Exercícios: Polígonos

Imagine que você está projetando os ícones para um novo aplicativo de celular. Para que o design seja limpo, o programador pede que você identifique quais destas figuras são polígonos e quais não são. Justifique sua resposta resumidamente indicando qual característica falha nas figuras que não são polígonos.

No polígono a seguir, que representa a planta de um pequeno depósito, identifique e conte os seguintes elementos:

• Número de vértices.

• Número de lados.

• Número de ângulos internos.

• Trace uma diagonal que una o vértice $A$ ao vértice $C$ (copie antes o polígono para o seu caderno).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Classifique os seguintes polígonos quanto ao número de lados utilizando os nomes técnicos correspondentes (triângulo, quadrilátero, pentágono, etc.):

Um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos são menores que $180^\circ$ e côncavo se tem pelo menos um maior que $180^\circ$. Observe estas duas setas de sinalização e indique qual é côncava e qual é convexa.

Para que um polígono seja regular, ele deve ter todos os seus lados com o mesmo comprimento e todos os seus ângulos iguais. Observe as seguintes figuras de um jogo eletrônico e determine qual delas cumpre as condições para ser um polígono regular.

Calcule o perímetro do seguinte terreno de jardim sabendo que seus lados medem as quantidades indicadas no desenho. Lembre-se de que o perímetro é a soma dos comprimentos de todos os seus lados.

Sabemos que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$. No quadrilátero $ABCD$ da figura foi traçada a diagonal $AC$ (linha tracejada), que o divide em dois triângulos: $ABC$ (em laranja) e $ACD$ (em azul). Com base nisso, quanto você acha que somarão os ângulos internos de qualquer quadrilátero? Justifique a sua resposta.

Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono. Observe o pentágono (5 lados) do desenho e desenhe todas as diagonais possíveis que saem do vértice marcado em laranja. Quantas diagonais no total você acha que um pentágono tem se desenhar todas elas?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A Júlia quer calcular quanto mede cada ângulo interno de um pentágono regular para um trabalho manual escolar e anota no caderno:

«Como é um pentágono, tem $5$ lados. A soma dos seus ângulos internos é $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Sendo regular, divido $900^\circ$ por $5$ e obtenho que cada ângulo interno mede $180^\circ$».

1. a) Encontre os dois erros de raciocínio geométrico que a Júlia cometeu. Explique por que é impossível que um ângulo interno de um polígono fechado meça $180^\circ$.
2. b) Corrija o procedimento e calcule o valor correto da soma dos ângulos internos e a medida de cada ângulo interno do pentágono regular.

Vocês vão construir uma maquete de uma placa de trânsito de «PARE», que tem a forma de um octógono regular.

1. a) Estime sem usar fórmulas: Pense em como se compara um canto reto ($90^\circ$) com uma linha reta ou ângulo raso ($180^\circ$). Em um octógono regular, você acha que os ângulos internos serão agudos, retos ou obtusos? Estarão mais perto de $90^\circ$ ou de $180^\circ$? Justifique a sua estimativa qualitativa.
2. b) Verifique: Aplique a fórmula do ângulo interno de um polígono regular para calcular o valor exato de cada um dos seus ângulos: $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Compare a sua estimativa com o resultado obtido e explique se o valor numérico concorda com a forma visual que uma placa de PARE tem.

Uma equipe de engenheiros está projetando uma nova antena de comunicações com a forma de um heptágono convexo. Para reforçar a estrutura, eles precisam colocar cabos de reforço que unam todos os vértices entre si, mas que não sejam os próprios lados da antena. Quantos cabos de reforço (diagonais) terão que instalar no total? Desenhe o polígono e trace todas as diagonais que saem de um único vértice para ajudar no raciocínio.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um jogo de construção, um jogador projetou um terreno com a forma de um quadrilátero irregular para plantar uma horta. Ao medir os ângulos internos com uma ferramenta do jogo, obteve os seguintes valores: $115^\circ$, $82^\circ$ e $96^\circ$. O quarto ângulo está oculto por um erro na interface. Calcule o valor desse ângulo sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre a mesma.

Uma pista de skate tem o perfil lateral mostrado no desenho a seguir. Observe a figura e responda justificadamente às seguintes perguntas:

• Trata-se de um polígono côncavo ou convexo? Por quê?

• Indique o número total de lados, vértices e diagonais deste polígono.

O diafragma de uma câmera fotográfica profissional é formado por lâminas que, ao se fecharem, deixam uma abertura com a forma de um octógono regular.

• Calcule quanto mede o ângulo central desse octógono.

• Calcule quanto mede cada um dos seus ângulos internos.

• Se a câmera tivesse um diafragma de 10 lados (decágono regular), o ângulo central seria maior ou menor? Justifique sua resposta.

Um decorador está projetando um mosaico moderno utilizando peças com a forma de um pentágono regular. Ao tentar juntar três peças em um mesmo ponto (vértice comum), percebe que fica um pequeno espaço vazio.

• Calcule a medida do ângulo interno de um pentágono regular.

• Sabendo que uma volta completa ao redor de um ponto é $360^\circ$, quantos graus mede o espaço livre que fica ao juntar três pentágonos?

Para um projeto de robótica, uma placa metálica deve ter a forma de um hexágono. O fabricante diz que a placa é "equiângula" (todos os seus ângulos internos são iguais), mas não é "equilátera" (seus lados não têm a mesma medida).

• Este hexágono é um polígono regular? Justifique a resposta com base na definição.

• Se a placa tem 6 lados, quanto deve somar a medida de todos os seus ângulos internos?

• Qual é o valor de cada um dos seus ângulos internos?

Oito amigos sentam-se em volta de uma mesa circular para jogar um jogo de RPG. Cada jogador deve ter um "vínculo mágico" (uma corda de cor) com todos os outros jogadores da mesa, exceto com os que estão sentados exatamente ao seu lado esquerdo e direito. Se considerarmos que os jogadores são os vértices de um octógono:

1. a) Que elemento do polígono representam as cordas dos "vínculos mágicos"?

1. b) Calcule o número total de cordas que haverá sobre a mesa.

Na figura, foram desenhados, para o jogador P₁, os seus dois vizinhos (pontos vermelhos, com os quais não tem vínculo) e os seus vínculos mágicos (linhas laranja).

Calcule o perímetro de um pentágono irregular sabendo que ele tem dois lados de $8\text{ cm}$ cada um, outros dois lados que medem o dobro dos anteriores, e um último lado que mede a metade da soma dos outros quatro. Seria possível que este pentágono fosse regular? Explique o porquê.

Uma equipe de design gráfico cria um novo ladrilho com a forma de um quadrilátero côncavo (com aspecto de ponta de seta) para decorar a parede de um ginásio esportivo.

1. a) Quanto devem somar exatamente os quatro ângulos internos de qualquer quadrilátero? Justifique a partir do número de triângulos em que ele se divide a partir de um dos seus vértices.
2. b) O designer decidiu que o ângulo interno côncavo («o reentrante») meça $210^\circ$ e que os outros três ângulos internos restantes tenham exatamente a mesma medida entre si. Formule o problema e calcule a medida de cada um desses três ângulos.
3. c) Raciocine se seria possível construir um quadrilátero que tenha dois ângulos internos côncavos (ou seja, maiores que $180^\circ$ cada um). Apoie-se na soma total dos ângulos para justificar a sua resposta.

O serviço de Parques e Jardins de um município no Brasil está projetando uma área de gramado com a forma de um polígono convexo. Para planejar a instalação dos aspersores, um técnico observa que, a partir de um dos cantos (um único vértice), podem-se traçar exatamente $4$ linhas retas até outros vértices sem que sejam os lados do recinto (ou seja, exatamente $4$ diagonais).

1. a) Modele a situação e deduza quantos lados tem no total o terreno. Explique detalhadamente como se relaciona o número de diagonais que partem de um vértice com o número total de lados $n$.
2. b) O perímetro total do terreno é de $49\text{ m}$ e os trabalhadores mediram que todos os seus lados têm o mesmo comprimento. É possível garantir com total certeza matemática que a área de gramado é um polígono regular? Justifique sua resposta e dê um exemplo de quadrilátero em que todos os lados sejam iguais, mas a figura não seja regular.
3. c) Se o terreno fosse de fato um polígono regular, quanto mediria cada lado e quanto somaria o total dos seus ângulos internos?

Um arquiteto está projetando uma claraboia com formato de polígono regular. Sabe-se que a soma de todos os seus ângulos internos é de exatamente $1080^\circ$. No entanto, por um erro de fabricação, um dos ângulos internos saiu $5^\circ$ maior do que deveria.

1. Quantos lados tem a claraboia original?

2. Se o restante dos ângulos se mantiver igual, quanto mede o ângulo que saiu com defeito?

3. Continua sendo um polígono regular? Justifique sua resposta com base na definição de polígono regular.

Em uma oficina de joalheria, está sendo projetado um pingente unindo dois tipos de peças: um hexágono regular e seis triângulos equiláteros. Se o perímetro do hexágono central é de $24 \text{ cm}$:

1. Qual é o perímetro total da figura estrelada resultante?

2. Calcule o valor do ângulo interno das pontas da estrela (os ângulos que não tocam o hexágono).

3. Se duplicarmos o lado do hexágono, o que acontece com o perímetro total da estrela? Duplica, triplica ou aumenta em outra proporção?

Você dispõe de três varetas rígidas para construir um triângulo. A primeira mede $15 \text{ cm}$ e a segunda $8 \text{ cm}$. O comprimento da terceira é $x$.

1. a) Qual é a medida mínima (em números inteiros de centímetros) que a terceira vareta deve ter para poder formar o triângulo?

1. b) Qual é a medida máxima (em números inteiros de centímetros) que poderia ter?

1. c) Se a terceira vareta medisse exatamente $17 \text{ cm}$, que tipo de triângulo você obteria segundo os seus ângulos? (Dica: Verifique se se cumpre a relação $a^2 = b^2 + c^2$).

Observe a figura a seguir, que representa um logotipo formado por um quadrado de lado $10 \text{ cm}$ do qual foram "recortados" dois triângulos em seus cantos superiores.

1. Classifique o polígono resultante (a área sombreada) quanto ao número de lados e ao seu tipo (côncavo ou convexo).

2. Se os cortes foram feitos exatamente pelos pontos médios dos lados do quadrado, calcule o perímetro do novo polígono.

3. Qual é a soma dos ângulos internos deste novo polígono?

Um parque infantil tem a forma de um pentágono irregular. Seus ângulos internos são $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ e $90^\circ$.

1. Calcule a medida do quinto ângulo.

2. É possível que este parque seja um pentágono convexo? Justifique sua resposta.

3. Se o ângulo de $90^\circ$ está entre dois lados de $12 \text{ m}$ e $16 \text{ m}$, quanto mediria o segmento que une as extremidades desses dois lados? (Use o Teorema de Pitágoras).

Em um quadrilátero qualquer, sabemos que as diagonais são perpendiculares e têm a mesma medida, mas não se intersectam em seu ponto médio.

1. De que figura se trata? Desenhe um exemplo aproximado.

2. Se as diagonais medem $14 \text{ cm}$, podemos calcular a área do quadrilátero mesmo que não seja um losango nem um quadrado? Se sim, calcule-a.

3. Pesquise: que nome recebe o quadrilátero que possui dois pares de lados consecutivos iguais (forma de pipa)?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma equipe de design gráfico quer criar um azulejo com a forma de um hexágono regular de lado $L$. Dentro do hexágono, desenham todas as diagonais que saem de um mesmo vértice.

1. Em quantos triângulos o hexágono fica dividido?

2. Esses triângulos são iguais entre si? Classifique-os quanto aos seus lados.

3. Se o ângulo interno do hexágono é de $120^\circ$, quanto medem os ângulos de cada um dos triângulos formados?

Imagine um polígono regular no qual o valor do seu ângulo central é a quarta parte do valor do seu ângulo interno.

1. Escreva uma equação que relacione o ângulo central ($360/n$) e o ângulo interno ($180 \cdot (n-2) / n$) para encontrar o número de lados $n$.

2. Como se chama este polígono?

3. Qual é a soma dos seus ângulos externos? (Lembre-se de que esta propriedade é comum a todos os polígonos convexos).

Para deduzir a soma dos ângulos internos de um heptágono convexo ($7$ lados) sem recorrer à fórmula memorizada, dois estudantes do 1º ano do Ensino Médio propõem duas estratégias distintas:

• Método do Lucas: Escolha um único vértice do heptágono e trace todas as diagonais possíveis a partir dele, dividindo o polígono em vários triângulos.

• Método da Júlia: Coloque um ponto auxiliar no interior do heptágono e una-o aos $7$ vértices, formando $7$ triângulos que compartilham esse ponto central.

1. a) Aplique o método do Lucas: indique quantos triângulos se obtêm, calcule a soma total dos seus ângulos e justifique por que essa soma coincide exatamente com a soma dos ângulos internos do heptágono.
2. b) Aplique o método da Júlia: calcule a soma dos ângulos dos $7$ triângulos formados e explique que operação adicional é necessário fazer com os ângulos que rodeiam o ponto interior para obter a soma dos ângulos do heptágono.
3. c) Escolha o método: Se você tivesse de explicar a um colega como encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono de $100$ lados, qual dos dois métodos escolheria? Compare a simplicidade de ambos os raciocínios e justifique a sua escolha analisando os possíveis descuidos de cada caminho.

No desenho de passeios e calçadas de pedestres de várias cidades brasileiras utilizam-se ladrilhos com a forma de polígonos regulares. Para que um piso cubra o chão por completo sem deixar espaços vazios nem se sobrepor ao se unir em um mesmo vértice, a soma dos ângulos internos que coincidem nesse vértice deve ser exatamente igual a $360^\circ$.

Um escritório de urbanismo quer pavimentar uma praça e analisa três propostas de ladrilhos regulares:

1. a) Proposta A (pentágonos regulares): Calcule a medida do ângulo interno de um pentágono regular e demonstre numericamente por que é impossível pavimentar a praça usando exclusivamente esse tipo de ladrilho.
2. b) Proposta B (hexágonos regulares): Calcule a medida do ângulo interno de um hexágono regular e determine se ele permite pavimentar a praça sem espaços vazios. Em caso afirmativo, quantos ladrilhos coincidirão exatamente em cada vértice comum?
3. c) Proposta C (octógonos regulares): Um fabricante garante que se pode pavimentar a praça combinando octógonos regulares com outra figura regular menor para preencher os espaços que ficam livres. Calcule o ângulo interno de um octógono regular, demonstre que dois octógonos juntos não completam a volta nem três deles cabem em um vértice, e deduza que tipo de polígono regular conhecido se encaixa exatamente no espaço vazio para somar $360^\circ$.