uma equação do primeiro grau para encontrar quais são esses três números.

Numa estação meteorológica do INMET em Cuiabá, durante um dia de primavera, a temperatura às 9:00 era de $14\ ^\circ\text{C}$. A partir dessa hora, a temperatura aumentou a um ritmo constante de $3\ ^\circ\text{C}$ por hora decorrida até atingir a temperatura máxima do dia, que foi de $29\ ^\circ\text{C}$.

1. a) Antes de propor qualquer operação algébrica, faça uma estimativa mental: você acha que a temperatura máxima foi atingida antes das 13:00 ou depois? Justifique brevemente a sua previsão.
2. b) Chame de $t$ o número de horas decorridas desde as 9:00. Formule uma equação de primeiro grau que modele a situação e resolva-a passo a passo para saber quantas horas se passaram.
3. c) Determine a que horas exatas se atingiram os $29\ ^\circ\text{C}$ e avalie se o resultado numérico confirma a sua estimativa prévia e é coerente com o ritmo do dia.

Para ir diariamente para a escola e para os seus treinos de basquete, o Lucas analisa duas tarifas do passe de transporte metropolitano:

• Tarifa Jovem: assinatura mensal de $15$ reais fixos mais $0,60$ reais por cada viagem realizada.

• Tarifa Carteira: sem mensalidade fixa, mas cada viagem custa $1,10$ reais.

1. a) Formule uma equação do primeiro grau que permita calcular o número de viagens $v$ com o qual o gasto mensal seria idêntico nas duas opções.
2. b) Resolva a equação para encontrar esse número de viagens.
3. c) Se o Lucas calcula que fará aproximadamente $36$ viagens por mês, interprete o resultado obtido no item anterior para aconselhá-lo sobre qual das duas tarifas será mais econômica para ele. Justifique o seu conselho comparando os custos previstos.

Em um jogo de RPG, a força do seu personagem é calculada por meio de uma "fórmula de equilíbrio". Para subir de nível, deve-se encontrar o valor da incógnita $x$ que faz com que ambos os lados da balança mágica sejam iguais. Resolva a seguinte equação:

$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$

Três amigos decidem comprar uma assinatura anual de uma plataforma de streaming que custa um total de $165$ reais. Pelo uso que fazem, concordaram que:

• Sara pagará o dobro de Lucas.

• Lucas pagará $15$ reais a mais que Miguel.

Chamando $x$ o dinheiro que Miguel paga, elabore uma equação do primeiro grau e calcule quanto cada um deve contribuir para completar o pagamento.

Estamos projetando uma nova pista de skate com formato triangular. O perímetro total da pista deve ser de $54$ metros. As condições do projeto são as seguintes:

• O lado mais longo mede $x$ metros.

• O lado médio mede a metade do lado longo mais $3$ metros.

• O lado mais curto mede $10$ metros a menos que o lado longo.

Determine as dimensões dos três lados da pista resolvendo a equação correspondente.

Resolva a seguinte equação com denominadores, prestando muita atenção ao sinal negativo que precede a segunda fração:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$

Lembre-se de que, para eliminar os denominadores, deve-se multiplicar todos os termos pelo MMC dos mesmos.

A idade de Marina é o triplo da que tinha há $10$ anos. Chamando de $x$ a idade atual dela, calcule quantos anos ela tem elaborando e resolvendo uma equação do primeiro grau.

A equipe de robótica da sua escola construiu um circuito com forma de retângulo para uma competição. O comprimento do circuito mede o triplo da sua largura. Se aumentarmos a largura em $2$ metros e diminuirmos o comprimento em $4$ metros, o perímetro do novo retângulo passa a ser de $44$ metros. Calcule as dimensões originais do circuito.

Encontre o valor de $x$ que resolve a seguinte equação complexa com parênteses aninhados:

$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$

Certifique-se de resolver primeiro os parênteses internos e simplificar cada membro antes de transpor os termos.

Uma loja de videogames vendeu durante a manhã a terça parte dos consoles que tinha em estoque. À tarde, vendeu a metade dos que restavam. Se ao fechar a loja ainda restavam $12$ consoles sem vender, com quantos consoles começaram o dia?

Elabore a equação chamando $x$ o número total de consoles no início do dia.

Dada a equação com parênteses e frações:

$\dfrac{3(x - 1)}{2} - \dfrac{2x + 4}{5} = 2$

Dois estudantes propõem estratégias de resolução diferentes:

• Estratégia da Helena: Multiplicar primeiro todos os termos de ambos os membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores ($10$) para eliminar de uma só vez as frações, e depois retirar os parênteses.

• Estratégia do Davi: Aplicar primeiro a propriedade distributiva nos numeradores, separar cada fração em frações simples e operar somando os termos com $x$ e os termos numéricos por meio de cálculo fracionário.

1. a) Resolve a equação seguindo ordenadamente a estratégia da Elena.
2. b) Resolve a equação seguindo a estratégia do David.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual consideras mais eficaz para evitar erros comuns de sinais e simplificar os cálculos intermédios no 1.º de ESO? Justifica a tua resposta analisando um ponto crítico onde seja fácil errar em qualquer um dos dois métodos.

A prefeitura de um município quer delimitar uma horta escolar retangular aproveitando um lote de tela metálica doada com $68\text{ metros}$ de comprimento total, que deve ser totalmente utilizada para cercar todo o perímetro.

1. a) O projeto técnico estabelece como condição que o comprimento da horta deve medir $4\text{ metros}$ a mais do que o triplo da sua largura. Chame de $x$ a largura em metros, escreva a expressão algébrica do comprimento e formule a equação que expressa o perímetro total.
2. b) Resolva a equação e calcule as dimensões exatas (largura e comprimento) da horta projetada.
3. c) Suponha que a associação de moradores peça para modificar o projeto: querem que o comprimento seja o quádruplo da largura, utilizando exatamente os mesmos $68\text{ metros}$ de tela. Formule a nova equação e resolva-a. A partir do valor de $x$ obtido, reflita: é possível construir a horta com essas novas condições se as estacas de delimitação só puderem ser colocadas a distâncias que sejam números inteiros de metros? Justifique a sua conclusão.