Exercícios: Quadriláteros

Estamos projetando o logotipo para uma nova equipe de eSports. O logotipo principal tem a forma do quadrilátero que você vê no desenho. Observe seus lados e ângulos, e responda:

1. a) Como se chama este quadrilátero de forma precisa?
2. b) A qual grupo ele pertence: paralelogramos, trapézios ou trapezoides? Justifique sua resposta observando o paralelismo de seus lados.

Na aula de desenho técnico, um aluno desenhou um quadrilátero e mediu três de seus ângulos internos: $110^\circ$, $70^\circ$ e $110^\circ$.

1. a) Sabendo que a soma dos ângulos de qualquer quadrilátero é sempre a mesma, quanto deve medir o quarto ângulo?
2. b) Se os lados opostos são iguais dois a dois, de que figura se trata?

A tela de um novo modelo de smartphone tem a forma de um retângulo. O fabricante indica que a base dela mede $7\text{ cm}$ e a altura é de $15\text{ cm}$.

1. a) Calcule o perímetro do smartphone (o comprimento da moldura metálica que envolve a tela).
2. b) Se quisermos colocar uma película protetora que cubra toda a superfície, qual será a área dessa película em $\text{cm}^2$?

Observe as diagonais dos seguintes quadriláteros. Uma das propriedades mais importantes é se elas são perpendiculares (formam $90^\circ$) e se se cortam no ponto médio.

Identifique qual destes desenhos representa as diagonais de um losango e qual as de um retângulo. Justifique a sua escolha.

O tampo de uma mesa de sala de aula tem a forma de um quadrilátero. Se observar bem, ele tem dois lados paralelos de comprimentos diferentes e os outros dois lados são iguais entre si.

1. a) Como se classifica este quadrilátero?
2. b) É um paralelogramo? Explique por quê.

Desenhe no seu caderno um quadrado de $4\text{ cm}$ de lado, como o da figura.

1. a) Trace todos os seus eixos de simetria. Quantos você encontrou no total?
2. b) Todos os eixos se cortam no mesmo ponto? Como se chama esse ponto?

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Indique se as seguintes afirmações sobre paralelogramos são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente a sua resposta:

1. Todo quadrado é também um retângulo porque tem 4 ângulos retos.

2. Um losango é um quadrado porque tem seus 4 lados iguais.

3. O paralelogramo não retângulo não tem as diagonais iguais.

Calcule a área da zona sombreada da seguinte grade, sabendo que cada quadrado pequeno mede $1\text{ cm}$ de lado. Para facilitar, divida a figura em um retângulo e um triângulo.

Na aula de Artes, o Pedro está construindo uma moldura de madeira com a forma de um quadrilátero para uma gravura artística. Mediu com o transferidor três dos ângulos internos da moldura: $75^\circ$, $110^\circ$ e $85^\circ$. Para descobrir a medida que o quarto ângulo interno deve ter, o Pedro escreve no caderno dele:

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

Ao obter um resultado negativo, percebe que algo está errado.

1. a) Identifique o erro conceitual do Pedro: com que outra figura geométrica ele confundiu a propriedade da soma dos ângulos internos e qual é a soma correta em qualquer quadrilátero?
2. b) Corrija o raciocínio dele e calcule a medida exata que o quarto ângulo deve ter.

Defina você mesmo as medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero que cumpra todas estas condições ao mesmo tempo:

1. A soma dos seus quatro ângulos internos deve ser a correspondente a qualquer quadrilátero convexo.

2. Nenhum dos seus quatro ângulos pode ser reto (nenhum pode medir exatamente $90^\circ$).

3. Não pode ser um paralelogramo (isto é, não pode ter os seus ângulos opostos iguais dois a dois).

Escreva os quatro valores em graus que você escolheu, verifique numericamente que somam o que devem e justifique de forma fundamentada por que, com esses ângulos, é impossível que a figura seja um paralelogramo.

Em uma oficina de design gráfico, Marcos está criando um logotipo com forma de romboide (paralelogramo não regular). Se um dos ângulos internos do romboide mede $65^\circ$, calcule de forma fundamentada a medida dos outros três ângulos do logotipo.

A seção transversal de uma nova rampa de skate tem a forma de um trapézio isósceles. Sabemos que a base superior mede $3\text{ m}$, a base inferior mede $7\text{ m}$ e os ângulos que a base inferior forma com os lados laterais são de $72^\circ$. Indique quanto medem os dois ângulos da parte superior e justifique sua resposta com base nas propriedades dos trapézios.

Classifique os seguintes quadriláteros com base exclusivamente na descrição de suas diagonais:

• Figura A: Suas diagonais têm comprimentos diferentes, são perpendiculares e se intersectam em seu ponto médio.

• Figura B: Suas diagonais são iguais, não são perpendiculares e se intersectam em seu ponto médio.

• Figura C: Suas diagonais são iguais, são perpendiculares e se intersectam em seu ponto médio.

Uma empresa de telefonia quer projetar uma tela para um novo modelo de smartphone com a forma de um retângulo. O projetista estabeleceu que a base deve medir o dobro da altura. Se o perímetro total da tela deve ser de $36\text{ cm}$, quais serão as dimensões (base e altura) da tela?

Um arquiteto está projetando uma janela em forma de losango. Para que a estrutura seja estável, ele colocou duas ripas de madeira que coincidem com as diagonais do losango. A diagonal maior mede $160\text{ cm}$ e a diagonal menor mede $120\text{ cm}$. Ao se cruzarem, as diagonais dividem o losango em quatro triângulos iguais.

1. Que tipo de triângulos são esses? (segundo seus ângulos).

2. Se o lado do losango mede $100\text{ cm}$, calcule o perímetro total da janela.

Desenhe em seu caderno um quadrilátero qualquer (trapezoide) que não tenha nenhum lado paralelo. Localize o ponto médio de cada um de seus quatro lados e una-os seguindo a ordem do contorno.

1. Que figura geométrica especial se forma sempre no interior?

2. Se os lados do quadrilátero original medem $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, qual é o perímetro do quadrilátero original?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma prova de geometria, pedem a Ana que calcule o ângulo que falta em uma pipa de papel que tem a forma de um deltoide (quadrilátero com dois pares de lados consecutivos congruentes). Os ângulos diferentes medem $110^\circ$ (o superior) e $40^\circ$ (o inferior). Se os outros dois ângulos são iguais entre si, quanto mede cada um deles? Lembre-se de utilizar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Observe as seguintes afirmações sobre os quadriláteros e diga se são Verdadeiras ou Falsas, justificando sua resposta:

1. "Um quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango".

2. "Um trapézio retângulo tem exatamente quatro ângulos retos".

3. "Em um paralelogramo, as diagonais são iguais e perpendiculares".

4. "Qualquer paralelogramo tem dois pares de lados paralelos".

A cobertura de um galpão industrial em um parque empresarial de Campinas tem a forma de um trapézio isósceles visto de frente. Os dois lados inclinados medem exatamente o mesmo e a viga inferior (base maior) é horizontal e mais larga do que a viga superior (base menor). Sabe-se que os dois ângulos que os lados inclinados formam com a base inferior medem $35^\circ$ cada um.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, estime de forma fundamentada se os outros dois ângulos (os que se formam com a base superior) serão agudos ou obtusos, e explique se cada um deles deveria medir mais ou menos de $120^\circ$.
2. b) Calcule o valor exato dos dois ângulos superiores, apoiando-se na propriedade da soma dos ângulos de um quadrilátero e na simetria do trapézio isósceles.
3. c) Compare o seu cálculo exato com a estimativa que você fez no item a) e avalie se o seu raciocínio visual prévio estava correto.

Uma empresa de azulejos de Cerâmica (Santa Catarina) desenha ladrilhos com a forma de um romboide (um paralelogramo com lados consecutivos desiguais e sem ângulos retos). No catálogo técnico especifica-se que o menor dos seus ângulos internos mede $50^\circ$. Para determinar a medida dos outros três ângulos, dois desenhistas seguem caminhos diferentes:

• Estratégia da Laura: Sabe que os quatro ângulos internos somam $360^\circ$ e que os ângulos opostos são iguais; portanto, estabelece a equação $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ e resolve para $\hat{B}$.

• Estratégia do Mateo: Utiliza o fato de os lados opostos serem paralelos, de modo que dois ângulos consecutivos são suplementares; calcula diretamente $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Aplique ambos os métodos separadamente para calcular o valor do ângulo $\hat{B}$ e verifique se dão o mesmo resultado.
2. b) Compare ambos os caminhos: qual dos dois requer menos passos de cálculo e se apoia de forma mais direta na definição de paralelogramo? Justifique a sua resposta explicando por que motivo os ângulos consecutivos somam $180^\circ$.

Em um parque de diversões, projetaram uma nova área de jogos com a forma de um trapezoide simétrico (também chamado de pipa). Sabemos que o ângulo superior mede $\hat{A} = 110^\circ$ e o ângulo inferior mede $\hat{C} = 40^\circ$. Os outros dois ângulos laterais são iguais entre si. Calcule a medida desses dois ângulos laterais e explique de forma fundamentada por que eles devem ser iguais nesse tipo de figura.

Uma empresa de design gráfico está criando um logotipo. Desenharam um quadrilátero qualquer e marcaram os pontos médios de cada um de seus lados. Ao unir esses pontos médios em ordem, forma-se um novo quadrilátero no interior.

1. Que tipo de quadrilátero se forma sempre no interior, independentemente da forma do original?

2. Se a área do quadrilátero exterior é de $120 \text{ cm}^2$, qual será a área da figura formada ao unir os pontos médios?

A tela de um novo modelo de smartphone tem forma retangular. O fabricante indica que o perímetro total da tela é de $48 \text{ cm}$ e que a base mede exatamente o dobro da altura.

1. Calcule as dimensões (base e altura) da tela.

2. Se for colocado um protetor que custa $\text{R\$}\ 0,50$ para cada $\text{cm}^2$ de superfície, quanto custará proteger a tela inteira?

Na construção de uma rampa para um skatepark, utiliza-se uma estrutura com a forma de um trapézio retângulo. O ângulo obtuso da estrutura mede $125^\circ$. Calcule a medida de todos os ângulos internos desse trapézio e justifique sua resposta com base nas propriedades das retas paralelas cortadas por uma transversal.

Um artista está projetando um mosaico com peças em forma de losango. Ele sabe que as duas diagonais do losango somam $28 \text{ cm}$ e que a diagonal maior mede $4 \text{ cm}$ a mais que a diagonal menor.

1. Calcule a medida de ambas as diagonais.

2. Calcule a área de uma única peça do mosaico.

3. Se o mosaico completo utiliza $50$ peças iguais, quantos decímetros quadrados ($\text{dm}^2$) de superfície cobrirá no total?

Descubra de qual quadrilátero estamos falando em cada caso com base em suas diagonais:

1. "Minhas diagonais são iguais e se intersectam perpendicularmente em seu ponto médio".

2. "Minhas diagonais são iguais, se intersectam em seu ponto médio, mas não são perpendiculares".

3. "Minhas diagonais não são iguais, mas são perpendiculares e se intersectam em seu ponto médio".

4. "Tenho dois lados paralelos e duas diagonais iguais, mas não se intersectam em seus pontos médios".

Justifique sua resposta fazendo um pequeno esquema das diagonais para cada caso.

Um jardim quadrado de $20 \text{ metros}$ de lado tem em seu centro uma fonte também quadrada. Sabemos que a distância de qualquer lado do jardim ao lado paralelo da fonte é de $6 \text{ metros}$.

1. Quanto mede o lado da fonte central?

2. Calcule a área da região de passeio (a região do jardim não ocupada pela fonte).

Em um romboide, a soma de dois de seus ângulos opostos é $130^\circ$.

1. Quanto mede cada um desses dois ângulos?

2. Quanto medem os outros dois ângulos restantes do romboide?

3. Se o lado maior do romboide mede $12 \text{ cm}$ e o perímetro é de $38 \text{ cm}$, quanto mede o lado menor?

Uma associação de irrigantes do Vale do São Francisco (Petrolina) gerencia um reservatório de irrigação cuja superfície tem a forma de um quadrilátero, com vértices consecutivos $A$, $B$, $C$ e $D$. Um levantamento topográfico fornece os seguintes dados sobre as suas margens:

• A margem $AB$ é paralela à margem $CD$.

• As margens $BC$ e $DA$ não são paralelas entre si.

• No vértice $A$, o canal de entrada entra em ângulo reto com a margem $AB$, de modo que $\hat{A} = 90^\circ$.

• No vértice $C$, o sensor de nível marca um ângulo interno de $\hat{C} = 130^\circ$.

1. a) Classifique a forma geométrica do reservatório com a maior precisão possível (grupo geral, tipo e subtipo de quadrilátero), justificando cada termo a partir dos dados.
2. b) Calcule, de forma fundamentada, a medida dos ângulos internos nos vértices $B$ e $D$. Explique em quais propriedades geométricas você se baseia (paralelismo entre lados e soma dos ângulos internos).
3. c) Um operador afirma: «Como a margem $AB$ é paralela a $CD$ e o ângulo em $A$ é de $90^\circ$, obrigatoriamente o ângulo em $D$ também tem de ser de $90^\circ$». Demonstre se a afirmação dele é verdadeira ou falsa utilizando as propriedades das retas paralelas cortadas por uma transversal.

Durante um debate na aula sobre como classificar quadriláteros a partir de suas diagonais, o Sergio afirma categoricamente:

1. «Qualquer quadrilátero cujas duas diagonais sejam perpendiculares entre si é obrigatoriamente um losango».

2. «Se, além de serem perpendiculares, as duas diagonais medirem exatamente o mesmo, a figura é com toda a certeza um quadrado».

Sua tarefa é analisar com rigor geométrico ambas as afirmações:

1. a) Demonstre que a primeira afirmação é falsa nomeando e descrevendo um quadrilátero conhecido que tenha diagonais perpendiculares, mas não seja um losango. Explique que condição adicional as diagonais devem cumprir em relação ao ponto onde se intersectam para garantir que seja um losango.
2. b) Demonstre que a segunda afirmação também é falsa descrevendo como construir um quadrilátero que tenha diagonais perpendiculares e iguais, mas não seja um quadrado (pense no que acontece se as diagonais não se intersectarem em seu ponto médio, como em uma pipa ou trapezoide simétrico).
3. c) Redija, de forma clara e completa, a lista de condições que as diagonais de um quadrilátero devem cumprir simultaneamente para garantir que a figura é um quadrado.