Exercícios: A linguagem algébrica

No mundo dos videogames, às vezes usamos fórmulas para calcular pontuações. Traduza para a linguagem algébrica as seguintes frases, chamando $x$ o número de gemas que um jogador conseguiu:

• a) O dobro do número de gemas.

• b) O triplo de gemas mais $50$ pontos extras.

• c) O número de gemas que teria se perdesse $5$ gemas.

• d) A metade das gemas que tem.

Copie em seu caderno a seguinte tabela e complete as informações sobre estes monômios (lembre-se de que, se não houver número na frente da letra, o coeficiente é $1$):

Monômio	Coeficiente	Parte literal	Grau
$7a^2$
$-5x$
$x^3y$
$\frac{1}{2}b$

Queremos cercar um recinto para um festival de música que tem a forma de um quadrado. Ainda não sabemos quanto mede o lado, então vamos chamá-lo de $x$.

• a) Escreva uma expressão algébrica para o perímetro do recinto (a soma de todos os seus lados).

• b) Escreva uma expressão algébrica para a área do recinto.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões para o valor indicado (lembre-se de que entre um número e uma letra sempre há uma multiplicação invisível):

• a) $3x + 5$ quando $x = 2$

• b) $10 - 2n$ quando $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ quando $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ quando $x = 10$

Observe a seguinte sequência de figuras formadas por pontos laranja. Se chamarmos de $n$ a posição da figura (Figura 1, Figura 2...):

• a) Quantos pontos terá a Figura 4?

• b) Escreva uma expressão algébrica que informe quantos pontos há na Figura $n$.

Em uma loja de roupas, um moletom custa $s$ reais. Se uma calça custa $12$ reais a menos que o moletom, expresse em linguagem algébrica:

• a) O preço da calça.

• b) O preço total da compra de dois moletons.

• c) O preço total da compra de um moletom e uma calça.

Chamamos de $x$ a idade atual de Ana. Expresse algebricamente as idades da família dela:

• a) A idade que Ana terá daqui a $8$ anos.

• b) A idade que Ana tinha há $3$ anos.

• c) Seu irmão tem o dobro da idade de Ana. Qual é a idade do irmão?

• d) Sua mãe tem o triplo da idade que Ana terá daqui a $1$ ano.

Se $n$ representa um número inteiro qualquer, escreva a expressão algébrica para:

• a) O número sucessor de $n$.

• b) O número antecessor de $n$.

• c) O triplo do sucessor de $n$.

• d) A soma de um número e seu antecessor.

O Mateo precisa traduzir para linguagem algébrica a seguinte indicação dada pela professora dele: «O triplo da soma de um número mais quatro». No caderno, ele escreveu a expressão:

$$3 \cdot x + 4$$

1. a) Localize o erro cometido pelo Mateo e explique de forma fundamentada que frase em linguagem cotidiana corresponde, na realidade, ao que ele escreveu.
2. b) Escreva a tradução algébrica correta, utilizando os sinais de pontuação matemática necessários.
3. c) Verifique numericamente o erro substituindo $x = 2$ tanto na expressão errada do Mateo como na sua, correta. Por que elas dão valores diferentes e o que isso demonstra sobre a necessidade de usar parênteses?

Em uma aula de Matemática, coloca-se o seguinte problema inverso: a partir da expressão algébrica já construída $2 \cdot (x - 5)$, você deve reconstruir o problema original.

1. a) Traduza a referida expressão para uma frase em linguagem corrente, utilizando de forma rigorosa as palavras «dobro», «diferença» e «número».
2. b) Modele uma situação cotidiana verossímil (por exemplo, sobre compras com desconto ou pontos obtidos em um jogo) que se ajuste com exatidão à referida expressão, indicando claramente o que representa a variável $x$.
3. c) Se sabemos que o valor numérico final da expressão, após realizar os cálculos, é $16$, deduza, andando para trás nas operações (em ordem inversa), qual era o valor inicial de $x$.

Em um popular videogame de aventura, os jogadores obtêm pontuações diferentes de acordo com suas ações. Se chamarmos $x$ o número de baús de ouro encontrados e $y$ o número de missões secundárias concluídas, expresse em linguagem algébrica as seguintes situações:

• O triplo de baús de ouro encontrados.

• O número de missões secundárias mais cinco missões extras de bônus.

• O dobro da soma dos baús de ouro e das missões secundárias.

• A metade dos baús encontrados após perder três deles em uma batalha.

• O total de pontos se cada baú valer 100 pontos e cada missão valer 50 pontos.

Calcule o perímetro da seguinte quadra de padel cujas dimensões são dadas em metros por meio de expressões algébricas. Uma vez obtida a expressão simplificada, calcule seu valor numérico para $x = 4$ metros.

Um criador de conteúdo do TikTok analisa seus ganhos mensais. Se $v$ representa o número de vídeos publicados em um mês, seu ganho em reais é definido pela expressão algébrica: $G = 0,5 \cdot v + 12$.

• O que representam os números $0,5$ e $12$ neste contexto?

• Qual será o ganho dele se neste mês conseguir publicar um total de $v = 40$ vídeos?

• Se no mês que vem ele decidir publicar o dobro de vídeos deste mês, escreva a nova expressão para o ganho dele.

Observe a seguinte série de mesas hexagonais dispostas em linha para uma comemoração na escola. Cada hexágono representa uma mesa onde os alunos se sentam.

Se em uma mesa ($n=1$) cabem 6 pessoas, em duas mesas ($n=2$) cabem 10 pessoas e em três mesas ($n=3$) cabem 14 pessoas:

• Crie uma expressão algébrica que permita calcular o número de pessoas que podem se sentar em função do número de mesas $n$.

• Calcule quantas pessoas poderão se sentar se forem reunidas 15 mesas.

Em uma loja de esportes, uma camiseta de futebol custa $x$ reais e um short custa $y$ reais. Traduza da linguagem algébrica para a linguagem comum o significado das seguintes expressões:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Copie e complete a seguinte tabela sobre monômios em seu caderno. Lembre-se de que, se o coeficiente não aparecer, entende-se que é a unidade.

Monômio	Coeficiente	Parte literal	Grau
$-5x^2$
$ab^3c$
$\frac{3}{4}x^4y$
$-z$
$12$

Amina, Pedro e Clara estão comparando quantos seguidores têm em suas redes sociais. Pedro tem o dobro de seguidores de Amina. Clara tem 500 seguidores a menos que Pedro. Se chamarmos de $s$ o número de seguidores que Amina tem:

• Expresse em linguagem algébrica os seguidores que Pedro tem.

• Expresse em linguagem algébrica os seguidores que Clara tem.

• Escreva uma expressão que represente a soma dos seguidores dos três amigos.

• Se Amina tem $s = 1200$ seguidores, quantos seguidores os três têm juntos?

Valentina propõe um truque de mágica a seu irmão utilizando a linguagem algébrica. Siga os passos e depois explique algebricamente por que sempre se obtém o mesmo resultado:

1. Pense em um número qualquer ($n$).

2. Adicione 5 a ele.

3. Multiplique o resultado por 2.

4. Subtraia 10 do valor obtido.

5. Divida o resultado por 2.

6. Que número você obtém em relação ao número inicial? Escreva a expressão simplificada do processo.

No serviço público de táxis de uma cidade brasileira, as tarifas diurnas oficiais são calculadas combinando vários conceitos:

• Uma bandeirada (custo fixo por iniciar a viagem) de $2,50$ reais.

• Um custo de $1,30$ reais por cada quilômetro percorrido.

• Um suplemento fixo adicional de $3,20$ reais se o trajeto tiver como destino a estação central de trens.

1. a) Escreva a expressão algébrica que permite calcular o custo total de um trajeto normal de $k$ quilômetros (sem suplemento de estação).
2. b) Escreva a expressão algébrica para um trajeto de $k$ quilômetros que termina na estação de trens e reduza-a somando os dois valores fixos em um único termo.
3. c) Duas colegas de trabalho dividem o táxi até a estação e combinam pagar o valor total exatamente em partes iguais. Escreva a expressão algébrica do preço que cada uma deve pagar em função de $k$ e calcule quanto cada uma pagará se o percurso total for de $10$ km.

Para renovar o gradil de uma passarela de pedestres em um parque nacional, os operários colocam postes verticais unidos por travessas de madeira formando módulos contínuos:

• Para $1$ metro de passarela são necessárias $6$ madeiras.

• Para $2$ metros de passarela são necessárias $10$ madeiras.

• Para $3$ metros de passarela são necessárias $14$ madeiras.

• Para $4$ metros de passarela são necessárias $18$ madeiras.

1. a) Estime e verifique: antes de deduzir qualquer fórmula, se os operários tiverem de construir um trecho de $25$ metros, faça uma estimativa mental rápida: você acha que eles vão precisar de mais ou de menos de $100$ madeiras? Justifique a sua estimativa sem fazer o cálculo passo a passo.
2. b) Observe o padrão: quantas madeiras são adicionadas a cada metro adicional? Deduza de forma fundamentada a expressão algébrica que dá o número total de madeiras necessárias para um trecho de $n$ metros de passarela.
3. c) Utilize a sua expressão para calcular o número exato de madeiras que serão gastas nos $25$ metros. Compare o resultado obtido com a sua estimativa do item a) e avalie se ela foi acertada e razoável.

Em uma empresa de paisagismo, utilizam-se ladrilhos hexagonais para cercar canteiros de flores. Se colocarmos os canteiros em linha, cada canteiro adicional compartilha alguns ladrilhos com o anterior para economizar material. Observe a seguinte sequência de design:

Se chamarmos $n$ o número de canteiros que queremos colocar em fila:

1. a) Encontre uma expressão algébrica que permita calcular o número de ladrilhos necessários para $n$ canteiros.
2. b) Use essa expressão para calcular quantos ladrilhos seriam necessários para uma fileira de $25$ canteiros.

Expresse em linguagem algébrica as seguintes frases complexas, utilizando uma única variável $x$ para o número desconhecido:

1. a) O triplo da diferença entre o quadrado de um número e a metade dele.
2. b) A soma de três números naturais consecutivos, sabendo que o primeiro deles é $x-2$.
3. c) O preço final de um moletom que custava $x$ reais, se primeiro for aplicado um aumento de $10\%$ por custos de envio e depois um desconto de $5$ reais por um cupom.
4. d) A diferença entre o cubo do sucessor de um número e o dobro do antecessor dele.

Um grupo de amigos quer dar um console de videogame de presente a um colega. O console custa $C$ reais. Eles decidem que dois dos amigos, que são irmãos, pagarão apenas a metade do que cada um dos outros pagar.

1. a) Se $x$ é a quantia de dinheiro que cada um dos amigos que não são irmãos contribui, e há um total de $6$ amigos (incluindo os dois irmãos), expresse algebricamente o custo total $C$ do console.
2. b) Se o custo do console é de $300$ reais, calcule quanto dinheiro cada um dos irmãos deve contribuir.

No projeto de uma piscina moderna, deseja-se cercar uma área retangular de água com comprimento $l$ e largura $a$ por uma borda de madeira de $2$ metros de largura em todo o seu contorno.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa a área total ocupada pela madeira (a borda).
2. b) Simplifique a expressão obtida no item anterior.
3. c) Qual seria o valor numérico dessa área se a piscina medir $10$ metros de comprimento e $5$ metros de largura?

Considere a expressão algébrica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calcule o valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ e $x = 10$.
2. b) Observando os resultados, você poderia propor uma expressão muito mais simples que seja equivalente a $P(x)$ para qualquer valor de $x$ (exceto para $x = -2$)?
3. c) Por que você acha que não é possível calcular o valor numérico de $P(x)$ para $x = -2$? Justifique sua resposta com base no que você sabe sobre frações.

Em uma competição de triatlo, um atleta corre a uma velocidade constante de $v$ km/h.

1. a) Expresse algebricamente a distância que ele percorre em um tempo de $t$ horas e $15$ minutos. (Lembre-se de expressar o tempo em uma única unidade).
2. b) Se o atleta decidir aumentar sua velocidade em $2$ km/h durante a segunda metade do tempo, escreva a expressão da distância total percorrida em um tempo total de $t$ horas.
3. c) Calcule a distância total do item b) se $v = 12$ km/h e $t = 2$ horas.

Um mágico pede a um espectador que siga as seguintes instruções:

1. Pense em um número natural qualquer $n$.

2. Multiplique-o por $6$.

3. Adicione $12$ ao resultado anterior.

4. Divida tudo por $3$.

5. Subtraia o dobro do número que você pensou no início.

1. a) Traduza para a linguagem algébrica cada passo do truque e escreva a expressão final simplificada.
2. b) Qual é o resultado final do truque? Ele depende do número que o espectador pensou? Justifique sua resposta usando a linguagem algébrica.

Em um armazém de logística, as caixas são empilhadas formando estruturas piramidais de base quadrada. No nível mais alto (nível 1), há $1$ caixa. No nível 2 (abaixo do primeiro), há $4$ caixas formando um quadrado de $2 \times 2$. No nível 3, há $9$ caixas formando um quadrado de $3 \times 3$.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa o número de caixas no nível $n$.
2. b) Escreva uma expressão algébrica que represente o número total de caixas se a pirâmide tem apenas $3$ níveis.
3. c) Se uma pirâmide tem $n$ níveis, sabe-se que o número total de caixas é dado pela fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcule quantas caixas haverá no total em uma estrutura de $10$ níveis.

Em um ateliê de matemática recreativa, propõe-se o seguinte truque de mágica numérica:

1. Pense em um número inteiro qualquer.

2. Some $5$ a ele.

3. Multiplique o resultado obtido por $2$.

4. Subtraia $6$ dele.

5. Divida o resultado por $2$.

6. Subtraia o número em que você pensou no início.

O resultado final é sempre $2$, não importa o número escolhido!

Para convencer a turma de que não é por acaso, debatem-se dois caminhos:

• Método A (Verificação empírica): Testar o truque com cinco números muito diferentes entre si (um número de um algarismo, um de três algarismos, o zero, um número negativo e uma fração).

• Método B (Demonstração algébrica): Chamar de $n$ o número inicial, encadear algebricamente todas as operações em uma só expressão e simplificá-la passo a passo.

1. a) Desenvolva por completo o Método B: escreva a expressão algébrica resultante após cada uma das 6 instruções e simplifique-a até demonstrar que o resultado final é $2$.
2. b) Escolha o método e justifique: compare os dois caminhos explicando por que o Método A, apesar de testar muitos casos, não demonstra que o truque funcione sempre, e que vantagem definitiva traz a linguagem algébrica do Método B.

Durante uma atividade de revisão, o professor pede para traduzir para linguagem algébrica a seguinte frase: «O triplo do anterior de um número $x$, aumentado no dobro do seguinte do referido número $x$».

Dois alunos entregam propostas diferentes:

• O Marcos escreve: $3 \cdot x - 1 + 2 \cdot x + 1$

• A Lucía escreve: $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x + 1)$

1. a) Analise a proposta do Marcos: localize os dois erros cometidos por não utilizar parênteses e explique que frase cotidiana corresponderia textualmente à expressão que ele escreveu.
2. b) Desenvolva e simplifique a expressão da Lucía aplicando a propriedade distributiva e agrupando os termos semelhantes para obter uma expressão reduzida da forma $a \cdot x + b$.
3. c) Raciocine e justifique: seria possível que, sendo $x$ um número inteiro, o valor final da expressão da Lucía fosse igual a $40$? Iguale a expressão reduzida a $40$, resolva para $x$ e justifique a sua conclusão analisando se o resultado pertence ao conjunto dos números inteiros.