Exercícios: Figuras compostas e problemas de medição

A figura mostra uma casa formada por um retângulo de $8$ m de largura e $5$ m de altura e um telhado triangular de $3$ m de altura.

1. a) Calcule a área da parte retangular.
2. b) Calcule a área do telhado triangular.
3. c) Qual é a área total da fachada?

Na grade da figura, cada quadrado representa $1\ \text{cm}^2$. O contorno azul é a margem de um pequeno lago.

1. a) Conte os quadrados que ficam completamente dentro do lago.
2. b) Conte os que o lago toca apenas em parte.
3. c) Dê uma estimativa da área do lago explicando o critério que você utilizou.

A moldura da figura é um retângulo de $30$ cm por $24$ cm, e a foto contida nela mede $24$ cm por $18$ cm.

1. a) Calcule a área do retângulo externo e a da foto.
2. b) Qual é a área da moldura (a região laranja)?
3. c) Quanto mede a largura da moldura na parte superior? Justifique como você calculou.

Uma letra «T» gigante para um painel de fotos é formada por dois retângulos: o travessão superior, de $120$ cm de comprimento e $30$ cm de altura, e a haste vertical, de $90$ cm de altura e $30$ cm de largura, unida por baixo e centralizada.

1. a) Calcule a área total do cartaz.
2. b) Se o material custa $\text{R\$}\ 8,50$ o metro quadrado, quanto custa o cartaz? Expresse antes a área em $\text{m}^2$.

Para sinalizar uma trilha, a Lucía desenha uma placa de madeira juntando duas peças sem sobrepô-las: um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado e, sobre o seu lado superior, um triângulo equilátero também de $10\text{ cm}$ de lado.

Para encomendar uma fita metálica que proteja todo o contorno externo, a Lucía faz o seguinte cálculo:

«Perímetro do quadrado = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Perímetro do triângulo = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Portanto, preciso de $40 + 30 = 70\text{ cm}$ de fita metálica».

1. a) Explique de forma fundamentada que erro conceitual a Lucía cometeu e que parte das figuras ela contou a mais.
2. b) De quantos centímetros de fita metálica se precisa realmente para contornar a placa?
3. c) Se a altura do triângulo equilátero é de aproximadamente $8,7\text{ cm}$, calcule a área total de madeira que a placa tem.

Na disciplina de Ciências desenharam sobre uma planta quadriculada um pequeno lago para anfíbios na horta da escola. Na planta, cada quadrado da quadrícula representa $1\text{ m}^2$.

O lago tem forma irregular e fica totalmente contido dentro de uma zona retangular de $5\text{ m}$ de comprimento por $4\text{ m}$ de largura. Ao contar na planta, o lago cobre por completo $9$ quadrados inteiros e toca ou cobre parcialmente outros $8$ quadrados.

1. a) Antes de fazer contas, faça uma estimativa: é possível que a superfície do lago seja de $22\text{ m}^2$? Justifique a sua resposta olhando unicamente para o retângulo que o contém.
2. b) Indique entre que dois valores (mínimo e máximo) se encontra com total segurança a área real do lago.
3. c) Aplique o critério de somar aos quadrados completos metade dos parciais para obter uma estimativa da área. Avalie se o resultado obtido é coerente com a sua análise do item a).

O jardim da figura é um retângulo de $12$ m por $8$ m com uma piscina circular de $2$ m de raio em seu interior.

1. a) Calcule a área do jardim completo.
2. b) Calcule a área da piscina (considere $\pi \approx 3,14$).
3. c) Qual é a área que sobra de grama?
4. d) Quantos metros de cerca são necessários para cercar todo o jardim?

Deseja-se pintar uma parede retangular de $5$ m de largura e $2,5$ m de altura que tem uma janela de $1,5$ m por $1,2$ m.

1. a) Qual área deve ser pintada?
2. b) Uma lata de tinta rende $10\ \text{m}^2$ e custa $\text{R\$}\ 24,90$. Quantas latas são necessárias para dar duas demãos de tinta? Quanto vai custar?

A figura mostra uma pista de atletismo formada por dois trechos retos de $80$ m e dois semicírculos de $20$ m de raio nas extremidades.

1. a) Quanto mede cada um dos dois trechos curvos? Lembre-se de que dois semicírculos iguais formam um círculo completo (considere $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcule o comprimento total de uma volta completa na pista pela borda interna.
3. c) As raias da pista medem $1,22$ m de largura. Um corredor percorre a mesma distância pela raia interna e pela externa? Justifique a sua resposta sem fazer cálculos.

Um cartaz com forma de seta é formado por um retângulo de $30$ cm de comprimento e $12$ cm de altura (o corpo) e um triângulo de base $12$ cm e altura $9$ cm (a ponta).

1. a) Desenhe um esquema do cartaz no seu caderno.
2. b) Calcule a área total do cartaz.
3. c) Se o vinil para imprimi-lo custa $\text{R\$}\ 15$ o metro quadrado, quanto custa o material do cartaz? Expresse antes a área em $\text{m}^2$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um escudo de madeira tem a forma de um pentágono: é um retângulo de $20$ cm de largura e $24$ cm de altura, arrematado na parte inferior por um triângulo de base $20$ cm (a ponta do escudo) e $10$ cm de altura.

1. a) Calcule a área do escudo.
2. b) Deseja-se contornar todo o perímetro com uma fita metálica. Os lados inclinados da ponta medem $14,1$ cm cada um. Quantos centímetros de fita são necessários?

Em uma parede quer-se construir um mural com a forma da letra «L» formado por dois retângulos: um vertical de $3$ m de altura e $0,8$ m de largura, e outro horizontal de $1,6$ m de comprimento e $0,8$ m de altura que sai para a direita a partir da parte inferior do primeiro, sem se sobrepor a ele.

1. a) Desenhe um esquema e calcule a área total do mural.
2. b) A tinta do mural é comprada em latas que cobrem $2\ \text{m}^2$ cada uma. Quantas latas são necessárias?
3. c) Qual é o perímetro exterior do mural?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O pátio comunitário de um edifício tem a forma de «L». Pode ser descrito geometricamente como um retângulo grande de $12\text{ m}$ de comprimento por $8\text{ m}$ de largura ao qual falta, em um dos seus cantos, um vão retangular de $5\text{ m}$ de comprimento por $3\text{ m}$ de largura ocupado pelo compartimento dos medidores.

1. a) Método 1 (por subtração): calcule a área do pátio subtraindo a área do vão da área do retângulo grande.
2. b) Método 2 (por decomposição): divida mentalmente o pátio em dois retângulos por meio de um corte reto. Escreva as dimensões dos dois retângulos que você escolheu, calcule as suas áreas separadamente e some-as para verificar que você obtém o mesmo resultado.
3. c) Se pedissem a você que calculasse o perímetro externo de todo o pátio, algum dos cálculos das áreas anteriores serviria diretamente ou você teria de proceder de outra forma? Justifique qual método lhe pareceu mais cômodo para a área e por quê.

O município vai renovar o piso da pista de patinação do complexo esportivo. A pista é formada por um retângulo central de $25\text{ m}$ de comprimento por $12\text{ m}$ de largura, e duas zonas semicirculares encostadas nos seus dois lados menores (cada semicírculo tem um diâmetro de $12\text{ m}$, ou seja, um raio de $6\text{ m}$).

Para proteger o chão, será aplicada uma resina sintética com as seguintes especificações técnicas:

• São necessários $0,4\text{ kg}$ de resina para cada metro quadrado de pista.

• O produto é vendido somente em galões de $10\text{ kg}$.

• Cada galão custa $\text{R\$}\ 45,80$.

(Considere $\pi \approx 3,14$).

1. a) Que figura geométrica completa os dois semicírculos formam juntos? Calcule a área total da pista de patinação.
2. b) De quantos quilogramas de resina se precisa, no mínimo, para cobrir toda a superfície?
3. c) Quantos galões inteiros o município deve comprar e qual será o custo total da tinta?

Uma piscina retangular de $10$ m de comprimento e $4$ m de largura está cercada por uma calçada de $1,5$ m de largura.

1. a) Quanto medem o comprimento e a largura totais do conjunto (piscina mais calçada)? Faça um esquema no seu caderno.
2. b) Calcule a área da calçada.
3. c) Os ladrilhos da calçada custam $\text{R\$}\ 32,90$ o metro quadrado instalados. Quanto custará pavimentá-la?
4. d) Por segurança, deseja-se cercar toda a borda externa. Se a cerca custa $\text{R\$}\ 14,50$ o metro, qual é o custo total da obra (piso mais cerca)?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

De um quadrado de cartolina de $8$ cm de lado, recorta-se um quadrado pequeno de $2$ cm de lado.

1. a) Calcule a área da figura resultante. Depende de onde se faz o recorte?
2. b) Calcule o perímetro da figura resultante em cada um destes três casos: o recorte é feito em um canto, no centro de um lado e no interior da cartolina (um buraco).
3. c) Um aluno afirma: «Se ao retirar um pedaço de uma figura a área diminui, o perímetro também diminui sempre». Isso é verdade? Use os seus resultados do item b) para justificar.

Para determinar a área da fachada de uma casa formada por um retângulo de $8$ m de largura e $5$ m de altura com um telhado triangular de $3$ m de altura, uma aluna calculou $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ e respondeu $64\ \text{m}^2$.

1. a) Explique qual erro ela cometeu no cálculo do telhado.
2. b) Calcule a área correta da fachada.
3. c) A fachada tem ainda uma porta de $2$ m por $1$ m e uma janela quadrada de $1,5$ m de lado. Que superfície deve ser pintada?

Um quarto retangular de $4,5$ m por $3,2$ m tem duas portas de $0,9$ m de largura e um armário embutido que ocupa $1,8$ m de uma das paredes.

1. a) Calcule o perímetro do quarto.
2. b) Quantos metros de rodapé são necessários? Lembre-se de que não se coloca rodapé nos vãos das portas nem onde fica o armário.
3. c) O rodapé custa $\text{R\$}\ 6,75$ o metro e só é vendido em tiras de $2$ m. Quantas tiras é preciso comprar e quanto custarão?

Um parque com forma de trapézio tem uma base maior de $50$ m, uma base menor de $30$ m e uma altura de $24$ m. No interior dele há uma área de jogos triangular de $18$ m de base e $12$ m de altura; o restante é grama.

1. a) Calcule a área total do parque.
2. b) Calcule a área dedicada à grama.
3. c) Para semear a grama são necessários $1$ kg de semente para cada $40\ \text{m}^2$, e a semente é vendida em sacos de $5$ kg a $\text{R\$}\ 22,40$ o saco. Quantos sacos é preciso comprar e quanto custarão?

Sobre um papel quadriculado de quadrados de $1\ \text{cm}^2$ caiu uma mancha de tinta. Contando com cuidado, a mancha cobre por completo $14$ quadrados e toca parcialmente outros $18$.

1. a) Entre quais dois valores está com certeza a área da mancha? Justifique a sua resposta.
2. b) Dê uma estimativa razoável da área e explique o critério que você utilizou.
3. c) Qual é o erro máximo que a sua estimativa pode ter?

Uma empresa de reformas vai pintar a fachada de um galpão agrícola. A fachada é formada por uma parede retangular de $10\text{ m}$ de largura por $4\text{ m}$ de altura, com um frontão triangular na parte superior, de base $10\text{ m}$ e altura $h$ desconhecida.

Na parede retangular há uma porta de acesso de $3\text{ m}$ de largura por $3\text{ m}$ de altura e duas janelas quadradas de ventilação de $1,5\text{ m}$ de lado cada uma. Nem a porta nem as janelas vão ser pintadas.

1. a) Escreva uma expressão algébrica simplificada que represente a área líquida a pintar em função da altura $h$ do telhado triangular.
2. b) Na nota fiscal final consta que foram pintados exatamente $46,5\text{ m}^2$ de fachada. Formule uma equação a partir da sua expressão anterior e calcule a altura $h$ do frontão triangular.
3. c) Para finalizar a obra, instala-se uma calha metálica nos dois lados inclinados do telhado triangular. Se cada um desses lados mede $6,4\text{ m}$, qual é o perímetro externo completo da fachada pronta?

Numa escola será reformado um pátio retangular de terra de $24\text{ m}$ de comprimento por $16\text{ m}$ de largura para convertê-lo em uma área verde com grama natural. Dentro desse espaço devem ser respeitadas três zonas que não terão grama:

• Um espaço circular ao redor de uma oliveira centenária, com um raio de $3\text{ m}$.

• Duas zonas quadradas idênticas para mesas de xadrez, de $4\text{ m}$ de lado cada uma.

(Considere $\pi \approx 3,14$).

1. a) Modele a situação e calcule a área líquida de terreno que será coberta com grama.
2. b) Ao redor da borda do círculo da oliveira e das duas zonas quadradas será colocada uma borda protetora de borracha para separar a terra da grama. De quantos metros lineares de borda se precisa, no mínimo? Arredonde para o metro inteiro superior.
3. c) Recebem-se dois orçamentos de empresas locais:

• Empresa VerdeSur: cobra uma taxa fixa de $\text{R\$}\ 750$ pelo transporte e nivelamento do terreno, mais $\text{R\$}\ 8,50$ por cada metro quadrado de grama instalada.

• Empresa EcoJardín: não cobra taxa fixa, mas fatura $\text{R\$}\ 11,00$ por cada metro quadrado de grama instalada.

Qual das duas empresas é mais econômica para a escola? Justifique sua decisão comparando os valores totais de ambas as opções.

Desafio do tema. Desenhe o seu cantinho ideal! Você vai planejar a reforma do seu quarto ou de um cômodo da sua casa aplicando a geometria plana a uma situação real.

1. Medição real: Com uma fita métrica, meça o comprimento e a largura do cômodo (suponha que seja retangular) e obtenha com precisão o seu perímetro e a sua área total em $\text{m}^2$.

2. Desenho em escala: No GeoGebra ou em papel quadriculado, desenhe a nova distribuição. Você deve incluir obrigatoriamente: uma mesa triangular, um tapete quadrilátero e um pufe ou luminária de base circular ou semicircular.

3. Cálculos geométricos: Determine o perímetro e a área de cada elemento plano. Depois, calcule a área livre de circulação resolvendo o problema de figuras compostas (subtraindo os móveis da área total).

4. Orçamento e relatório: Consulte no site de uma loja de materiais de construção o preço por $\text{m}^2$ de um piso vinílico (por exemplo, $8,95\text{ \text{R\$}\ /m}^2$) e calcule o custo de cobrir a zona livre. Redija um relatório breve de uma página com a planta e os cálculos justificados.

Será valorizado:

• Correção na coleta de medidas reais e na aplicação de fórmulas de perímetros e áreas com as respectivas unidades.

• Traçado geométrico adequado e justificado de triângulos, quadriláteros e círculos.

• Resolução correta do cálculo da área composta e da estimativa do orçamento final.