Exercícios: Elementos do plano

Observe a imagem a seguir e identifique qual dos elementos desenhados corresponde a uma reta, qual a uma semirreta e qual a um segmento. Explique brevemente a diferença entre eles observando as suas extremidades.

Na planta do seu bairro, duas ruas podem se cruzar ou ser paralelas. Observe o esquema das retas $a$, $b$ e $c$. Indique qual par de retas são paralelas e qual par são secantes. Como se chama o ponto laranja onde duas delas se cortam?

Classifique os seguintes ângulos de acordo com a sua abertura em agudo, reto ou obtuso. Para ajudar, lembre-se de que um ângulo reto mede exatamente $90^\circ$.

• Ângulo $A = 45^\circ$

• Ângulo $B = 120^\circ$

• Ângulo $C = 90^\circ$

• Ângulo $D = 10^\circ$

Dois ângulos são complementares se a soma deles é $90^\circ$ e suplementares se a soma deles é $180^\circ$. Calcule quanto vale o ângulo que falta em cada caso:

1. a) O complementar de um ângulo de $35^\circ$.
2. b) O suplementar de um ângulo de $110^\circ$.

Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais. No desenho a seguir, se sabemos que o ângulo laranja $\hat{\alpha}$ mede $40^\circ$, quanto medirão os ângulos $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ e $\hat{\delta}$?

Os ponteiros de um relógio formam diferentes ângulos ao longo do dia.

1. a) Que tipo de ângulo os ponteiros formam quando são 3:00 em ponto?
2. b) E quando são 6:00 em ponto?
3. c) Qual ângulo (em graus) o ponteiro dos minutos percorre em 15 minutos?

Desenhe um polígono de três lados (um triângulo) e nomeie os seus elementos principais. Você deve indicar onde estão os vértices, os lados e os ângulos internos. Quantos de cada um tem um triângulo?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Os seguintes segmentos têm estes comprimentos:

• Segmento $AB = 40$ $mm$

• Segmento $CD = 2,5$ $cm$

• Segmento $EF = 0,5$ $dm$

Calcule a soma total dos seus comprimentos em centímetros ($cm$).

Lembre-se de passar todas as medidas para a mesma unidade antes de somar.

O Lucas precisa calcular o ângulo complementar de $\hat{A} = 42^\circ\ 35'$. No caderno dele, escreveu a seguinte resolução:

«Como dois ângulos complementares somam $90^\circ$, eu subtraio: $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Converto $90^\circ$ em $89^\circ\ 100'$, então faço $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Como $65'$ ultrapassa um grau, passo $60'$ para os graus e obtenho como resultado final $48^\circ\ 5'$».

1. a) Identifique o erro cometido pelo Lucas e explique detalhadamente por que o raciocínio dele sobre as unidades falha e como isso afeta o resultado final, lembrando a base do sistema sexagesimal.
2. b) Realize a operação de forma correta e encontre a medida exata do ângulo complementar de $\hat{A}$.

Em um ateliê de desenho geométrico, pedem a você que encontre um ângulo $\hat{A}$ desconhecido que cumpre uma propriedade matemática muito concreta: a medida do seu ângulo suplementar é exatamente o triplo da medida do seu ângulo complementar.

1. a) Raciocine, sem precisar calcular ainda o ângulo $\hat{A}$, quantos graus de diferença existem sempre entre o ângulo suplementar e o complementar de qualquer ângulo do plano.
2. b) Utilize essa diferença e a condição de que um é o triplo do outro para deduzir quanto deve medir obrigatoriamente o ângulo complementar de $\hat{A}$.
3. c) Determine, a partir do resultado anterior, a medida exata do ângulo $\hat{A}$ e verifique que a condição inicial se cumpre, calculando o seu complementar e o seu suplementar.

Em um mapa de caminhada, uma rota reta une o ponto $A$ (um refúgio) ao ponto $B$ (uma cachoeira). Se prolongarmos a rota além da cachoeira em direção ao topo da montanha (ponto $C$), identifique qual elemento geométrico cada um dos seguintes trechos representa:

1. O caminho que começa no refúgio e termina na cachoeira.

2. O caminho que começa no refúgio e segue indefinidamente passando pela cachoeira e pelo topo.

3. A linha teórica que contém o refúgio, a cachoeira e o topo, estendendo-se sem fim em ambas as direções.

Um arquiteto está projetando uma nova zona residencial. Ele traçou três ruas representadas pelas retas $r$, $s$ e $t$. Observe a planta e responda de forma fundamentada:

• Se a rua $r$ é perpendicular à rua $s$, e a rua $t$ é paralela à rua $r$, como são entre si as ruas $s$ e $t$?

• Se um carro circula pela rua $s$ e quer virar para entrar na rua $t$, qual ângulo (em graus) terá que virar?

Um radar de trânsito gira sobre seu eixo varrendo um ângulo total de $145^\circ$ $30'$. Se o radar já girou $82^\circ$ $45' $ $20''$, quanto falta girar para completar sua varredura total? Expresse o resultado em graus, minutos e segundos.

No projeto de uma rampa para skatistas, foram calculados três ângulos internos que devem somar um ângulo raso para que a estrutura seja estável. Se os dois primeiros ângulos medem $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ e $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calcule a medida do terceiro ângulo $\hat{C}$. De que tipo de ângulo se trata segundo sua abertura (agudo, reto ou obtuso)?

Dois ângulos são suplementares. Se um deles mede o triplo do outro, qual é a medida de cada um dos ângulos? Utilize um esquema gráfico para visualizar a situação.

Dois amigos, Ana e Bruno, querem instalar uma antena repetidora de Wi-Fi no pátio da escola de modo que ela esteja exatamente à mesma distância de ambos. Se Ana está no ponto $A$ e Bruno no ponto $B$:

1. Como se chama a linha imaginária onde eles poderiam colocar a antena?

2. Se a distância entre Ana e Bruno é de $12$ metros, a qual distância mínima de cada um estará a antena?

3. Desenhe um esquema representando os pontos $A$ e $B$, o segmento que os une e a linha onde devem colocar a antena.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um jardineiro quer dividir um canteiro de flores em forma de setor circular em dois setores iguais. Para isso, precisa traçar a bissetriz do ângulo central formado pelo canteiro original, que mede $135^\circ$.

• Calcule quanto medirá cada um dos novos ângulos após passar a bissetriz.

• Se o jardineiro cometer um erro e traçar uma linha que deixa um ângulo de $60^\circ$ $40'$, quantos graus, minutos e segundos de diferença há em relação à bissetriz correta?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Observe os ponteiros de um relógio analógico quando marca exatamente as $15:00$ (as três em ponto). A figura mostra esse relógio: o ponteiro curto é o das horas e o comprido é o dos minutos.

Responda:

1. a) Que tipo de ângulo formam os dois ponteiros às $15:00$?

1. b) Se o relógio avançar até as $15:10$, o ponteiro dos minutos girou um certo ângulo. Sabendo que cada minuto equivale a uma rotação de $6^\circ$ do ponteiro dos minutos, que ângulo o ponteiro dos minutos percorreu?

1. c) Às $15:10$, o ângulo formado pelos dois ponteiros é maior ou menor do que o que formavam às $15:00$? Leve em conta que o ponteiro das horas também se desloca um pouco: gira $0,5^\circ$ a cada minuto.

O braço giratório de uma máquina de triagem em um centro logístico de Campinas parte de uma posição de referência e gira um ângulo de $58^\circ\ 48'$. Para completar uma calibração que exige atingir exatamente um ângulo reto ($90^\circ$), o operador deve programar uma segunda rotação complementar logo após a primeira.

1. a) Antes de fazer contas com lápis e papel, estime de forma fundamentada entre quais dezenas inteiras de graus (por exemplo, entre $20^\circ$ e $30^\circ$, ou entre $30^\circ$ e $40^\circ$) estará o valor da rotação restante. Explique o que você observa para fazer a estimativa sem calcular o valor exato.
2. b) Calcule com precisão sexagesimal (em graus e minutos) a medida da rotação que falta à máquina fazer para atingir os $90^\circ$.
3. c) Compare o valor exato obtido com a sua estimativa prévia e avalie, de forma fundamentada, se ele faz sentido geometricamente.

Na remodelação urbanística de uma região de Curitiba, cruzam-se duas avenidas retas, a Avenida Norte e a Avenida Central, cortando-se em um ponto $P$. Um dos quatro ângulos gerados nesse cruzamento mede $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modele a situação classificando a posição relativa de ambas as avenidas no plano e determine, de forma fundamentada, a medida dos outros três ângulos originados no cruzamento $P$, justificando quais são opostos pelo vértice e quais são suplementares.
2. b) Para facilitar a curva dos ônibus urbanos, projeta-se uma plataforma cujo eixo central coincide exatamente com a bissetriz do ângulo de $68^\circ\ 40'$. Calcule a medida exata do ângulo (em graus e minutos) que essa plataforma forma com a Avenida Central.
3. c) Se mais adiante for aberta uma nova rua totalmente paralela à Avenida Norte que também corte a Avenida Central em outro ponto diferente, justifique quais ângulos essa nova rua formará com a Avenida Central sem necessidade de medi-los no terreno.

Três vilas, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) e Cañotal ($C$), estão situadas de forma que o ângulo com vértice em $A$ formado pelas estradas que vão a $B$ e $C$ mede $74^\circ \ 12'$. Quer-se construir uma torre de telefonia que esteja exatamente à mesma distância da estrada $AB$ que da estrada $AC$. Além disso, a torre deve estar situada à mesma distância das vilas $B$ e $C$. Descreva de forma fundamentada quais elementos geométricos do plano (retas notáveis) devem ser traçados para encontrar a localização exata da torre e qual nome recebe o ponto de interseção.

No projeto de uma peça metálica, dois ângulos são suplementares. Se um deles é o triplo do outro diminuído em $20^\circ$, quanto mede cada um dos ângulos? Proponha uma estratégia lógica ou matemática para encontrar suas medidas em graus, minutos e segundos.

Calcule de forma exata o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio analógico quando marca $10:20$ da manhã. Considere que o ponteiro das horas se desloca proporcionalmente ao movimento do ponteiro dos minutos. (Dica: a cada minuto, o ponteiro das horas avança $0,5^\circ$).

Duas retas paralelas, $r$ e $s$, são cortadas por uma transversal $t$. Sabe-se que dois ângulos alternos internos são expressos pelas medidas $2x + 15^\circ$ e $3x - 10^\circ$.

1. a) Encontre o valor de $x$.
2. b) Calcule a medida dos oito ângulos que se formam na interseção.

Desenhe um ângulo obtuso $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Trace a sua bissetriz $OC$. Em seguida, trace a bissetriz $OD$ do ângulo $\widehat{AOC}$. Sem utilizar o transferidor para a medida final, calcule aritmeticamente quanto mede o ângulo suplementar do ângulo $\widehat{DOB}$. Mostre todos os passos da operação no sistema sexagesimal.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma pizzaria quer dividir uma pizza circular de $30 \text{ cm}$ de diâmetro em 7 fatias iguais.

1. a) Qual é a medida exata do ângulo central de cada fatia em graus, minutos e segundos?
2. b) Se por erro o primeiro corte for feito a $52^\circ$, quantos minutos e segundos a mais tem essa fatia em relação à medida correta?

Dois estudantes do 1.º ano do ESO, a Irene e o Marcos, querem descobrir quanto mede o ângulo formado entre si pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares quaisquer, $\hat{A}$ e $\hat{B}$ (que somam $180^\circ$ e partilham o vértice e um lado comum).

• Método da Irene (verificação numérica): Escolhe um caso concreto, por exemplo $\hat{A} = 120^\circ$ e $\hat{B} = 60^\circ$. Divide cada um por dois para encontrar as suas bissetrizes ($60^\circ$ e $30^\circ$), soma-as ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) e conclui que formarão sempre $90^\circ$.

• Método do Marcos (dedução geral): Formula que se $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$, o ângulo formado pelas duas bissetrizes é a soma das suas metades: $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Compara criticamente ambos os caminhos: por que razão o método da Irene serve como indício mas não demonstra formalmente que a propriedade se cumpre para todos os pares de ângulos suplementares possíveis? Que vantagem traz o método do Marcos?
2. b) Aplica o método dedutivo geral do Marcos para calcular e demonstrar quanto medirá sempre o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes que sejam complementares.
3. c) A partir da tua dedução, raciocina se é possível que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formem um ângulo obtuso em algum caso.

No centro de Salvamento Marítimo de Tarifa (Cádiz), os controladores traçam numa tela plana a navegação de várias embarcações:

• O navio Alfa segue uma trajetória retilínea representada pela reta $r$.

• O navio Bravo segue outra rota retilínea representada pela reta $s$. Ambas as rotas são secantes e se cortam em um ponto $P$, formando um ângulo agudo de $41^\circ\ 35'$.

• Uma lancha de salvamento parte do cruzamento $P$ navegando em linha reta, seguindo exatamente a bissetriz do ângulo obtuso que as rotas de Alfa e Bravo formam nesse ponto.

• Um navio-mãe Charlie se desloca ao longo de uma trajetória retilínea $t$ que é perpendicular à trajetória do navio Alfa ($r \perp t$) em um ponto situado a várias milhas de $P$.

1. a) Determine de forma fundamentada a medida exata do ângulo obtuso que as trajetórias de Alfa e Bravo formam no ponto $P$.
2. b) Calcule a medida exata (em graus, minutos e segundos sexagesimais) do ângulo que o rumo da lancha de salvamento forma com a trajetória do navio Bravo.
3. c) Demonstre de forma puramente geométrica se as trajetórias do navio Charlie ($t$) e do navio Bravo ($s$) chegarão a se cortar em algum ponto do plano ou se existe a possibilidade de serem paralelas. Para justificar, deduza que condição angular $r$ e $s$ teriam de cumprir para que $t$ pudesse ser paralela a $s$.