Exercícios: Massa

No estudo da matéria, é fundamental não confundir o que medimos com a ferramenta que usamos. Classifique os seguintes termos na tabela conforme correspondam a uma grandeza, uma unidade de medida ou um instrumento de medição:

Massa, Grama, Balança, Quilograma, Balança de plataforma, Capacidade, Tonelada, Dinamômetro.

Para passar de uma unidade para outra no sistema métrico decimal, devemos multiplicar ou dividir pela unidade seguida de zeros. Complete as seguintes igualdades realizando as conversões de unidade indicadas:

1. a) $45\text{ kg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
2. b) $1.200\text{ mg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
3. c) $0,5\text{ hg} = \dots\dots\dots\text{ dag}$
4. d) $34,7\text{ dg} = \dots\dots\dots\text{ cg}$

É muito importante saber escolher a unidade adequada de acordo com o objeto que estamos pesando. Relacione cada um dos seguintes objetos com a medida que lhe parecer mais realista:

1. Uma formiga operária.

2. Uma lata de refrigerante cheia.

3. Um notebook.

4. Um caminhão de entregas.

Medidas possíveis: $2\text{ kg}$, $8\text{ t}$, $3\text{ mg}$, $330\text{ g}$.

Em um laboratório de ciências, três alunos pesaram uma mesma amostra de rocha. Cada um anotou o resultado em uma unidade diferente:

• Aluno A: $0,45\text{ kg}$

• Aluno B: $4.200\text{ dg}$

• Aluno C: $46\text{ dag}$

Expresse todas as medidas em gramas e ordene os alunos do menor para o maior de acordo com a massa que obtiveram.

Você sabia que o quilograma foi definido originalmente com base na água? Um litro de água pura tem uma massa de exatamente um quilograma. Se você tem uma mochila que aguenta um peso máximo de $6\text{ kg}$ e já leva lá dentro livros que pesam $2500\text{ g}$, quantas garrafas de água de $1,5$ litros você pode acrescentar no máximo sem que a mochila se rompa?

Para preparar um bolo de chocolate para o aniversário da sua irmã, Ana comprou os seguintes ingredientes:

• Um pacote de farinha de $0,75\text{ kg}$.

• Uma barra de chocolate de $200\text{ g}$.

• Um pacote de açúcar de $4,5\text{ hg}$.

Qual é a massa total dos ingredientes em gramas?

Expresse as seguintes quantidades na forma incomplexa (usando uma única unidade), convertendo-as para a unidade indicada em cada caso:

1. a) $3\text{ kg y } 450\text{ g}$ $\rightarrow$ em gramas.
2. b) $5\text{ dag, } 2\text{ g y } 8\text{ dg}$ $\rightarrow$ em decigramas.
3. c) $1\text{ t y } 200\text{ kg}$ $\rightarrow$ em quilogramas.
4. d) $4\text{ hg y } 5\text{ cg}$ $\rightarrow$ em centigramas.

Uma van tem uma capacidade máxima de carga de $1,5$ toneladas métricas ($t$). Se quisermos carregar caixas de laranjas que pesam $25\text{ kg}$ cada uma, quantas caixas poderemos transportar no máximo em uma única viagem? (Lembre-se de que $1\text{ t} = 1.000\text{ kg}$).

O Sérgio quer preparar uma massa de pão e precisa passar $4,5\ kg$ de farinha para gramas. No caderno dele, escreve a seguinte resolução: «Para passar de quilogramas para gramas desço 3 degraus na escada do sistema métrico, por isso multiplico por $30$: $4,5 \cdot 30 = 135\ g$».

1. a) Explique com suas palavras que erro conceitual o Sérgio cometeu sobre o funcionamento do sistema métrico decimal.
2. b) Justifique por que se deve multiplicar por $1\,000$ (ou seja, $10 \cdot 10 \cdot 10$) e não por $30$.
3. c) Corrija o cálculo do Sérgio e indique a massa real de farinha, em gramas, que ele deve usar na receita.

Na zona do reais, uma moeda de $1$ real tem uma massa oficial de $7,5\ g$. Imagine que você tem uma sacola que contém exatamente $60$ moedas de $1$ real.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, arredonde a massa de uma moeda para um número inteiro simples e estime mentalmente quantos gramas e quantos quilogramas pesarão aproximadamente as $60$ moedas. Escreva como você fez essa estimativa mental.
2. b) Faça o cálculo exato da massa total das moedas e expresse o resultado tanto em gramas ($g$) quanto em quilogramas ($kg$).
3. c) Compare a sua estimativa inicial com o resultado exato: foi uma aproximação razoável? Explique se a sua estimativa ficou acima ou abaixo do valor real e por quê.

Para evitar lesões nas costas, recomenda-se que a mochila escolar não ultrapasse $10 \%$ do peso do estudante. Lucas pesa $45\ kg$ e pesou os itens que leva hoje para a aula:

• Livros e cadernos: $2,8\ kg$

• Estojo com material: $350\ g$

• Dicionário de inglês: $6,5\ hg$

• Garrafa de água cheia: $75\ dag$

Calcule a massa total da mochila em quilogramas e determine se Lucas está transportando um peso seguro para as suas costas.

Uma conhecida confeitaria do seu bairro usa as seguintes quantidades de massa para preparar o seu famoso "Bolo Imperial":

• Farinha: $0,55\ kg$

• Açúcar: $22,5\ dag$

• Manteiga: $1.250\ dg$

• Chocolate: $3\ hg$

Expresse em gramas cada um dos ingredientes e calcule a massa total do bolo (sem contar o recheio nem a decoração) na forma complexa (utilizando quilogramas e gramas).

Na horta da escola foram colhidas $4,2$ toneladas de maçãs. Para o transporte, usam-se sacos que contêm um quintal métrico ($q$) cada um.

1. a) Quantos sacos são necessários para transportar toda a colheita?
2. b) Se de cada $5\ kg$ de maçãs se obtém $1\ kg$ de compota, quantos quilogramas de compota a escola produzirá com essa colheita?

Sabendo que um decímetro cúbico ($1\ dm^3$) de água destilada tem uma massa de exatamente $1\ kg$, resolva o seguinte problema:

Um aquário tem a forma de um paralelepípedo com as dimensões de $60\ cm$ de comprimento, $30\ cm$ de largura e $40\ cm$ de altura. Se for cheio de água até $\frac{3}{4}$ de sua capacidade total, qual será a massa da água contida no aquário, expressa em quilogramas?

Um caminhão de entregas tem uma carga máxima autorizada de $3,5\ t$. Atualmente carrega $18$ paletes de caixas de leite que pesam $125\ kg$ cada uma. O motorista deve recolher em um armazém $12$ sacos de ração de $450\ hg$ cada um.

Ele poderá carregar os sacos de ração sem ultrapassar o limite de massa do caminhão? Justifique sua resposta realizando os cálculos em quilogramas.

Numa loja de balas a granel, o preço dos algodões-doces é de $\text{R\$}\ 1,20$ por cada hectograma ($hg$).

1. a) Quanto custará um saco que contém $250\ g$ de algodões-doces?
2. b) Se pagamos $\text{R\$}\ 6$ por outro saco de algodões-doces, quantos gramas de algodões-doces compramos?

Ordene da menor para a maior as seguintes massas de componentes eletrônicos utilizados na fabricação de um smartphone. Para comparar, converta todas as unidades para miligramas ($mg$):

• Sensor de câmera: $0,0042\ kg$

• Microchip principal: $1,85\ g$

• Parafuso de fixação: $85\ cg$

• Conector de carga: $12,4\ dg$

Uma farmácia recebe uma remessa de $5$ caixas de um medicamento. Cada caixa contém $12$ frascos, e cada frasco tem uma massa de $150\ g$ quando está vazio. Dentro de cada frasco há $60$ cápsulas, e cada cápsula tem uma massa de $500\ mg$.

Calcule a massa total da remessa (incluindo frascos e cápsulas) expressa em quilogramas.

No laboratório de Ciências da Natureza, vocês têm de colocar três amostras minerais em uma bandeja que suporta uma carga máxima de $1,5\ kg$. As massas das amostras são: pirita ($520\ g$), quartzo ($4,8\ hg$) e calcita ($55\,000\ cg$). Para averiguar se a bandeja suportará as três amostras ao mesmo tempo, duas colegas propõem caminhos distintos:

• A Beatriz propõe converter todas as massas para gramas ($g$) para somar unicamente números inteiros e comparar o total com a capacidade da bandeja expressa também em gramas.

• A Júlia propõe passar todas as massas diretamente para quilogramas ($kg$) utilizando números decimais e comparar a soma diretamente com $1,5\ kg$.

1. a) Resolva o problema aplicando o método da Beatriz.
2. b) Resolva o problema aplicando o método da Júlia.
3. c) Analise ambos os procedimentos: qual dos dois lhe parece mais prático e com menor risco de erro neste caso concreto? Justifique a sua resposta valorizando o trabalho com números inteiros em comparação com o uso de vírgulas decimais.

Segundo os dados sobre coleta seletiva de resíduos na Espanha, estima-se que um estudante gera uma média de $35\ g$ de resíduos plásticos e embalagens leves durante um dia de aulas. Em uma escola de Ensino Médio estudam $500$ alunos.

1. a) Modele a situação e calcule quantos quilogramas de plástico os alunos da escola geram no total em um dia de aulas e em uma semana completa de aulas (de segunda a sexta-feira).
2. b) Para armazenar essas embalagens, a escola dispõe de uma caçamba cuja carga máxima recomendada é de $0,7\ q$ (quintais métricos). Ela terá capacidade suficiente para acumular os resíduos gerados durante duas semanas completas de aulas (10 dias) sem ser esvaziada? Justifique sua resposta indicando quantos quilogramas sobram ou faltam para atingir o limite da caçamba.
3. c) Se, após uma campanha ambiental, a escola reduzir a geração diária total para $14\ kg$, calcule quantos gramas de plástico cada aluno poupa por dia, em média, em relação à situação inicial.

Um caminhão de entregas tem uma capacidade de carga máxima de $3,5$ toneladas. No armazém foram carregadas $12$ caixas de máquinas que pesam $1,45$ quintais cada uma e $45$ sacos de ração de $25$ $kg$ cada um. Se ainda falta carregar um contêiner de peças metálicas cuja massa é de $875.000$ gramas, o caminhão poderá transportar toda a carga de uma só vez sem ultrapassar o seu limite? Justifique sua resposta calculando quantos quilogramas faltam ou sobram para atingir o máximo.

Uma empresa farmacêutica fabrica cápsulas de um suplemento vitamínico. Cada cápsula contém $150$ $mg$ de princípio ativo, $0,025$ $dg$ de excipiente e $4.500$ $\mu g$ (microgramas) de revestimento gelatinoso. Sabendo que $1$ $mg = 1.000$ $\mu g$, calcule a massa total de um frasco que contém $120$ cápsulas, expressando o resultado final em gramas. Não se esqueça de somar os $12$ $g$ que o frasco de plástico vazio pesa.

Em uma fábrica de azeite, uma envasadora enche garrafas de $0,75$ litros. Sabemos que $1$ litro deste azeite tem uma massa de $920$ $g$. Se um caminhão transporta $150$ caixas e cada caixa contém $12$ garrafas, qual é a massa total da carga de azeite em toneladas? Se cada garrafa vazia tem uma massa de $35$ $dag$ e cada caixa de papelão pesa $0,4$ $kg$, calcule também a massa total do transporte (azeite + garrafas + caixas) em quilogramas.

Para realizar um experimento químico, um estudante precisa misturar três substâncias. Da substância A, ele tem $0,045$ $kg$; da substância B, tem $12,4$ $dag$; e da substância C, tem $7.800$ $cg$. Após misturá-las, ocorre uma reação que libera um gás, fazendo com que a mistura perca uma centésima parte da sua massa total inicial. Qual será a massa final da mistura líquida resultante expressa em gramas?

O clube de robótica tem uma barra de alumínio de $1,2$ $kg$. Deseja fabricar o maior número possível de peças de $12$ $g$ e $500$ $mg$ cada uma.

• Quantas peças poderá fabricar no máximo?

• Se o grama de alumínio custa $3,50$ reais, quanto custará o material de todas as peças fabricadas?

• Quanto alumínio sobrará em miligramas?

Uma loja de produtos a granel recebe um pedido de arroz em sacos de um miriagrama ($1$ $mag = 10$ $kg$). O dono da loja quer reembalar o arroz em sacos menores de três tamanhos diferentes:

• A metade do arroz será embalada em sacos de $500$ $g$.

• Duas quintas partes do arroz restante serão embaladas em sacos de $250$ $g$.

• O que sobrar será embalado em sacos de $100$ $g$.

Se foram recebidos $12$ sacos de um miriagrama cada um, quantos sacos de cada tipo serão obtidos?

Foi medida a massa de um cubo metálico maciço de $5$ $cm$ de aresta e obteve-se um valor de $343,75$ $g$.

• Qual é a massa deste metal por centímetro cúbico ($cm^3$)?

• Se tivermos outro bloco do mesmo metal com um volume de $1,2$ $dm^3$, qual será a sua massa expressa em quilogramas?

(Dado: o volume de um cubo é calculado como $V = arista \cdot arista \cdot arista$)

Uma balança de dois pratos está em equilíbrio. No prato da esquerda há um pote de mel cheio que pesa $1,25$ $kg$. No prato da direita há um peso de $5$ $hg$, outro de $25$ $dag$ e o mesmo pote de mel, mas vazio. Calcule a massa do mel contido no pote e a massa do pote vazio separadamente, expressando ambos os resultados em gramas.

Uma ourives desenha um lingote cerimonial formado por três metais preciosos (ouro, prata e cobre) cuja massa total combinada deve ser exatamente de $0,48\ kg$. Por exigências do desenho, as massas dos metais devem cumprir as seguintes condições:

• A massa de prata deve ser o quádruplo da massa de cobre.

• A massa de ouro deve superar em exatamente $60\ g$ a massa de prata.

1. a) Expresse todas as quantidades em uma mesma unidade e apresente um raciocínio passo a passo (ou uma equação) para deduzir a massa exata, em gramas, que cada um dos três metais deve ter no lingote.
2. b) Verifique que as massas calculadas satisfazem todas as condições impostas e que a soma delas coincide com a massa total do lingote em quilogramas.
3. c) Para calibrar a porção de cobre obtida em uma balança clássica de dois pratos, a ourives dispõe apenas de pesos de $1\ dag$, $1\ g$, $1\ dg$ e $1\ cg$. Determine qual é a combinação que usa o menor número possível de pesos para equilibrar a massa de cobre calculada, arredondada ao centigrama.

Uma indústria de azeite de Minas Gerais prepara o envio de azeite em um caminhão cuja tara (massa do caminhão vazio) é de $3,8\ t$ e cujo Peso Bruto / Massa Máxima Autorizada (MMA) é de $10\ t$. Carregam-se $16$ paletes de madeira de $20\ kg$ cada uma. Em cada palete colocam-se $30$ caixas de papelão, e cada caixa contém $12$ garrafas. Cada garrafa cheia de azeite tem uma massa de $950\ g$ e cada caixa de papelão vazia pesa $25\ dag$.

O assistente de logística entrega a seguinte nota ao transportador:

«Massa de garrafas: $16 \cdot 30 \cdot 12 \cdot 950 = 5\,472\,000\ g = 54,72\ kg$.

Massa de caixas: $16 \cdot 30 \cdot 25 = 12\,000\ dag = 12\ kg$.

Massa de paletes: $16 \cdot 20 = 320\ kg$.

Massa total da carga: $54,72 + 12 + 320 = 386,72\ kg = 0,38672\ t$.

Como $3,8\ t + 0,38672\ t \approx 4,19\ t$, o caminhão vai quase vazio e podemos carregar o dobro sem problema».

1. a) Detecte e explique os dois erros graves de conversão de unidades que o assistente cometeu. Raciocine por que o resultado final dele não faz nenhum sentido físico para uma carga de milhares de garrafas.
2. b) Faça o cálculo correto da massa total real do caminhão carregado (tara, paletes, caixas e garrafas), expressando o resultado tanto em quilogramas ($kg$) como em toneladas métricas ($t$).
3. c) Determine se o caminhão pode circular legalmente ou se ultrapassa a MMA. Se não a ultrapassar, calcule com precisão quantas caixas completas a mais poderiam ser carregadas, no máximo, sem exceder o limite legal de $10\ t$.