Exercícios: Expressões algébricas

No mundo dos jogos eletrônicos, é muito comum traduzir situações para a linguagem matemática. Chamando $x$ o número de gemas que você tem em um baú, expresse em linguagem algébrica as seguintes situações:

• O triplo das gemas que você tem.

• O número de gemas que você terá se encontrar mais 15.

• O número de gemas que lhe sobram depois de gastar a metade em uma skin.

• O dobro das suas gemas menos 5 que você deve a um amigo.

Observe a seguinte série de figuras formadas com palitos de madeira. Queremos saber quantos palitos vamos precisar para construir uma fila de $n$ quadrados.

Se para 1 quadrado você usa 4 palitos, para 2 quadrados você usa 7 palitos e para 3 quadrados você usa 10 palitos:

1. a) Quantos palitos você acrescentaria a cada novo quadrado?

1. b) Escreva a fórmula ou expressão algébrica que permite calcular o número total de palitos para $n$ quadrados.

Identificar as partes de um monômio é fundamental para "falar" álgebra. Complete mentalmente ou no caderno as informações para os seguintes monômios:

• $5x^3 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

• $-7 \rightarrow$ Coeficiente: ___ , Parte literal: ___ , Grau: ___

O valor numérico é o resultado da substituição da letra por um número. Imagine que o custo de organizar uma festa de aniversário é dado pela expressão $15n + 50$, onde $n$ é o número de convidados.

Calcule quanto custará a festa se você decidir convidar:

• $n = 10$ amigos.

• $n = 20$ amigos.

• $n = 25$ amigos.

Nas aulas de Educação Física, o professor nos pede para dar uma volta em um campo retangular de treinamento. Não sabemos as medidas exatas, mas sabemos que o comprimento mede $L$ metros e a largura mede $a$ metros.

• Escreva a expressão algébrica do perímetro do campo.

• Se o professor nos disser que o comprimento é o dobro da largura ($L = 2a$), reescreva a expressão do perímetro utilizando apenas a letra $a$.

Para simplificar expressões, só podemos somar ou subtrair monômios semelhantes (aqueles que têm a mesma parte literal). Reduza ao máximo as seguintes expressões:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

A Kenia e seu irmão Adrián estão comparando o dinheiro que pouparam para o próximo festival. A Kenia tem $x$ reais. Expresse em linguagem algébrica o dinheiro que o Adrián tem em cada um destes casos independentes:

• O Adrián tem 12 reais a mais do que a Kenia.

• O Adrián tem o dobro da Kenia.

• O Adrián tem 5 reais a menos do que o triplo do que a Kenia tem.

• Se juntarem o dinheiro dos dois e a prefeitura lhes der 20 reais extras, eles têm no total 100 reais.

Calcule o valor numérico das seguintes expressões para os valores indicados. Tenha muito cuidado com os sinais negativos e lembre-se da ordem das operações:

• $2x + 7$ para $x = -3$

• $x^2 - 5$ para $x = 4$

• $3(a + b)$ para $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ para $x = 8$

Em um teste na aula, o Marcos precisava calcular o valor numérico da expressão algébrica $8 - 2x$ para $x = -3$. Na folha dele, escreveu o seguinte:

$$8 - 2 \cdot -3 = 6 \cdot -3 = -18$$

1. a) Identifique e explique os dois erros matemáticos cometidos por Marcos na resolução.
2. b) Explique por que é fundamental escrever parênteses quando substituímos uma variável por um número negativo.
3. c) Corrija o procedimento e calcule o valor numérico correto.

O serviço público de bicicletas compartilhadas de uma cidade brasileira cobra dos usuários sem passe anual uma tarifa fixa de desbloqueio de $1,20$ reais por trajeto, mais $0,15$ reais por cada minuto de utilização.

1. a) Escreva uma expressão algébrica que permita calcular o custo total de um trajeto realizado por um usuário que pedala durante $m$ minutos.
2. b) Se você usar uma bicicleta durante $18$ minutos para ir da sua casa até a biblioteca, calcule o valor exato que será cobrado de você aplicando a sua expressão.
3. c) O que representa a variável $m$ neste contexto real? Justifique se faria sentido prático calcular o valor numérico da expressão para $m = -4$ ou para $m = 25,5$.

Em uma plataforma de jogos online, a assinatura mensal custa $12$ reais fixos, mas cada vez que você compra um visual ou skin para o seu personagem, são cobrados $3$ reais adicionais.

• a) Escreva uma expressão algébrica que permita calcular o custo total mensal se for comprado um número $x$ de skins.

• b) Se em um mês você decidir comprar $4$ skins, utilize a expressão anterior para calcular quanto pagará no total.

• c) Traduza para a linguagem comum o que significaria a expressão $12 + 3(x + 1)$.

Observe o projeto desta nova pista de skate que a prefeitura quer construir. As dimensões estão expressas em metros utilizando a variável $x$.

• a) Escreva uma expressão algébrica simplificada que represente o perímetro total da pista de skate.

• b) Calcule o perímetro se o valor da incógnita for $x = 4$ metros.

No estudo dos monômios, é fundamental identificar suas partes para poder operar com eles. Complete as informações da seguinte lista de monômios:

• Monômio A: $-5ax^3$

• Monômio B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monômio C: $-x^2y^2$

• Monômio D: $12$

Para cada um, indique:

1. O coeficiente.

2. A parte literal.

3. O grau do monômio.

4. Escreva um monômio que seja semelhante ao Monômio A.

Um influencer está analisando o crescimento dos seus seguidores. Criou uma fórmula para estimar os "pontos de impacto" ($I$) de suas publicações:

$I = 10a + 5b - 2c$

Onde:

• $a$ é o número de "curtidas" (em milhares).

• $b$ é o número de vezes que a publicação é compartilhada.

• $c$ é o número de comentários negativos.

Calcule o valor numérico do impacto ($I$) para os seguintes dados:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Estamos construindo uma sequência de figuras com azulejos quadrados seguindo um determinado padrão. Observe as três primeiras figuras da sequência:

• a) Se $n$ representa o número da figura, escreva uma expressão algébrica que indique quantos azulejos quadrados terá a figura $n$.

• b) Quantos azulejos terá a figura número $25$?

• c) Que número de figura terá exatamente $40$ azulejos?

Reduza as seguintes expressões algébricas agrupando os termos que forem semelhantes. Lembre-se de aplicar corretamente a regra dos sinais:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Traduza estas situações reais para a linguagem algébrica utilizando uma única variável (o $x$):

• a) O preço de um ingresso de cinema ($x$) aumentado em $10\%$ por taxa de conveniência.

• b) A idade de Ana, sabendo que é três anos mais nova que o dobro da idade do seu irmão caçula ($x$).

• c) A soma de três números inteiros consecutivos.

• d) A economia que me resta se eu tinha $x$ reais e gastei a quarta parte em um livro e depois $10$ reais em um presente.

Realize as seguintes operações com monômios e simplifique o resultado sempre que possível. Se o resultado for um número, indique-o:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

Queremos descobrir uma expressão algébrica desconhecida que cumpra todas as condições seguintes:

1. Utiliza uma única variável, $x$, e o seu grau é $2$.

2. É um binômio formado por um termo com $x^2$ e um termo independente (um número sem letra).

3. Para $x = 0$, o seu valor numérico é $-5$.

4. Para $x = 3$, o seu valor numérico é $13$.

1. a) Deduza passo a passo qual deve ser o termo independente utilizando a condição dada para $x = 0$.
2. b) Descubra que coeficiente deve multiplicar $x^2$ para que se cumpra o valor numérico pedido quando $x = 3$, e escreva a expressão algébrica completa.
3. c) Sem necessidade de realizar operações longas, qual será o valor numérico da sua expressão para $x = -3$? Justifique a sua resposta prestando atenção ao sinal e ao expoente.

De acordo com registros meteorológicos habituais na Península Ibérica, ao subir uma montanha a temperatura diminui aproximadamente $1\text{ }^\circ\text{C}$ a cada $150\text{ m}$ de altitude. Num dia de primavera, a temperatura $T$ (em graus Celsius) na encosta da Serra da Mantiqueira em função da altitude $a$ (em metros) pode ser modelada pela expressão:

$$T = 20 - \frac{a}{150}$$

1. a) Na cidade situada na base ($a = 600\text{ m}$) o termômetro marca $16\text{ }^\circ\text{C}$. Antes de fazer o cálculo exato, estime de forma fundamentada se no cume do Pico das Agulhas Negras ($a = 2400\text{ m}$) a temperatura estará acima ou abaixo de $5\text{ }^\circ\text{C}$. Explique em que você se baseia para fazer a sua estimativa.
2. b) Verifique a sua estimativa calculando o valor numérico exato da temperatura para a altitude do cume ($a = 2400\text{ m}$).
3. c) Um caminhante afirma que a $3300\text{ m}$ a temperatura seria de $-2\text{ }^\circ\text{C}$. Verifique se a fórmula matemática dá esse resultado e avalie criticamente se faz sentido aplicar este modelo a essa altitude na Serra da Mantiqueira, sabendo que o seu ponto mais alto não chega aos $2500\text{ m}$.

Em uma reserva natural, está sendo estudado o crescimento de uma espécie de samambaia que se expande seguindo um padrão geométrico. Na primeira semana (semana $n=1$), a samambaia tem uma folha central. Na segunda semana, crescem três folhas novas ao seu redor. Na terceira, crescem outras cinco.

Observe o padrão das etapas e realize as seguintes tarefas:

• Encontre uma expressão algébrica que determine o número total de folhas da samambaia na semana $n$.

• Se uma samambaia tem 121 folhas, em que semana ela se encontra?

• Calcule o valor numérico para a semana $n = 15$.

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar pacotes. O custo total de um envio em reais depende de três fatores: um custo fixo de manutenção ($F$), o peso do pacote em kg ($p$) e a distância percorrida em km ($d$).

A fórmula aplicada é: $C = 1,5F + \frac{p \cdot d}{10} - 0,5p$.

• Se o custo fixo é de $F = 4$ reais, simplifique a expressão reduzindo os monômios semelhantes.

• Calcule o valor numérico (custo do envio) para um pacote de $2$ kg que deve viajar $35$ km.

• Qual fator influi mais no preço final se aumentarmos uma unidade: o peso ou a distância? Justifique sua resposta com base na estrutura da expressão.

A planta de um novo centro recreativo para adolescentes tem uma forma irregular composta por um retângulo central e duas áreas triangulares idênticas nas laterais. As dimensões são dadas em função de uma variável $x$ que representa a largura básica das salas.

• Escreva a expressão algébrica simplificada do perímetro total da figura.

• Escreva a expressão algébrica simplificada da área total do centro recreativo.

• Se para cumprir as normas de segurança a área total deve ser de pelo menos $150 \, m^2$, verifique se o projeto é válido quando $x = 5 \, m$.

Em um jogo de RPG, o dano causado por um feitiço de fogo é calculado com a expressão: $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$, onde $x$ é o nível de magia da personagem e $y$ é a potência do cajado.

• Calcule o dano se a personagem tiver nível de magia $x = 4$ e potência de cajado $y = 1$.

• Um programador afirma que se a personagem não tiver cajado ($y = 0$), o dano se simplifica a uma expressão proporcional ao quadrado do nível de magia. Demonstre se isso é verdade realizando a substituição e simplificando.

• Se dobrarmos o nível de magia ($2x$) e mantivermos o cajado em $y = 0$, quantas vezes aumenta o dano total?

Considere os seguintes três monômios: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ e $C = 5xy^2$.

Realize as seguintes operações combinadas e simplifique o resultado ao máximo:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Explique de forma fundamentada por que você não pode somar o monômio $A$ com o monômio $C$. Que condição deveria mudar na sua parte literal para que fosse possível?

Um grupo de amigos quer alugar uma quadra de padel durante várias horas ($h$). O preço do aluguel é de $12$ reais por hora. Além disso, precisam alugar raquetes para todos. O aluguel de cada raquete custa $3$ reais por toda a sessão. Se o grupo for formado por $n$ pessoas:

• Escreva a expressão algébrica do custo total do aluguel ($C$) em função do número de horas ($h$) e do número de pessoas ($n$).

• Se decidirem pagar o custo total em partes iguais, escreva a expressão do valor que cada pessoa deve pagar.

• Simplifique a expressão anterior. A parte correspondente às raquetes depende do número de pessoas que forem? Justifique a sua resposta.

Marta está projetando uma estante modular. Cada módulo quadrado exige $4$ tábuas longas e $4$ conectores nos cantos. No entanto, ao unir módulos lado a lado, eles compartilham uma tábua vertical e os dois conectores de suas extremidades.

• Escreva uma expressão algébrica que nos dê o número de tábuas necessárias para montar uma fileira de $x$ módulos.

• Se cada tábua custa $a$ reais e cada conector custa $b$ reais, escreva a expressão do custo total de uma fileira de $x$ módulos.

• Simplifique a expressão do custo total sabendo que o conector custa a quarta parte de uma tábua ($b = a/4$).

Para calcular o valor numérico da expressão algébrica:

$$E = 5(2x - 3) - 3(4x - 7) + 4x$$

para o valor $x = 15$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Estratégia da Laura: Substitui diretamente o valor $x = 15$ na expressão tal como está e calcula as operações respeitando a prioridade das operações.

• Estratégia do Davi: Primeiro simplifica a expressão algébrica aplicando a propriedade distributiva e agrupando monômios semelhantes; depois, substitui $x = 15$ na expressão resultante.

1. a) Resolva o exercício seguindo passo a passo a estratégia da Laura.
2. b) Resolva o exercício seguindo passo a passo a estratégia do Davi.
3. c) Verifique se se obtém o mesmo resultado numérico com ambos os métodos e explique por quê.
4. d) Avalie ambos os caminhos: qual requer operações aritméticas mais simples? Se você tivesse de calcular o valor numérico dessa mesma expressão para cinco valores diferentes de $x$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 10$ e $x = 100$), justifique fundamentadamente qual estratégia escolheria.

No projeto de requalificação de uma calçada são projetadas áreas verdes quadradas cercadas por lajotas protetoras no seu perímetro. Se for instalada uma única jardineira quadrada, são necessárias $8$ lajotas para cercá-la. Se forem colocadas várias jardineiras encostadas em fila formando uma fileira contínua, as jardineiras interiores compartilham lajotas perimetrais.

Três técnicas de urbanismo propuseram três fórmulas diferentes para calcular quantas lajotas $B$ são necessárias para uma fila de $n$ jardineiras:

• Fórmula da Lucía: $B = 2(n + 2) + 2$

• Fórmula da Sara: $B = 8 + 2(n - 1)$

• Fórmula da Nerea: $B = 2n + 6$

1. a) Interprete o significado geométrico das fórmulas: explique de forma fundamentada como a Lucía contou as lajotas e como a Sara as contou para chegarem às suas expressões.
2. b) Utilize as operações algébricas (propriedade distributiva e redução de termos semelhantes) para demonstrar se as três fórmulas são equivalentes entre si.
3. c) A prefeitura dispõe de um palete com $75$ lajotas para uma avenida. Proponha uma estratégia a partir das expressões anteriores para calcular quantas jardineiras completas em fila podem ser cercadas no máximo e quantas lajotas vão sobrar exatamente.